ব্যাখ্যাঃ

১. সংখ্যা সমষ্টি নির্ণয়

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ধারা একটি সার্বিক সংখ্যা ধারা (Arithmetic Series), যেখানে:

• প্রথম পদ \(a = 1\)
  
• শেষ পদ \(l = 49\)
  
• মোট পদ সংখ্যা \(n = 49\)
  

ধারাটির যোগফল সূত্র:
\[
S = \frac{n}{2} \times (a + l)
\]

\[
S = \frac{49}{2} \times (1 + 49) = \frac{49}{2} \times 50 = 49 \times 25 = 1225
\]

২. গড় নির্ণয়

\[
\text{গড়} = \frac{1225}{49} = 25
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় ২৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = 70
মোট প্রাপ্ত নম্বর = $100 \times 70 = 7000$

ছাত্রীর সংখ্যা = 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর = 75
ছাত্রীদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $60 \times 75 = 4500$

ছাত্রের সংখ্যা = $100 - 60 = 40$ জন
ছাত্রদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $7000 - 4500 = 2500$
ছাত্রদের গড় নম্বর = $\frac{2500}{40} = 62.5$

সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর 62.5।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো $ক-১$, $ক$ এবং $ক+১$।

সংখ্যা তিনটির যোগফল = $(ক-১) + ক + (ক+১) = ৩ক$
সংখ্যা তিনটির গুণফল = $(ক-১) \times ক \times (ক+১) = ক(ক^২-১)$

প্রশ্নানুসারে,
সংখ্যা তিনটির গুণফল = ৫ $\times$ সংখ্যা তিনটির যোগফল
$ক(ক^২-১) = ৫ \times ৩ক$
$ক(ক^২-১) = ১৫ক$

উভয় পক্ষ থেকে $ক$ বাদ দিয়ে পাই (যেহেতু $ক \ne ০$):
$ক^২-১ = ১৫$
$ক^২ = ১৫+১$
$ক^২ = ১৬$
$ক = \sqrt{১৬}$
$ক = ৪$

যেহেতু সংখ্যা তিনটি ক্রমিক, তাই তাদের গড় হবে মাঝের সংখ্যাটি, অর্থাৎ $ক$।

সুতরাং, সংখ্যা তিনটির গড় হলো ৪।

ব্যাখ্যাঃ
তিন সদস্যের মোট বয়স: $২৪ \times ৩ = ৭২$ বছর।
অন্য দুজন সদস্যের সর্বনিম্ন বয়স হতে পারে ২১ বছর করে।
অন্য দুজন সদস্যের বয়সের সমষ্টি: $২১ + ২১ = ৪২$ বছর।
সুতরাং, তৃতীয় সদস্যের সর্বোচ্চ বয়স হবে: $৭২ - ৪২ = ৩০$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ
$m$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= m \times x = mx$
$n$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= n \times y = ny$

সব সংখ্যার মোট যোগফল $= (mx + ny)$
মোট সংখ্যা $= (m + n)$

সুতরাং, সব সংখ্যার গড়
$= \frac{সব সংখ্যার মোট যোগফল}{মোট সংখ্যা}$
$= \frac{mx + ny}{m+n}$

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং সে কারিমের থেকে তিনগুণ বড়। অর্থাৎ, কারিমের বয়স হবে: \[ \frac{১২}{৩} = ৪ \text{ বছর} \] এখন, প্রশ্নে বলা হচ্ছে, রাহিম তখন দুইগুণ বড় হবে কারিমের থেকে। তাহলে, সেই অবস্থায় রাহিমের বয়স হবে ২ গুণ কারিমের বয়সের। ধরা যাক, কিছু সময় পরে রাহিমের বয়স হবে x বছর এবং কারিমের বয়স হবে y বছর। আমরা জানি, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং কারিমের বয়স ৪ বছর। এখন, সময়ের সাথে তাদের বয়সে বৃদ্ধি হবে, এবং তাদের বয়সের পার্থক্য একটিই থাকবে। অতএব, রাহিমের বয়সের ও কারিমের বয়সের মধ্যে পার্থক্য থাকবে ৮ বছর। তাহলে, রাহিমের বয়স হবে: \[ x = 2y \] এবং, \[ x - y = ৮ \] এখন, প্রথম সমীকরণে x = 2y বসিয়ে দ্বিতীয় সমীকরণে দিয়ে সমাধান করি: \[ 2y - y = ৮ \] \[ y = ৮ \] তাহলে, কারিমের বয়স হবে ৮ বছর। আর রাহিমের বয়স হবে: \[ x = 2 \times ৮ = ১৬ \text{ বছর} \] ### উত্তর: রাহিমের বয়স হবে ১৬ বছর, যখন সে কারিমের থেকে দুইগুণ বড় হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৩৭ বছর × ৩ = ১১১ বছর
আবার, পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৫ বছর × ২ = ৭০ বছর
এখন, মাতার বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: মাতার বয়স = ১১১ বছর - ৭০ বছর = ৪১ বছর
অতএব, মাতার বয়স ৪১ বছর।

