ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $i=\sqrt{-1}$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, এবং $i^4=1$.

এখন, $-49$ কে $4$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:
$$-49=4\times (-13)+3$$

সুতরাং,
$$i^{-49}=i^{4\times (-13)+3}=(i^4{)}^{-13}\times i^3$$

যেহেতু $i^4=1$, তাই
$$i^{-49}=(1{)}^{-13}\times i^3=1\times i^3=i^3$$

আমরা জানি $i^3=-i$.

অতএব,
$$i^{-49}=-i$$

সুতরাং, $$i^{-49}$$ এর মান $-i$.
$$
উত্তর: $-i$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত অসমতা $\frac{1}{(3x-5)}<\frac{1}{3}$ ধাপে ধাপে সমাধান করবো।

ধাপ ১: পদের পারস্পরিক পরিবর্তন

আমরা উভয় পক্ষে প্রতিপাদক রাশির (Reciprocal) ব্যবহার করতে পারি, তবে চিহ্ন পরিবর্তনের কথা মনে রাখতে হবে।

যেহেতু $3x-5$ কোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, তাই আমাদের প্রকৃত ক্ষেত্রে $3x-5$ এর চিহ্ন বুঝতে হবে।

(ক) যখন $3x-5>0$, অর্থাৎ $x>\frac{5}{3}$

$$(3x-5)>3$$

$$3x>8$$

$$x>\frac{8}{3}$$

(খ) যখন $3x-5<0$, অর্থাৎ $x<\frac{5}{3}$

এক্ষেত্রে অসমতার দিক বদলে যাবে, তাই
$$(3x-5)<3$$

$$3x<8$$

$$x<\frac{8}{3}$$

ধাপ ২: সংযুক্ত সমাধান সেট

আমরা দেখতে পাচ্ছি, যখন $x>\frac{5}{3}$, তখন $x>\frac{8}{3}$ শর্ত প্রযোজ্য।
আর যখন $x<\frac{5}{3}$, তখন $x<\frac{8}{3}$ শর্ত প্রযোজ্য।

অতএব, চূড়ান্ত সমাধান সেট:
$$x<\frac{5}{3}\text{or}x>\frac{8}{3}$$

চূড়ান্ত উত্তর:

$$(-\mathrm{\infty },\frac{5}{3})\cup (\frac{8}{3},\mathrm{\infty })$$

ব্যাখ্যাঃ ১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করার জন্য, প্রথমে আমাদের দেখতে হবে ১০০ এর পরে প্রথম কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য এবং ২০০ এর আগে শেষ কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

১০০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩৩ এবং ভাগশেষ থাকে ১। সুতরাং, ১০০ এর পরে প্রথম ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটি হলো ১০০ + (৩ - ১) = ১০২।

২০০ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ৬৬ এবং ভাগশেষ থাকে ২। সুতরাং, ২০০ এর আগে শেষ ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটি হলো ২০০ - ২ = ১৯৮।

এখন, আমরা একটি সমান্তর ধারা পেলাম যেখানে প্রথম পদ (a) = ১০২, শেষ পদ (l) = ১৯৮ এবং সাধারণ অন্তর (d) = ৩।

ধরি, এই ধারায় মোট n সংখ্যক পদ আছে। তাহলে, সমান্তর ধারার শেষ পদের সূত্র অনুযায়ী:

$$l=a+(n-1)d$$

এখানে,
১৯৮ = ১০২ + (n - 1)৩
১৯৮ - ১০২ = (n - 1)৩
৯৬ = (n - 1)৩
$\frac{৯৬}{৩}$ = n - 1
৩২ = n - 1
n = ৩২ + ১
n = ৩৩

সুতরাং, ১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য মোট ৩৩ টি সংখ্যা আছে।

ব্যাখ্যাঃ একটি মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা $1$ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করে দেখব:

* কঃ ৪৭
$৪৭$ কে $1$ এবং $৪৭$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।
(যেমন: $২,৩,৫,৭$ ইত্যাদি দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
সুতরাং, $৪৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা।

* খঃ ৮৭
$৮৭$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৩$ দ্বারা বিভাজ্য ($৮৭=৩\times ২৯$)।

* গঃ ৯১
$৯১$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $৭$ দ্বারা বিভাজ্য ($৯১=৭\times ১৩$)।

* ঘঃ ১৪৩
$১৪৩$ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি $১১$ দ্বারা বিভাজ্য ($১৪৩=১১\times ১৩$)।

সুতরাং, কঃ ৪৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যা মৌলিক নয়, যদি এর ১ এবং সংখ্যাটি নিজে ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক থাকে।

আসুন প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:

