ব্যাখ্যাঃ ধরি, জাহিদ সাহেবের প্রাথমিক বেতন ছিল 100 টাকা।

বেতন 10% কমানোর পর তাঁর বেতন হয়:
$$100 - (100 \times \frac{10}{100}) = 100 - 10 = 90 \text{ টাকা}$$

এখন, হ্রাসকৃত বেতন 90 টাকা 10% বাড়ানো হলো। বৃদ্ধির পরিমাণ:
$$90 \times \frac{10}{100} = 9 \text{ টাকা}$$

সুতরাং, 10% বৃদ্ধির পর তাঁর নতুন বেতন হয়:
$$90 + 9 = 99 \text{ টাকা}$$

জাহিদ সাহেবের প্রাথমিক বেতন ছিল 100 টাকা এবং নতুন বেতন হলো 99 টাকা।

অতএব, তাঁর ক্ষতি হলো:
$$100 - 99 = 1 \text{ টাকা}$$

শতকরা ক্ষতির হার বের করতে হলে:
$$\text{ক্ষতির শতকরা হার} = \frac{\text{মোট ক্ষতি}}{\text{প্রাথমিক বেতন}} \times 100$$$$= \frac{1}{100} \times 100 = 1\%$$

সুতরাং, জাহিদ সাহেবের 1% ক্ষতি হলো।

ব্যাখ্যাঃ আপনার বর্তমান মাসিক বিল ৪২০ টাকা।

প্রথমত, ১ বছর পর অর্থাৎ ১২ মাস পর বিল ১০% বৃদ্ধি পাবে।
বৃদ্ধির পরিমাণ = ৪২০ টাকার ১০% = $৪২০ \times \frac{১০}{১০০} = ৪২$ টাকা।
সুতরাং, ১২ মাস পর বিল হবে = ৪২০ + ৪২ = ৪৬২ টাকা।

এরপর, আরো ৬ মাস পর অর্থাৎ (১২ + ৬) = ১৮ মাস পর বিল ২০% বৃদ্ধি পাবে। এই বৃদ্ধি ৪৬২ টাকার উপর হবে।
বৃদ্ধির পরিমাণ = ৪৬২ টাকার ২০% = $৪৬২ \times \frac{২০}{১০০} = ৪৬২ \times ০.২ = ৯২.৪$ টাকা।
সুতরাং, ১৮ মাস পর বিল হবে = ৪৬২ + ৯২.৪ = ৫৫৪.৪ টাকা।

অতএব, ১৮ মাস পর আপনার বিল হবে ৫৫৪.৪ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক:
প্রথমে ১ কেজি চিনির দাম ছিল ১০০ টাকা।
১০% কমে গেলে নতুন দাম হয়:
$১০০ - ১০ = ৯০$ টাকা

এখন, একই টাকা (১০০ টাকা) খরচ করে চিনি কেনা যাবে:
$\frac{১০০}{৯০} = \frac{10}{9}$ কেজি

অর্থাৎ, পূর্বের তুলনায় চিনির ব্যবহার বেড়েছে:
$\frac{10}{9} - 1 = \frac{1}{9}$

শতকরা বৃদ্ধি:
$\frac{1}{9} \times 100 = 11\frac{1}{9}\%$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ব্যক্তির প্রাথমিক বেতন ছিল $x$।

1. বেতন ৫% কমানোর পর:
বেতন কমানোর পর তা হবে:
$$
x \times (1 - 0.05) = x \times 0.95
$$
2. পরে আবার ৫% বৃদ্ধি:
বৃদ্ধি হওয়ার পর তা হবে:
$$
x \times 0.95 \times (1 + 0.05) = x \times 0.95 \times 1.05 = x \times 0.9975
$$
অতএব, ব্যক্তির নতুন বেতন হবে $x \times 0.9975$, যা মূল বেতনের 0.25% কম।

উত্তর: মোটের উপর বেতন ০.২৫% হ্রাস পেয়েছে।

ব্যাখ্যাঃ

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, মি. রেজার মোট সম্পদের পরিমাণ $X$ টাকা।

তিনি স্ত্রীকে দিলেন = মোট সম্পদের ১২% = $X \times \frac{১২}{১০০}$
তিনি ছেলেকে দিলেন = মোট সম্পদের ৫৮% = $X \times \frac{৫৮}{১০০}$

