ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: $$3x^3+2x^2-21x-20$$ আমরা এই রাশিটির একটি উৎপাদক বের করতে চাই। উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য আমরা সাধারণত উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করি। উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি $(x-a)$ রাশিটির একটি উৎপাদক হয়, তবে $x=a$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হবে, অর্থাৎ $f(a)=0$। ### ধাপ 1: সম্ভাব্য উৎপাদক নির্ণয় রাশিটির সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো ধ্রুবক পদ $-20$ এর উৎপাদকগুলিকে সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ $3$ এর উৎপাদক দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো: $$\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 10,\pm 20,\pm \frac{1}{3},\pm \frac{2}{3},\pm \frac{4}{3},\pm \frac{5}{3},\pm \frac{10}{3},\pm \frac{20}{3}$$ ### ধাপ 2: উৎপাদক উপপাদ্য প্রয়োগ আমরা এই মানগুলিকে $x$ এ বসিয়ে দেখবো কোনটি রাশিটিকে শূন্য করে। #### $x=1$ বসিয়ে: $$f(1)=3(1{)}^3+2(1{)}^2-21(1)-20=3+2-21-20=-36\ne 0$$ $x=1$ উৎপাদক নয়। #### $x=-1$ বসিয়ে: $$f(-1)=3(-1{)}^3+2(-1{)}^2-21(-1)-20=-3+2+21-20=0$$ $x=-1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই $(x+1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক। ### ধাপ 3: উৎপাদক নিশ্চিতকরণ যেহেতু $x=-1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই $(x+1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক। ### উত্তর: রাশিটির একটি উৎপাদক হলো: $$\boxed{{\displaystyle x+1}}$$