ব্যাখ্যাঃ

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৪৫ বছর × ২ = ৯০ বছর আবার, পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৬ বছর × ৩ = ১০৮ বছর এখন, পুত্রের বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও মাতার মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: পুত্রের বয়স = ১০৮ বছর - ৯০ বছর = ১৮ বছর অতএব, পুত্রের বয়স ১৮ বছর।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে পারি। ধরি, প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো \( M \), যার গড় \( A \) এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো \( N \), যার গড় \( B \)। প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ MA \] দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ NB \] তাহলে সবগুলো সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ MA + NB \] এখন সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে মোট সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সাথে ভাগ করি: \[ \text{সবগুলো সংখ্যার গড়} = \frac{MA + NB}{M + N} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স \( x \) বছর। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স হবে \( x + 5 = 12 \) বছর। \[ x = 12 - 5 \] \[ x = 7 \text{ বছর} \] তাহলে, ছেলের বর্তমান বয়স ৭ বছর। তার স্ত্রী বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ, সুতরাং স্ত্রীর বর্তমান বয়স: \[ 4 \times 7 = 28 \text{ বছর} \] যেহেতু ঐ ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়, সুতরাং তার বর্তমান বয়স: \[ 28 + 5 = 33 \text{ বছর} \] তাহলে, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স ৩৩ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স \(x\) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x\) বছর।

৬ বছর পূর্বে, পুত্রের বয়স \(x - 6\) বছর এবং পিতার বয়স \(4x - 6\) বছর ছিল।

প্রশ্ন থেকে আমরা পাই: ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। অতএব, \[4x - 6 = 10(x - 6)\] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4x - 6 = 10x - 60 \] \[ 4x - 10x = -60 + 6 \] \[ -6x = -54 \] \[ x = 9 \] অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x = 4 \times 9 = 36\) বছর।

অর্থাৎ, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুযায়ী:

\(x\) এবং \(y\) এর মানের গড় \(৯\)।
\(z = ১২\)।

গড় বের করার সূত্র: \[ \text{গড়} = \frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{উপাদানের সংখ্যা}} \] প্রথমে, \(x\) এবং \(y\) এর মোট যোগফল বের করি: \[ \frac{x+y}{2} = 9 \] \[ x+y = 9 \times 2 = 18 \] এখন, \(x\), \(y\) এবং \(z\) এর মানের গড় বের করি: \[ \text{গড়} = \frac{x + y + z}{3} \] \[ = \frac{18 + 12}{3} \] \[ = \frac{30}{3} \] \[ = 10 \] তাহলে, \(x\), \(y\) এবং \(z\) এর মানের গড় হবে ১০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি সেই সংখ্যাটি \( x \)।

৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড়: \[ \frac{৬ + ৮ + ১০}{৩} = \frac{২৪}{৩} = ৮ \] এখন, \(৭, ৯\) এবং \( x \) এর গাণিতিক গড় বের করি: \[ \frac{৭ + ৯ + x}{৩} = ৮ \] অতএব, \[ ৭ + ৯ + x = ২৪ \] \[ ১৬ + x = ২৪ \] \[ x = ২৪ - ১৬ \] \[ x = ৮ \] অতএব, \( x \) এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

- ১০টি সংখ্যার যোগফল = ৪৬২
- প্রথম ৪টির গড় = ৫২
- শেষের ৫টির গড় = ৩৮

প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল হবে: \[ ৫২ \times ৪ = ২০৮ \] শেষের ৫টি সংখ্যার যোগফল হবে: \[ ৩৮ \times ৫ = ১৯০ \] এখন, প্রথম ৪টি সংখ্যা + পঞ্চম সংখ্যা + শেষের ৫টি সংখ্যা = মোট যোগফল \[ ২০৮ + x + ১৯০ = ৪৬২ \] \[ x = ৪৬২ - (২০৮ + ১৯০) \] \[ x = ৪৬২ - ৩৯৮ \] \[ x = ৬৪ \] সুতরাং, পঞ্চম সংখ্যাটি ৬৪।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে হলে আমাদের প্রথমে যোগফল বের করতে হবে এবং তারপর সংখ্যা গুলি গণনা করতে হবে।

সংখ্যাগুলির যোগফল বের করতে হলে: \[ \text{যোগফল} = \frac{n(n+1)}{2} \] যেখানে, \( n \) হল সর্বশেষ সংখ্যা। \[ \text{যোগফল} = \frac{49 \times 50}{2} = 1225 \] এখন, সংখ্যাগুলির গড় নির্ণয় করতে: \[ \text{গড়} = \frac{\text{যোগফল}}{\text{সংখ্যার সংখ্যা}} = \frac{1225}{49} = 25 \] অতএব, ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় হল ২৫।