ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ: \[ 3x - y = 3 \] \[ 5x + y = 21 \] দুইটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (3x - y) + (5x + y) = 3 + 21 \] \[ 8x = 24 \] \[ x = \frac{24}{8} = 3 \] x = 3 মান প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ 3(3) - y = 3 \] \[ 9 - y = 3 \] \[ y = 9 - 3 = 6 \] উত্তর: \[ (x, y) = (3, 6) \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে (x + 5)² প্রসারিত করি:

\[
(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)
\]

এখন গুণ করি:

\[
x^2 + 5x + 5x + 25
\]

\[
x^2 + 10x + 25
\]

এখন এই সমীকরণকে \( x^2 + bx + c \) এর সঙ্গে তুলনা করলে পাই:

b = 10
c = 25

তাহলে, b = 10 এবং c = 25 হলে সমীকরণটি অভেদ হবে।

ব্যাখ্যাঃ $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানার জন্য, আমাদের প্রথমে এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (discriminant) নির্ণয় করতে হবে। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর নিরূপক হলো $\Delta = b^2 – 4ac$.

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে আমরা পাই:
$a = 6$
$b = -7$
$c = -4$

এখন, নিরূপক $\Delta$ এর মান নির্ণয় করি:
$\Delta = (-7)^2 – 4(6)(-4)$
$\Delta = 49 – (-96)$
$\Delta = 49 + 96$
$\Delta = 145$

যেহেতু নিরূপক $\Delta > 0$ এবং $\Delta$ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয় ($12^2 = 144$ এবং $13^2 = 169$), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় হবে:

• বাস্তব (real)
  
• অসমান (unequal)
  
• অমূলদ (irrational)
  

সুতরাং, $6x^2 – 7x – 4 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ।

ব্যাখ্যাঃ ধরি
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অংক x
" দশক " " y
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y$
প্রশ্নমতে
$10x + y = x + 10y + 54$
$\Rightarrow 10x - x + y - 10y = 54$
$9x - 9y = 54$
$\therefore x - y = 6$ ...................... (i)
আবার, $x + y = 12$ .........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই
$2x = 18$
$\therefore x = 9$
(i) এ x এর মান বসাই
$9 - y = 6$ $\therefore y = 3$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y = 9 + 10 \times 3 = 39$

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ:
১) $x^2+y^2=185$
২) $x-y=3$

২নং সমীকরণ থেকে আমরা $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = y+3$

এখন, $x$-এর এই মানটি ১নং সমীকরণে বসাই:
$(y+3)^2 + y^2 = 185$

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ সূত্র ব্যবহার করে $(y+3)^2$-কে বিস্তৃত করি:
$y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 + y^2 = 185$
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185$

একই পদগুলো যোগ করি:
$2y^2 + 6y + 9 = 185$

$185$-কে বাম পাশে নিয়ে আসি:
$2y^2 + 6y + 9 - 185 = 0$
$2y^2 + 6y - 176 = 0$

সমীকরণটিকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করি:
$y^2 + 3y - 88 = 0$

এখন, $y$-এর মান নির্ণয় করার জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করব। আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল $-88$ এবং যোগফল $+3$ হয়। সংখ্যা দুটি হলো $+11$ এবং $-8$।

$(y+11)(y-8) = 0$

এখান থেকে $y$-এর দুটি সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়:
$y+11 = 0 \implies y = -11$
অথবা, $y-8 = 0 \implies y = 8$

এখন $y$-এর প্রতিটি মানের জন্য $x$-এর মান বের করি ($x = y+3$ ব্যবহার করে):

ক্ষেত্র ১: যদি $y = -11$ হয়
$x = -11 + 3$
$x = -8$
একটি সমাধান হলো $(x, y) = (-8, -11)$।

ক্ষেত্র ২: যদি $y = 8$ হয়
$x = 8 + 3$
$x = 11$
অন্য একটি সমাধান হলো $(x, y) = (11, 8)$।

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সমাধান হলো $(11, 8)$।
(অন্য সমাধানটি হলো $(-8, -11)$।)

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x - y = ২$ ------ (১)
$xy = ২৪$ ------ (২)