স্ত্রী ও ছেলেকে মোট দিলেন = $(১২\% + ৫৮\%) = ৭০\%$
অর্থাৎ, স্ত্রী ও ছেলেকে দিলেন $X \times \frac{৭০}{১০০}$ টাকা।

অবশিষ্ট সম্পদ মেয়েকে দিলেন।
মেয়েকে দেওয়া অংশ = $(১০০\% - ৭০\%) = ৩০\%$
এই ৩০% এর পরিমাণ দেওয়া আছে $৭২০০০০$ টাকা।

সুতরাং, $X$ এর ৩০% = $৭২০০০০$ টাকা।
$X \times \frac{৩০}{১০০} = ৭২০০০০$
$X = ৭২০০০০ \times \frac{১০০}{৩০}$
$X = ২৪০০০ \times ১০$
$X = ২৪০০০০০$ টাকা।

অতএব, মি. রেজার সম্পদের মোট মূল্য হলো ২৪,০০,০০০/- (চব্বিশ লক্ষ) টাকা।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

মিষ্টির মোট দাম = প্রতি কেজি ৩৫০ টাকা $\times$ ৩ কেজি = ১০৫০ টাকা

ভ্যাটের হার = ৪ টাকা হারে (প্রতি ১০০ টাকায় ৪ টাকা)

মোট ভ্যাটের পরিমাণ = মিষ্টির মোট দাম $\times$ ভ্যাটের হার
= ১০৫০ টাকা $\times$ ৪%
= ১০৫০ $\times \frac{৪}{১০০}$
= $\frac{৪২০০}{১০০}$
= ৪২ টাকা

সুতরাং, মোট ৪২ টাকা ভ্যাট দিতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

ধরি, তেলের পূর্ব মূল্য ছিল প্রতি ইউনিট ১০০ টাকা।
এবং পূর্ব ব্যবহার ছিল ১০০ ইউনিট।
তাহলে, তেলের পূর্বের মোট ব্যয় ছিল = $১০০ \times ১০০ = ১০০০০$ টাকা।

তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায়, নতুন মূল্য হবে = $১০০ + ১০০ \times \frac{২৫}{১০০} = ১০০ + ২৫ = ১২৫$ টাকা।

এখন, ব্যয় বৃদ্ধি না পেতে হলে, নতুন মূল্য ১২৫ টাকা দিয়েও পূর্বের মোট ব্যয় ১০০০০ টাকা রাখতে হবে।

নতুন ব্যবহার = $\frac{\text{পূর্বের মোট ব্যয়}}{\text{নতুন মূল্য}}$
$= \frac{১০০০০}{১২৫}$
$= ৮০$ ইউনিট।

তাহলে, তেলের ব্যবহার কমাতে হবে = পূর্ব ব্যবহার - নতুন ব্যবহার
$= ১০০ - ৮০ = ২০$ ইউনিট।

শতকরা কমানোর হার = $\frac{\text{ব্যবহারের হ্রাস}}{\text{পূর্ব ব্যবহার}} \times ১০০\%$
$= \frac{২০}{১০০} \times ১০০\%$
$= ২০\%$

সুতরাং, তেলের ব্যবহার শতকরা ২০% কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ এর ৪০% এর সাথে ৪২ যোগ করলে ফলাফল হবে $x$।
অর্থাৎ, $(x \times \frac{40}{100}) + 42 = x$
$\frac{40x}{100} + 42 = x$
$\frac{2x}{5} + 42 = x$
$42 = x - \frac{2x}{5}$
$42 = \frac{5x-2x}{5}$
$42 = \frac{3x}{5}$
$3x = 42 \times 5$
$3x = 210$
$x = \frac{210}{3}$
$x = 70$