* কঃ ২৬৩
২৬৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৬৩।

* খঃ ২৩৩
২৩৩ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৩৩।

* গঃ ২৫৩
২৫৩ মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ২৫৩ কে $11$ দ্বারা ভাগ করা যায়:
$253÷11=23$
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদকগুলো হলো $1,11,23,253$। যেহেতু এটির ১ এবং ২৫৩ ছাড়া আরও উৎপাদক (১১ এবং ২৩) আছে, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, বরং একটি যৌগিক সংখ্যা।

* ঘঃ ২৪১
২৪১ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর উৎপাদকগুলো হলো ১ এবং ২৪১।

সুতরাং, যে সংখ্যাটি মৌলিক নয়, সেটি হলো গঃ ২৫৩।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে এবং তারপর যেসব সংখ্যার একই স্থানীয় অংক (একক স্থান) ৯, সেগুলোর যোগফল বের করতে হবে।
১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: $$11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59$$ এখন, যেসব সংখ্যার একক স্থান ৯:
19
29
59
এদের যোগফল:
$$19+29+59=107$$
সুতরাং, উত্তর: ১০৭ ✅

ব্যাখ্যাঃ - পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো 10000 - চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো 9999 এদের অন্তর: $$10000-9999=1$$ সুতরাং, উত্তর: 1 ✅

ব্যাখ্যাঃ

৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।

ব্যাখ্যাঃ

৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা (প্রাইম নম্বর) হল:
৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
এই সংখ্যা গুলির মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো মোট ৪টি।

ব্যাখ্যাঃ $$p$$ একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং $$p$$ সংখ্যাটি স্বাভাবিক, পূর্ণ ও মূলদ সংখ্যা। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল করলে সেটি অমূলদ। সুতরাং $$\sqrt{p}$$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা $n$ এবং $n+1$ তাহলে তাদের বর্গের অন্তর হবে: $(n+1{)}^2-n^2=47$ এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি: $$(n^2+2n+1)-n^2=47$$ $$2n+1=47$$ $$2n=46$$ $$n=23$$ সুতরাং, দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হল ২৩ এবং ২৪।

ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা একটি সহজ প্রমাণ দেখব। ### প্রমাণ: $\sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যা ধরি, $\sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)। তাহলে একে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যাবে, যেখানে $p$ এবং $q$ পরস্পর সহমৌলিক (অর্থাৎ তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক 1) এবং $q\ne 0$। $$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$$ উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: $$2=\frac{p^2}{q^2}$$ অর্থাৎ, $$p^2=2q^2$$ এখানে $p^2$ একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $p$ অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে (যেহেতু বিজোড় সংখ্যার বর্গ কখনো জোড় হয় না)। ধরি, $p=2k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: $$(2k{)}^2=2q^2$$ $$4k^2=2q^2$$ $$q^2=2k^2$$ এখানে $q^2$ একটি জোড় সংখ্যা, কারণ এটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $q$ অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। কিন্তু এখানে $p$ এবং $q$ উভয়ই জোড় সংখ্যা, যা আমাদের প্রাথমিক শর্ত $p$ এবং $q$ পরস্পর সহমৌলিকের বিরোধী। অর্থাৎ, আমাদের ধারণা ভুল। সুতরাং, $\sqrt{2}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, অর্থাৎ $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}\text{ একটি অমূলদ সংখ্যা।}}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা $n$, যাতে ৩৪৬ কে $n$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে। আমরা বলতে পারি: $$৩৪৬=kn+৩১$$ এখানে, $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: $$৩৪৬-৩১=kn$$ $$৩১৫=kn$$ তাহলে, $n$ হতে হবে ৩১৫ এর একটি গুণিতক। ৩১৫ এর সকল গুণিতক হল: $$১,৩,৫,৭,৯,১৫,২১,৩৫,৪৫,৬৩,১০৫,৩১৫$$ এখন $৩৪৬$ কে $n$ দ্বারা ভাগ করলে ৩১ অবশিষ্ট থাকবে। তাই, আমরা $n$ এর মান নিতে পারি $৩১৫$ এর সকল গুণিতক থেকে (১ বাদ দিয়ে, কারণ তা সম্ভব নয়)। $$৩,৫,৭,৯,১৫,২১,৩৫,৪৫,৬৩,১০৫,৩১৫$$ তাহলে, স্বাভাবিক সংখ্যা যেগুলি দ্বারা ৩৪৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে সেগুলি হল: $$৩,৫,৭,৯,১৫,২১,৩৫,৪৫,৬৩,১০৫,৩১৫$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা $x$ এবং $x+1$। তাহলে, তাদের বর্গের অন্তর হবে: $$(x+1{)}^2-x^2=199$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$(x+1{)}^2-x^2=199$$ $$x^2+2x+1-x^2=199$$ $$2x+1=199$$ $$2x=198$$ $$x=99$$ তাহলে, দুটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যাটি হল: $$x+1=99+1=100$$ সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হল ১০০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $x$ যোগ করতে চাই, যাতে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