আমরা জানি, $(x - y)^২ = x^২ - ২xy + y^২$
বা, $(x - y)^২ = x^২ + y^২ - ২xy$

আবার, $x^২ + y^২ = (x + y)^২ - ২xy$

সুতরাং, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ২xy - ২xy$
বা, $(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy$

দেওয়া আছে $x - y = ২$ এবং $xy = ২৪$।
মান বসিয়ে পাই:
$(২)^২ = (x + y)^২ - ৪ \times ২৪$
$৪ = (x + y)^২ - ৯৬$
$(x + y)^২ = ৪ + ৯৬$
$(x + y)^২ = ১০০$
$x + y = \pm \sqrt{১০০}$
$x + y = \pm ১০$ ------ (৩)

এখন আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:
১) $x - y = ২$
২) $x + y = ১০$ (ধনাত্মক মান নিয়ে)
অথবা,
২) $x + y = -১০$ (ঋণাত্মক মান নিয়ে)

কেস ১: যখন $x + y = ১০$
$x - y = ২$
$x + y = ১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + ১০$
$২x = ১২$
$x = \frac{১২}{২}$
$x = ৬$

$x = ৬$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$৬ - y = ২$
$y = ৬ - ২$
$y = ৪$

এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $৬ \times ৪ = ২৪$, যা সঠিক।

কেস ২: যখন $x + y = -১০$
$x - y = ২$
$x + y = -১০$
এই দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(x - y) + (x + y) = ২ + (-১০)$
$২x = -৮$
$x = \frac{-৮}{২}$
$x = -৪$

$x = -৪$ হলে, (১) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$-৪ - y = ২$
$-y = ২ + ৪$
$-y = ৬$
$y = -৬$

এই মানগুলো দিয়ে $xy = ২৪$ সমীকরণটি যাচাই করি: $(-৪) \times (-৬) = ২৪$, যা সঠিক।

প্রশ্নানুসারে $x$ এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে।
ধনাত্মক মানটি হলো $x = ৬$।

সুতরাং, $x$ এর ধনাত্মক মানটি হলো ৬।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে সমীকরণটি:
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2$

বামদিকের ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. করি:
ল.সা.গু. হলো $x(x+1)$।

$\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2$
$\frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2$
$\frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2$

এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$7x + 3 = 2(x^2 + x)$
$7x + 3 = 2x^2 + 2x$

সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপে সাজাই ($ax^2 + bx + c = 0$):
$0 = 2x^2 + 2x - 7x - 3$
$0 = 2x^2 - 5x - 3$

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x + 1) = 0$

অতএব, দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে:
১) $x - 3 = 0$
$x = 3$

২) $2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

সুতরাং, $x$ এর মানগুলো হলো $3$ অথবা $-\frac{1}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, সংখ্যাটি x. এখানে, ০.১ পৌনোপৌনিক = ১/৯ এবং ০.১ = ১/১০ প্রশ্নমতে, x/৯ - x/১০ = ১ বা, (১০x - ৯x)/৯০ =১ বা, x = ৯০ সুতরাং, সংখ্যাটি ৯০

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, মামুন $x$ সংখ্যক কলম কিনেছিল এবং প্রতিটি কলমের মূল্য ছিল $y$ টাকা।

শর্তানুসারে,
$xy = ২৪০$ ... (১)

যদি সে একটি কলম বেশি পেত ($x+১$ টি), তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ১ টাকা কম পড়ত ($y-১$ টাকা)। এক্ষেত্রেও মোট মূল্য একই থাকত।
$(x+১)(y-১) = ২৪০$ ... (২)

সমীকরণ (১) থেকে পাই, $y = \frac{২৪০}{x}$।
এই মানটি সমীকরণ (২) এ বসিয়ে পাই:
$(x+১)(\frac{২৪০}{x}-১) = ২৪০$
$x(\frac{২৪০}{x}) - x(১) + ১(\frac{২৪০}{x}) - ১(১) = ২৪০$
$২৪০ - x + \frac{২৪০}{x} - ১ = ২৪০$
$-x + \frac{২৪০}{x} - ১ = ০$