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৭০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: প্রশ্নটি বিশ্লেষণ আমাদের বলা হয়েছে: \[ 30\% \text{ of } 10 = 10\% \text{ of } X \] এখানে, \( X \) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ২: ৩০% এর মান নির্ণয় করা \[ 30\% \text{ of } 10 = \frac{30}{100} \times 10 = 3 \] ### ধাপ ৩: সমীকরণ তৈরি করা \[ 3 = 10\% \text{ of } X \] \[ 3 = \frac{10}{100} \times X \] ### ধাপ ৪: \(X\) এর মান নির্ণয় করা \[ X = \frac{3 \times 100}{10} \] \[ X = \frac{300}{10} = 30 \] ### উত্তর: অর্থাৎ, ৩০% এর ১০ হলো ১০% এর ৩০। ✅

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা শতকরা ৪০ ভাগ শার্ট সংখ্যা নির্ণয় করব: \[ \text{শার্টের সংখ্যা} = ১৫ \times \frac{৪০}{১০০} = ৬ \] তাহলে, ১৫টি পোশাকের মধ্যে ৬টি শার্ট আছে।

অতএব, শার্ট নয় এমন পোশাকের সংখ্যা হবে: \[ ১৫ - ৬ = ৯ \] তাহলে, ১৫টি পোশাকের মধ্যে ৯টি পোশাক শার্ট নয়।

ব্যাখ্যাঃ চালের দাম ২৫% বেড়ে গেলে এবং সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে চালের ব্যবহার কত শতাংশ কমাতে হবে তা নির্ণয় করতে হবে। ধরি: - চালের প্রাথমিক দাম = \(P\) টাকা - চালের প্রাথমিক ব্যবহার = \(Q\) একক - সাংসারিক ব্যয় = \(E = P \times Q\) দাম বৃদ্ধির পর: - নতুন দাম = \(P + 0.25P = 1.25P\) টাকা - নতুন ব্যবহার = \(Q'\) একক - সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকলে: \[ 1.25P \times Q' = P \times Q \] \[ Q' = \frac{P \times Q}{1.25P} = \frac{Q}{1.25} = 0.8Q \] ব্যবহার কমার পরিমাণ: \[ Q - Q' = Q - 0.8Q = 0.2Q \] শতকরা ব্যবহার কমার পরিমাণ: \[ \frac{0.2Q}{Q} \times 100\% = 20\% \] উত্তর: \[ \boxed{২০\%} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা নির্ণয় করব \( \frac{১}{২} \) এর শতকরা কত \( \frac{৩}{৪} \) হবে। নিয়ম অনুযায়ী, শতকরা বের করার জন্য— \[ \left( \frac{\text{প্রাপ্ত মান}}{\text{মূল মান}} \right) \times ১০০ \] এখানে, মূল মান = \( \frac{১}{২} \) প্রাপ্ত মান = \( \frac{৩}{৪} \) \[ \left( \frac{\frac{৩}{৪}}{\frac{১}{২}} \right) \times ১০০ \] ভাগ করলে পাই— \[ \left( \frac{৩}{৪} \times \frac{২}{১} \right) \times ১০০ = \left( \frac{৩ \times ২}{৪ \times ১} \right) \times ১০০ \] \[ = \left( \frac{৬}{৪} \right) \times ১০০ = ১.৫ \times ১০০ = ১৫০\% \] উত্তর: ১৫০%

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রাথমিক তেলের দাম প্রতি লিটার \( P \) টাকা এবং ব্যবহার \( Q \) লিটার। তেলের দাম ২৫% বৃদ্ধি পেয়েছে, অর্থাৎ বর্তমান দাম প্রতি লিটার \( 1.25P \) টাকা হয়েছে। ধরি, নতুন তেলের ব্যবহার \( Q' \) লিটার। তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি না পেতে হলে নতুন তেলের ব্যবহার এমন হতে হবে যাতে খরচ অপরিবর্তিত থাকে। প্রথমে, প্রাথমিক খরচ: \[ \text{প্রাথমিক খরচ} = P \times Q \] বর্তমান খরচ সমান হতে হবে: \[ \text{বর্তমান খরচ} = 1.25P \times Q' = P \times Q \] এখন, \( Q' \) নির্ণয় করতে: \[ Q' = \frac{P \times Q}{1.25P} = \frac{Q}{1.25} = \frac{Q}{\frac{5}{4}} = Q \times \frac{4}{5} \] তাহলে, তেলের ব্যবহার কমেছে: \[ Q - Q' = Q - Q \times \frac{4}{5} = Q \times \left(1 - \frac{4}{5}\right) = Q \times \frac{1}{5} \] শতকরা হারে কমানোর মান নির্ণয় করতে: \[ \frac{\frac{Q}{5}}{Q} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\% \] তাহলে, তেলের ব্যবহার ২০% কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, স্কুলে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা \( N \)।