### ধাপ ১: ল.সা.গু নির্ণয় প্রথমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু (LCM) বের করি— $$\text{LCM}(2,3,4,5,6)=60$$ অর্থাৎ, $৯৯৯৯৯৯+x$ সংখ্যাটি ৬০ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। ### ধাপ ২: ৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটিকে ৬০ দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট নির্ণয় $$999999÷60=16666\text{ (ভাগফল), অবশিষ্ট }39$$ অতএব, $৯৯৯৯৯৯$ সংখ্যাটিকে ৬০ দ্বারা বিভাজ্য করতে অবশিষ্ট ৩৯ বাদ দিতে হবে।

অর্থাৎ, $x=60-39=21$ ### উত্তর:

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ২১।
অর্থাৎ, $৯৯৯৯৯৯+২১=১০০০০২০$ হবে, যা ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। ????

ব্যাখ্যাঃ যদি $x^2+px+6=0$ এর মূল দুটি সমান হয়, তবে সমীকরণের বিয়োজনকে $\mathrm{\Delta }=0$ হতে হবে।

বিয়োজনের সূত্র অনুযায়ী: $$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$ এখানে, $a=1$, $b=p$, এবং $c=6$।

তাহলে, $$\mathrm{\Delta }=p^2-4\times 1\times 6$$ $$0=p^2-24$$ $$p^2=24$$ $$p=\sqrt{24}$$ পরে, $p>0$ হওয়ার কারণে, $p=\sqrt{24}$ হবে।

অতএব, $p$ এর মান হলো $\sqrt{24}$।

ব্যাখ্যাঃ

যদি সংখ্যা পূর্ণ বর্গসংখ্যা হয় তবে সেটির ভাজক সংখ্যা বিজোড় হবে।
তাহলে আসুন আবার দেখি কোন সংখ্যার ভাজক সংখ্যা আসলেই বিজোড়।

আসুন বিশ্লেষণ করি:
- ক: ২০৪৮: ২০৪৮ = 2^11, 2 এর যেকোন গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- খ: ৫১২: ৫১২ = 2^9, এটি ও পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- গ: ১০২৪: ১০২৪ = 2^10, এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
- ঘ: ৪৮: ৪৮ এর কোনও গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।

তাহলে: গ: ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় কারণ এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক $x$ এবং এককের অঙ্ক $y$।

প্রশ্ন অনুযায়ী:
1. এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি: $$y=x+3$$ 2. সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি: $$10x+y=3(x+y)+4$$ এখন আমরা এই দুটি সমীকরণ সমাধান করি।

প্রথম সমীকরণ থেকে: $$y=x+3$$ এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: $$10x+(x+3)=3(x+(x+3))+4$$ $$10x+x+3=3(2x+3)+4$$ $$11x+3=6x+9+4$$ $$11x+3=6x+13$$ এখন $x$ নির্ণয় করি: $$11x-6x=13-3$$ $$5x=10$$ $$x=2$$ এখন $y$ নির্ণয় করি: $$y=x+3$$ $$y=2+3$$ $$y=5$$ অতএব, সংখ্যাটি হলো $10x+y=10\times 2+5=25$।

অতএব, সংখ্যাটি হলো ২৫।

ব্যাখ্যাঃ $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধাপ ১: $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মান নির্ণয় $$\begin{gathered} \sqrt{2}\approx 1.4142 \\ \sqrt{3}\approx 1.7321 \end{gathered}$$ ধাপ ২: মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা নির্ণয়
$\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো তাদের গড়: $$\text{গড়}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\approx \frac{1.4142+1.7321}{2}=\frac{3.1463}{2}\approx 1.5731$$ ধাপ ৩: মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ
এই মানটি একটি মূলদ সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, $1.5$ বা $\frac{3}{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা যা $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী।

ফলাফল
$\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হলো $1.5$ বা $\frac{3}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ

যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। উপরিউক্ত ৪টি সংখ্যার মধ্যে ৪৭ সংখ্যাটিরই কেবলমাত্র ২টি উৎপাদক আছে বলে এটি মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এগুলো হল: $$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$$ মৌলিক সংখ্যা হল যেসব সংখ্যা কেবল ১ এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য হয়।