উভয় পক্ষকে $x$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$-x^২ + ২৪০ - x = ০$
$x^২ + x - ২৪০ = ০$

এখন আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করব।
$x^২ + ১৬x - ১৫x - ২৪০ = ০$
$x(x+১৬) - ১৫(x+১৬) = ০$
$(x+১৬)(x-১৫) = ০$

সুতরাং, $x+১৬ = ০$ বা $x-১৫ = ০$।
$x = -১৬$ অথবা $x = ১৫$।

যেহেতু কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = ১৫$।
অর্থাৎ, মামুন ১৫টি কলম কিনেছিল।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(3x - 7y + 10 = 0\) এবং \(y - 2x - 3 = 0\)-এর সমাধান বের করতে একটি সমীকরণ পদ্ধতি (substitution বা elimination) ব্যবহার করব। নিচে ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো:

ধাপ ১: \(y\)-এর মান বের করা
দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে \(y\)-এর মান বের করি: \[ y - 2x - 3 = 0 \implies y = 2x + 3 \] ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে \(y\)-এর মান বসানো
\(y = 2x + 3\)-কে প্রথম সমীকরণে (\(3x - 7y + 10 = 0\)) বসাই: \[ 3x - 7(2x + 3) + 10 = 0 \] এখন সরল করি: \[ 3x - 14x - 21 + 10 = 0 \] \[ -11x - 11 = 0 \] ধাপ ৩: \(x\)-এর মান বের করা \(-11x - 11 = 0\) সমীকরণ থেকে: \[ -11x = 11 \implies x = -1 \] ধাপ ৪: \(y\)-এর মান বের করা \(x = -1\)-কে \(y = 2x + 3\)-এ বসাই: \[ y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \[ x = -1 \quad \text{এবং} \quad y = 1 \] তাহলে, সমাধান হলো \(x = -1\) এবং \(y = 1\)।

ব্যাখ্যাঃ
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$

এখানে,
$a+b=2$
$ab=1$

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1)$
$(a-b)^2 = 4 - 4$
$(a-b)^2 = 0$
$a-b = 0$
$a=b$

এখন $a=b$ সম্পর্কটি $a+b=2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$a+a = 2$
$2a = 2$
$a = 1$

যেহেতু $a=b$, তাই $b$ এর মানও $1$ হবে।

সুতরাং, $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে $1$ এবং $1$।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x+y = 48$ ---(i)
$xy = 432$ ---(ii)

এখন আমরা জানি, $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$

মান বসিয়ে পাই,
$(x-y)^2 = (48)^2 - 4(432)$
$(x-y)^2 = 2304 - 1728$
$(x-y)^2 = 576$
$x-y = \sqrt{576}$
$x-y = 24$ ---(iii)

এখন সমীকরণ (i) এবং (iii) যোগ করে পাই,
$(x+y)+(x-y) = 48+24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
$36+y = 48$
$y = 48-36$
$y = 12$

সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ৩৬ এবং ১২। এদের মধ্যে বড় সংখ্যাটি হলো ৩৬।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $a$ এবং $b$।
প্রশ্নানুসারে,
$a+b = 20$
$ab = 96$

সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক হলো $\frac{1}{a}$ এবং $\frac{1}{b}$।

ব্যস্তানুপাতিক যোগফল = $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$= \frac{a+b}{ab}$

এখন, $a+b$ এবং $ab$ এর মান বসিয়ে পাই:
$= \frac{20}{96}$
$= \frac{5}{24}$

সুতরাং, সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল হলো $\frac{5}{24}$।

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো: \[ a - 11 = 40 \] এখন, উভয় পাশে \( 11 \) যোগ করি: \[ a - 11 + 11 = 40 + 11 \] \[ a = 51 \] সুতরাং, \( a = 51 \) ✅