আমরা জানি যে:
- ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে পাস করেছে। - ৮০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাস করেছে। - ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। - উভয় বিষয়ে ৩০০ জন শিক্ষার্থী পাস করেছে।

যারা উভয় বিষয়ে পাস করেছে তাদের সংখ্যা \( P \) হলে: \[ 0.70N + 0.80N - P = 0.90N \] কারণ, ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, অর্থাৎ ৯০% শিক্ষার্থী এক বা দুই বিষয়ে পাস করেছে।

এখন, \( 0.70N + 0.80N - P = 0.90N \) কে ব্যবহার করে \( P \) নির্ণয় করি: \[ 1.50N - P = 0.90N \] \[ P = 1.50N - 0.90N \] \[ P = 0.60N \] আমাদের দেওয়া হয়েছে যে \( P = ৩০০ \): \[ 0.60N = ৩০০ \] \[ N = \frac{৩০০}{0.60} \] \[ N = ৫০০ \] তাহলে, ঐ স্কুলে মোট শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে ৫০০ জন।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মোট পরীক্ষার্থী সংখ্যা \(N\)। আমরা জানতে চাই উভয় বিষয়ে কত জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে। এই সংখ্যা নির্ণয় করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করব: ১. গণিতে পাস করেছে মোট পরীক্ষার্থীর ৮০%: \[ \text{গণিত পাস করেছে} = ০.৮N \] ২. বাংলায় পাস করেছে মোট পরীক্ষার্থীর ৭০%: \[ \text{বাংলা পাস করেছে} = ০.৭N \] ৩. উভয় বিষয়ে পাস করেছে মোট পরীক্ষার্থীর ৬০%: \[ \text{উভয় বিষয়ে পাস করেছে} = ০.৬N \] এখন, কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীদের সংখ্যা: \[ ০.৮N + ০.৭N - ০.৬N = ০.৯N \] তাহলে, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে শিক্ষার্থীদের সংখ্যা: \[ ১N - ০.৯N = ০.১N \] উভয় বিষয়ে ফেল করেছে শিক্ষার্থীদের শতকরা সংখ্যা: \[ ০.১N \times ১০০\% = ১০\% \] তাহলে, উভয় বিষয়ে শতকরা ১০% শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা কাজের মোট পরিমাণ নির্ণয় করি। ৮ জন লোক ১২ দিনে কাজটি করতে পারে, তাহলে কাজের মোট পরিমাণ \( 8 \times 12 \) লোক-দিন।

মোট কাজ = \( 8 \times 12 = 96 \) লোক-দিন।

এখন, যদি ৮ জনের বদলে ৬ জন (দুজন কম) লোক কাজটি করে, তবে প্রতি দিনে তারা কতটা কাজ করতে পারবে তা নির্ণয় করি: \[ \frac{96 \text{ লোক-দিন}}{6 \text{ জন}} = 16 \text{ দিন} \]
অতএব, ৬ জন লোক কাজটি ১৬ দিনে করতে পারবে।

এখন, কাজটি সমাধা করতে কত শতাংশ বেশি দিন লাগবে তা নির্ণয় করি: \[ \text{বৃদ্ধির হার} = \left(\frac{১৬ - ১২}{১২}\right) \times ১০০ \] \[ = \left(\frac{৪}{১২}\right) \times ১০০ \] \[ = ৩৩\frac{১}{৩} \times ১০০ \] \[ = ৩৩\frac{১}{৩}\% \]
তাহলে, দুজন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধা করতে \(৩৩\frac{১}{৩}\%\) বেশি দিন লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা \( x \)।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী, ৩০% পরীক্ষার্থী পাস করেছে।
অতএব, পাস করেছে \( 0.3x \)।

