ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গণনা
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{30} \right\rfloor = 33
$$

অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।

ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$
\text{LCM}(30, 16) = 240
$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$
\left\lfloor \frac{1000}{240} \right\rfloor = 4
$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।

ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$
33 - 4 = \boxed{29}
$$

ব্যাখ্যাঃ মনে করি সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো $x$.

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:

$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{4}$
$x \equiv 3 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{6}$

লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:

$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$5 - 3 = 2$
$6 - 4 = 2$

এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x + 2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।

এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:

৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2 \times 3$

LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$

সুতরাং, $x + 2 = 60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k = 1$ ধরব।

$x + 2 = 60 \times 1$
$x + 2 = 60$
$x = 60 - 2$
$x = 58$

অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।

ব্যাখ্যাঃ ধরি
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অংক x
" দশক " " y
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y$
প্রশ্নমতে
$10x + y = x + 10y + 54$
$\Rightarrow 10x - x + y - 10y = 54$
$9x - 9y = 54$
$\therefore x - y = 6$ ...................... (i)
আবার, $x + y = 12$ .........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই
$2x = 18$
$\therefore x = 9$
(i) এ x এর মান বসাই
$9 - y = 6$ $\therefore y = 3$
$\therefore$ সংখ্যাটি $= x + 10y = 9 + 10 \times 3 = 39$

ব্যাখ্যাঃ $0, 1, 2, 3$ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৩২১০।

একই অঙ্কগুলো ব্যবহার করে গঠিত চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০২৩। (কারণ, ০ দিয়ে শুরু করলে সেটি তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে)।

এখন, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।

ব্যাখ্যাঃ

২১২, ১৮, ২৪ ৩৬, ৯, ১২ ২২, ৩, ৪ ১, ৩, ২ ১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ২ × ৩×২×১× ৩×২=৭২ .. নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২ - ২ = ৭০

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নানুসারে, $x$ সংখ্যাটি ৩০১ থেকে যত বড়, ৩৮১ থেকে তত ছোট।
সুতরাং, $x$ এবং ৩০১ এর মধ্যে পার্থক্য, $x$ এবং ৩৮১ এর মধ্যে পার্থক্যের সমান।
$x - 301 = 381 - x$

এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান বের করি:
$x + x = 381 + 301$
$2x = 682$
$x = \frac{682}{2}$
$x = 341$

সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৪১।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলো যোগ করি: \[ 1.1 + 0.01 + 0.0011 \] ধাপে ধাপে যোগ করলে, \[ 1.1 + 0.01 = 1.11 \] \[ 1.11 + 0.0011 = 1.1111 \] সুতরাং, উত্তর: 1.1111 ✅

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো \( x-1, x, x+1 \)। তাহলে তাদের গুণফল দেওয়া আছে, \[ (x-1) \times x \times (x+1) = 120 \] ### ধাপ ১: সমীকরণ গঠন \[ x(x^2 - 1) = 120 \] \[ x^3 - x = 120 \] \[ x^3 = 121 \] ### ধাপ ২: যথাযথ মান বের করা আমরা 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করি: \[ (3-1) \times 3 \times (3+1) = 2 \times 3 \times 4 = 24 \neq 120 \] \[ (4-1) \times 4 \times (4+1) = 3 \times 4 \times 5 = 60 \neq 120 \] \[ (5-1) \times 5 \times (5+1) = 4 \times 5 \times 6 = 120 \] ### ধাপ ৩: যোগফল বের করা \[ 4 + 5 + 6 = 15 \] ✅ উত্তর: ১৫

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: দেওয়া তথ্য বিশ্লেষণ - ২ জন টাইপিস্ট ২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে। - অর্থাৎ, ২ জন টাইপিস্ট ১ মিনিটে টাইপ করতে পারে: \[ \frac{2 \text{ পৃষ্ঠা}}{2 \text{ মিনিট}} = 1 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট} \] সুতরাং, ২ জন টাইপিস্ট একসাথে ১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে। ### ধাপ ২: ১ জন টাইপিস্ট কত টাইপ করে তা বের করা যেহেতু ২ জন টাইপিস্ট ১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে, তাই ১ জন টাইপিস্ট টাইপ করবে: \[ \frac{1 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট}}{2} = 0.5 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট} \] ### ধাপ ৩: প্রয়োজনীয় টাইপিং হার নির্ণয় করা আমাদের ৬ মিনিটে ১৮ পৃষ্ঠা টাইপ করতে হবে। সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইপিং হার হবে: \[ \frac{18 \text{ পৃষ্ঠা}}{6 \text{ মিনিট}} = 3 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট} \] ### ধাপ ৪: প্রয়োজনীয় টাইপিস্ট সংখ্যা নির্ণয় করা যেহেতু ১ জন টাইপিস্ট ১ মিনিটে ০.৫ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে, তাই ৩ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট টাইপ করতে প্রয়োজন হবে: \[ \frac{3 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট}}{0.5 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট প্রতি টাইপিস্ট}} = 6 \text{ টাইপিস্ট} \] ### উত্তর: ৬ জন টাইপিস্ট লাগবে ১৮ পৃষ্ঠা টাইপ করতে ৬ মিনিটে। ✅

ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করতে প্রথমে তার মৌলিক গুণনীয়কের মাধ্যেমে বিশ্লেষণ করি।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: \((a+1)(b+1)\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে \(2^3\) এর ২ এর ঘাত \(৩\), এবং \(3^2\) এর ৩ এর ঘাত \(২\)। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12 $$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)। প্রশ্নানুসারে: \[ x - 650 = 820 - x \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ x - 650 = 820 - x \] \[ x + x = 820 + 650 \] \[ 2x = 1470 \] \[ x = \frac{1470}{2} = 735 \] উত্তর: \[ \boxed{735} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা \( x \)।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 3x + 2x = 90 \] অতএব, \[ 5x = 90 \] \[ x = \frac{90}{5} \] \[ x = 18 \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?

ব্যাখ্যাঃ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করতে হবে।

### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।

### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ (\( a \)) = ১২, সাধারণ অন্তর (\( d \)) = ৪, এবং শেষ পদ (\( l \)) = ৯৬।

সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] মান বসিয়ে: \[ n = \frac{96 - 12}{4} + 1 \] \[ n = \frac{84}{4} + 1 \] \[ n = 21 + 1 \] \[ n = 22 \] উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের একটি লঘিষ্ঠ সংখ্যা \( x \) বের করতে হবে, যাতে \( x + 3 \) সংখ্যাটি ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

### ধাপ ১: ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) বের করা প্রথমে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর LCM বের করব।

- ২৪ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^3 \times 3 \)
- ৩৬ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^2 \times 3^2 \)
- ৪৮ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^4 \times 3 \)

LCM হলো সর্বোচ্চ ঘাতের মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল: \[ \text{LCM} = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 \] ### ধাপ ২: \( x + 3 = 144 \)
যেহেতু \( x + 3 \) কে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে, তাই: \[ x + 3 = 144 \] ### ধাপ ৩: \( x \) এর মান বের করা \[ x = 144 - 3 = 141 \] উত্তর: লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো ১৪১।

ব্যাখ্যাঃ

বালকের সংখ্যা + 4 = বালিকার সংখ্যা

=> b + 4 = g

∴ b = g - 4

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

- ১০টি সংখ্যার যোগফল = ৪৬২
- প্রথম ৪টির গড় = ৫২
- শেষের ৫টির গড় = ৩৮

প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল হবে: \[ ৫২ \times ৪ = ২০৮ \] শেষের ৫টি সংখ্যার যোগফল হবে: \[ ৩৮ \times ৫ = ১৯০ \] এখন, প্রথম ৪টি সংখ্যা + পঞ্চম সংখ্যা + শেষের ৫টি সংখ্যা = মোট যোগফল \[ ২০৮ + x + ১৯০ = ৪৬২ \] \[ x = ৪৬২ - (২০৮ + ১৯০) \] \[ x = ৪৬২ - ৩৯৮ \] \[ x = ৬৪ \] সুতরাং, পঞ্চম সংখ্যাটি ৬৪।

ব্যাখ্যাঃ \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] এখানে, \(f(x) = x^3 - x^2\)। তাহলে, \(f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4\)। অতএব, অবশিষ্টাংশ হল \(4\)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো \(x-1\), \(x\), এবং \(x+1\)। তাহলে তাদের গুণফল দেওয়া আছে: \[ (x-1) \cdot x \cdot (x+1) = 120 \] এটি একটি গুণফল সূত্র যেখানে \(x-1, x, x+1\) হলো ধারাবাহিক তিনটি সংখ্যা। এখানে \((x-1)(x)(x+1)\) হলো ক্রমিক গুণনীয়ক: \[ x(x^2 - 1) = 120 \] সরল করলে পাই: \[ x^3 - x = 120 \] এখন আমরা \(x\)-এর মান বের করি। ধারণা করা যায় \(x = 5\), কারণ: \[ 5^3 - 5 = 125 - 5 = 120 \] তাহলে, সংখ্যাগুলো হলো \(5-1 = 4\), \(5\), এবং \(5+1 = 6\)। এদের যোগফল হবে: \[ 4 + 5 + 6 = 15 \] চূড়ান্ত উত্তর:
পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল হলো \(15\)।