ব্যাখ্যাঃ

আপনাকে সাহায্য করতে পেরে আমি আনন্দিত। এখানে, শিক্ষা সফরে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল, তা বের করার জন্য একটি পদ্ধতি অনুসরণ করা হলো: ধাপ ১: চলক ধরা মনে করি, প্রথমে বাসে x জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। ধাপ ২: মাথাপিছু ভাড়া নির্ণয় ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলে, জন প্রতি ভাড়া হবে ২৪০০/x টাকা। ধাপ ৩: নতুন সংখ্যা ও ভাড়ার সম্পর্ক তৈরি ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী বেশি যাওয়ায়, মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা দাঁড়ায় x + ১০ জন। এখন, জন প্রতি ভাড়া হয় ২৪০০/(x + ১০) টাকা। ধাপ ৪: সমীকরণ গঠন প্রশ্নমতে, পূর্বের ভাড়া থেকে বর্তমান ভাড়া ৮ টাকা কম হওয়ায়, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই: ২৪০০/x - ২৪০০/(x + ১০) = ৮ ধাপ ৫: সমীকরণ সমাধান উভয় পক্ষকে ৮ দিয়ে ভাগ করে পাই: ৩০০/x - ৩০০/(x + ১০) = ১ উভয় পক্ষকে x(x + ১০) দিয়ে গুণ করে পাই: ৩০০(x + ১০) - ৩০০x = x(x + ১০) সরলীকরণ করে পাই: x^২ + ১০x - ৩০০০ = ০ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে সমাধান করে পাই: x = -৬০ অথবা x = ৫০ যেহেতু ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = ৫০। ধাপ ৬: মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা নির্ণয় অতএব, প্রথমে বাসে ৫০ জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা = ৫০ + ১০ = ৬০ জন। উত্তর: শিক্ষা সফরে মোট ৬০ জন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল। যদি কোথাও বুঝতে অসুবিধা হয়, তবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x + ৬ = \frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x = \frac{২}{৩}x - ৬$$ এরপর \( x \)-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x) = ৬(\frac{২}{৩}x - ৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x = ৪x - ৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে \( ৪x \)-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬ = ৪x - ৩x$$ অতঃপর: $$৩৬ = x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬। আশা করছি এটি আপনার জন্য সহায়ক হয়েছে! ????

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x + ৬ = \frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x = \frac{২}{৩}x - ৬$$ এরপর \( x \)-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x) = ৬(\frac{২}{৩}x - ৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x = ৪x - ৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে \( ৪x \)-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬ = ৪x - ৩x$$ অতঃপর: $$৩৬ = x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \( x^3 = 64 \) সমীকরণটি সমাধান করতে চাই। প্রথমে, উভয় পাশে ঘনমূল (\(\sqrt[3]{}\)) নিই— \[ x = \sqrt[3]{64} \] আমরা জানি, \[ 64 = 4^3 \] তাহলে, \[ x = 4 \] সুতরাং, \( x \) এর মান হবে ৪।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা $B$ এবং ছাত্র সংখ্যা $S$।

প্রথম শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে।
অর্থাৎ, ছাত্র বসেছে $(B - 3)$টি বেঞ্চে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 4 \times (B - 3)$
$S = 4B - 12$ --- (১)

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
অর্থাৎ, সব বেঞ্চে ৩ জন করে বসার পর ৬ জন অতিরিক্ত থাকে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 3B + 6$ --- (২)

এখন, (১) ও (২) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$4B - 12 = 3B + 6$

$4B - 3B = 6 + 12$
$B = 18$

বেঞ্চের সংখ্যা ১৮টি।
এখন, বেঞ্চের সংখ্যা (১) নং সমীকরণে বসিয়ে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় করি:
$S = 4B - 12$
$S = 4 \times 18 - 12$
$S = 72 - 12$
$S = 60$

সুতরাং, ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

উত্তর: ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

ব্যাখ্যাঃ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
এখানে, ক্ষেত্রফল = 35 বর্গ সেমি
দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি
প্রস্থ = $(x-2)$ সেমি

প্রশ্নানুসারে,
$x(x-2) = 35$
$x^2 - 2x = 35$
$x^2 - 2x - 35 = 0$

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:
$x^2 - 7x + 5x - 35 = 0$
$x(x-7) + 5(x-7) = 0$
$(x-7)(x+5) = 0$

এখানে দুটি সমাধান পাওয়া যায়:
$x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$
অথবা
$x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$

যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 7$।

অতএব, $x$ এর মান হল 7।