আরও জানা গেছে, যারা পাস করতে পারেনি তাদের সংখ্যা: \[ 12 + 30 = 42 \] এখন, পাস করেনি: \[ x - 0.3x = 0.7x \] প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 0.7x = 42 \] এখন \( x \) এর মান বের করি: \[ x = \frac{42}{0.7} = 60 \] অতএব, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ছিল ৬০ জন।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা জানি যে, মূল মিশ্রণে ২৫% বালি আছে এবং ৬৪ কিলোগ্রাম মিশ্রণের মধ্যে বালির পরিমাণ: \[ \frac{২৫}{১০০} \times ৬৪ = ১৬ \text{ কিলোগ্রাম} \] তাহলে, পাথরের পরিমাণ: \[ ৬৪ - ১৬ = ৪৮ \text{ কিলোগ্রাম} \] এখন আমরা ধরি যে \( x \) কিলোগ্রাম বালি মেশানো হবে যাতে মিশ্রণে পাথরের পরিমাণ ৪০% হয়। নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ হবে: \[ ৬৪ + x \text{ কিলোগ্রাম} \] নতুন মিশ্রণে ৪৮ কিলোগ্রাম পাথর থাকবে, যা ৪০% হবে। তাহলে নতুন মিশ্রণের ৬০% হবে বালি এবং মোট পরিমাণে ৪০% হবে পাথর: \[ \frac{৪৮}{৬৪ + x} = \frac{৪০}{১০০} \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৪৮ = ০.৪ \times (৬৪ + x) \] \[ ৪৮ = ২৫.৬ + ০.৪x \] \[ ৪৮ - ২৫.৬ = ০.৪x \] \[ ২২.৪ = ০.৪x \] \[ x = \frac{২২.৪}{০.৪} \] \[ x = ৫৬ \text{ কিলোগ্রাম} \] অতএব, নতুন মিশ্রণে পাথরের পরিমাণ ৪০% করতে ৫৬ কিলোগ্রাম বালি মিশাতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরীক্ষায় মোট প্রশ্নের সংখ্যা \( n \)।

প্রথম ২০টি প্রশ্ন থেকে ছাত্রটি শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে ১৫টি প্রশ্নে।
বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে \( n - 20 \)।

এই বাকি প্রশ্নগুলোর এক-তৃতীয়াংশ শুদ্ধ উত্তর দিতে পেরেছে, অর্থাৎ \( \frac{1}{3} (n - 20) \)।

সবমোট শুদ্ধ উত্তরের সংখ্যা: \[ 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] আমরা জানি, ছাত্রটি মোট প্রশ্নের ৫০% শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] সবগুলোকে সাধারণ গুণনীয়কে নিয়ে সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n = 15 + \frac{2}{6} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n - \frac{2}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{45}{3} - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{25}{3} \] \[ n = \frac{25}{3} \times 6 \] \[ n = 50 \] অতএব, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল \( 50 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরিবারের পূর্বের চিনির মূল্য প্রতি কেজি \(100\) টাকা।

চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়াতে নতুন মূল্য হলো \(100 + 25 = 125\) টাকা প্রতি কেজি।

ধরি, পূর্বের চিনি খাওয়ার পরিমাণ ছিল \( x \) কেজি এবং বর্তমান চিনি খাওয়ার পরিমাণ হলো \( y \) কেজি।

পরিবারের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকায়, খরচ আগে এবং পরে একই থাকবে।

অতএব, \[ 100x = 125y \] \[ y = \frac{100x}{125} \] \[ y = \frac{4x}{5} \] তাহলে পরিবার চিনি খাওয়া কমিয়েছে: \[ x - y = x - \frac{4x}{5} \] \[ = \frac{5x - 4x}{5} \] \[ = \frac{x}{5} \] তাহলে শতকরা হারে কমানো হলো: \[ \frac{\frac{x}{5}}{x} \times 100 \] \[ = \frac{1}{5} \times 100 \] \[ = 20\% \] অতএব, পরিবারটি চিনি খাওয়া বাবদ ২০% কমিয়েছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, খ এর বেতন ১০০ টাকা \[ \therefore \text{ক এর বেতন} = ১৩৫ \text{ টাকা} \] \[ \therefore ১৩৫ \text{ টাকায় বেতন কম} = ৩৫ \text{ টাকা} \] \[ \therefore ১০০ \text{ টাকায় বেতন কম} = \frac{(৩৫ \times ১০০)}{১৩৫} \text{ টাকা} \] \[ = ২৫.৯২৫৯ \text{ টাকা} \approx ২৫.৯৩ \text{ টাকা} \]

ব্যাখ্যাঃ ২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা

বর্তমানমূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা
" ১০০ " " " " \(\frac{১০০ × ১০০}{১২৫}\) = ৮০ টাকা

দ্রব্যের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০) = ২০ টাকা

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মোট প্রশ্নের সংখ্যা \( k \)।

প্রথম ২০টির মধ্যে ১৫টি নির্ভুল উত্তর দেওয়া হয়েছে। বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে \( k - ২০ \)।

বাকি প্রশ্নগুলির মধ্যে \(\frac{১}{৩}\) অংশ নির্ভুল উত্তর দেওয়া হয়েছে: \[ \frac{১}{৩} (k - ২০) \] মোট নির্ভুল উত্তর দেওয়া প্রশ্নের সংখ্যা হবে: \[ ১৫ + \frac{১}{৩} (k - ২০) \] এখন, ছাত্রটি মোট \( k \) সংখ্যক প্রশ্নের মধ্যে ৭৫% উত্তর সঠিক দিয়েছে। তাই: \[ 75\% = \frac{৭৫}{১০০} = \frac{৩}{৪} \] তাহলে, ছাত্রটি মোট \( \frac{৩}{৪}k \) প্রশ্ন নির্ভুল উত্তর দিয়েছে।

তাহলে সমীকরণ হবে: \[ 15 + \frac{১}{৩}(k - 20) = \frac{3}{4}k \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 15 + \frac{১}{৩}k - \frac{২০}{৩} = \frac{৩}{৪}k \] \[ 15 - \frac{২০}{৩} + \frac{১}{৩}k = \frac{৩}{৪}k \] \[ \frac{৪৫}{৩} - \frac{২০}{৩} + \frac{১}{৩}k = \frac{৩}{৪}k \] \[ \frac{২৫}{৩} + \frac{১}{৩}k = \frac{৩}{৪}k \] \[ \frac{২৫}{৩} = \frac{৩}{৪}k - \frac{১}{৩}k \] \[ \frac{২৫}{৩} = \frac{৯k - ৪k}{১২} \] \[ \frac{২৫}{৩} = \frac{৫k}{১২} \] \[ 25 \times 12 = 5k \times 3 \] \[ 300 = 15k \] \[ k = \frac{300}{15} \] \[ k = 20 \] অতএব, প্রশ্নের সংখ্যা ছিল 20।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, করিম সাহেবের মাসিক বেতন \(x\) টাকা। প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য শতকরা ১০ ভাগ কর্তনের পর তার হাতে থাকে ২৭০০ টাকা।

তাহলে, তার হাতে থাকা বেতনের মান হবে: \[ x - \frac{10}{100}x = 2700 \] এখন সরল করি: \[ x \left(1 - \frac{10}{100}\right) = 2700 \] \[ x \cdot \frac{90}{100} = 2700 \] \[ \frac{9x}{10} = 2700 \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{2700 \cdot 10}{9} = 3000 \] উত্তর: করিম সাহেবের মাসিক বেতন \(3000\) টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো \(x\)।

প্রশ্ন অনুসারে: \[ \frac{30}{100}x - 30 = 30 \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ \frac{30}{100}x = 30 + 30 \] \[ \frac{30}{100}x = 60 \] \(x\)-এর মান নির্ণয় করতে: \[ x = \frac{60 \times 100}{30} \] \[ x = 200 \] উত্তর: সংখ্যাটি হলো \(200\)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, কোনো সংখ্যার ১% বের করার জন্য সংখ্যাটিকে \( \frac{1}{100} \)-এর সাথে গুণ করতে হয়।

\(১৬ \, \text{কোটি} = ১৬,০০,০০,০০০\)

এখন, \(১৬,০০,০০,০০০ \times \frac{1}{100} = ১৬,০০,০০,০০০ \div ১০০ = ১৬,০০,০০০\)

উত্তর: ১৬ কোটির ১% হলো \(১৬,০০,০০০\)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা কফির দাম এবং ব্যবহারের সম্পর্কের জন্য একটি সহজ গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করব।

যেহেতু কফির দাম ১০% কমেছে, আমাদের লক্ষ্য হবে ব্যবহার বৃদ্ধি এমনভাবে করা যাতে মোট খরচ অপরিবর্তিত থাকে।

সূত্র:
যদি পণ্যের মূল্য \(P\)% হ্রাস পায়, তবে ব্যবহারের বৃদ্ধি \( \frac{P}{100-P} \times 100 \)% হবে।

এখানে, \(P = 10\)%।
তাহলে ব্যবহারের বৃদ্ধি: \[ \text{বৃদ্ধি} = \frac{10}{100-10} \times 100 = \frac{10}{90} \times 100 \] \[=11\frac{1}{9}\text{%}\] উত্তর: কফির ব্যবহার \(11\frac{1}{9}\text{%}\) বৃদ্ধি করতে হবে যাতে খরচ একই থাকে।

ব্যাখ্যাঃ মোট আমের সংখ্যা ছিল ১৮০। দুই দিন পর ৯টি আম পচে গেছে। তাহলে ভালো থাকা আমের সংখ্যা হলো: $$১৮০ - ৯ = ১৭১$$ ভালো থাকা আমের শতকরা হার নির্ণয় করি: \[ \text{ভালো আমের শতকরা হার} = \left(\frac{{ভালো আম}}{{মোট আম}} \times ১০০\right) \] \[ = \left(\frac{{১৭১}}{{১৮০}} \times ১০০\right) \] \[ = ৯৫\%। \] সুতরাং, শতকরা ৯৫% আম ভালো আছে।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধান করতে ভেন চিত্র বা সেট তত্ত্বের ধারণা ব্যবহার করা যেতে পারে। ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা করা যাক:

১. তথ্য বিশ্লেষণ:
- গণিতে পাশ করেছে: ৮০%
- বাংলায় পাশ করেছে: ৭০%
- উভয় বিষয়ে পাশ করেছে: ৬০%

২. ফেলের হার বের করতে:
পরীক্ষার্থীদের মোট সংখ্যা \(১০০\)% ধরা যাক।
যারা অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা: \[ (\text{গণিতে পাশ}) + (\text{বাংলায় পাশ}) - (\text{উভয়ে পাশ}) = ৮০ + ৭০ - ৬০ = ৯০\%। \] সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে: \[ ১০০ - ৯০ = ১০\%। \] উত্তর: উভয় বিষয়ে ১০% পরীক্ষার্থী ফেল করেছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি হলো \( x \)। তাহলে, \[ ৮০\% \text{ of } x = ৪৮ \] \[ \frac{৮০}{১০০} \times x = ৪৮ \] \[ x = \frac{৪৮ \times ১০০}{৮০} \] \[ x = \frac{৪৮০০}{৮০} = ৬০ \] অতএব, ৪৮ হল ৬০-এর ৮০%।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, চাকুরিজীবীর পূর্বের বেতন ছিল \( x \) টাকা। ১৫% বৃদ্ধি পেয়ে নতুন বেতন হলো ৫৭৫০ টাকা। সুতরাং, সমীকরণ হবে: \[ x + \frac{১৫}{১০০}x = ৫৭৫০ \] \[ x \left(1 + \frac{১৫}{১০০}\right) = ৫৭৫০ \] \[ x \times ১.১৫ = ৫৭৫০ \] \[ x = \frac{৫৭৫০}{১.১৫} = ৫০০০ \] উত্তর: চাকুরিজীবীর পূর্বের বেতন ছিল ৫০০০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, লাঠিটির মোট দৈর্ঘ্য হলো 'L' মিটার।

প্রশ্নানুসারে,
লাঠির ৪০% + ৪৫ মিটার = সম্পূর্ণ লাঠির দৈর্ঘ্য
$\frac{40}{100}L + 45 = L$
$0.40L + 45 = L$
$45 = L - 0.40L$
$45 = 0.60L$
$L = \frac{45}{0.60}$
$L = 75$

সুতরাং, লাঠিটির দৈর্ঘ্য হলো 75 মিটার।