ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু (গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক) নির্ণয় করি:

গ.সা.গু:

আমরা সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করলে পাই:
$$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$$
$$x^2 + xy = x(x + y)$$

এখানে উভয় রাশির গ্রীষ্মক সূত্র অধিগত গুণিতক হলো \(x(x + y)\)।

ল.সা.গু:

ল.সা.গু বের করতে হলে প্রথমে দুটি রাশির গুণফল ভাগ করতে হবে তাদের গ.সা.গু দ্বারা:
$$\frac{(x^2y + xy^2) \cdot (x^2 + xy)}{gcd}$$

অর্থাৎ,
$$\frac{xy(x + y) \cdot x(x + y)}{x(x + y)}$$
= \(xy(x + y)\)

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল:

গ.সা.গু × ল.সা.গু =
$$x(x + y) \times xy(x + y)$$
= \(x^2y(x + y)^2\)।

ব্যাখ্যাঃ

১ম ধাপ: সংখ্যাসহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করা

দুইটি সহগ হল:
\( 6 \) এবং \( 4 \)

\( 6 \) এবং \( 4 \)-এর গ.সা.গু. হল \( 2 \)।

২য় ধাপ: চলকের গ.সা.গু. নির্ণয় করা

1. \( a^2 \) এবং \( a^3 \) → গ.সা.গু. \( a^2 \)
   
2. \( b \) এবং \( b^2 \) → গ.সা.গু. \( b \)
   
3. \( c \) এবং \( c^2 \) → গ.সা.গু. \( c \)
   

৩য় ধাপ: চূড়ান্ত উত্তর

সংখ্যা ও চলকের গ.সা.গু. একসাথে লিখলে:
\[
\text{গ.সা.গু.} = 2a^2bc
\]

সঠিক উত্তর: \( 2a^2bc \) (খ)

ব্যাখ্যাঃ আমরা গরুর সংখ্যা \( x \) ধরে নিচ্ছি।

প্রশ্ন অনুযায়ী, গরুগুলো
⇒ তিন পথে ভাগ হয়, অর্থাৎ \( x \) তিন দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ সাত ঘাটে পানি পান করে, অর্থাৎ \( x \) সাত দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায়, অর্থাৎ \( x \) নয় দ্বারা বিভাজ্য।
⇒ বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়, অর্থাৎ \( x \) বারো দ্বারা বিভাজ্য।

অতএব, \( x \) হতে হবে ৩, ৭, ৯, ১২ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।

ধাপ ২: ল.সা.গু (LCM) নির্ণয়

আমরা ৩, ৭, ৯, ১২-এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:

\[
LCM(3, 7, 9, 12)
\]
\[
= LCM(3, 7, 3^2, 2^2 \times 3)
\]
\[
= 2^2 \times 3^2 \times 7
\]
\[
= 4 \times 9 \times 7
\]
\[
= 252
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

\[
\mathbf{252}
\]
অর্থাৎ গরুর সংখ্যা ২৫২।

ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত $7:5$ দেওয়া আছে।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $7x$ এবং $5x$, যেখানে $x$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক)।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু $\times$ তাদের গ.সা.গু।
অর্থাৎ, $(7x) \times (5x) = \text{ল.সা.গু} \times x$

কিন্তু এই পদ্ধতিটি সরাসরি ব্যবহার করার চেয়ে সহজ একটি সম্পর্ক আছে:
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = তাদের অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু।
ল.সা.গু $= (7 \times 5) \times x$
ল.সা.গু $= 35x$

প্রদত্ত ল.সা.গু হলো $140$।
সুতরাং, $35x = 140$
$x = \frac{140}{35}$
$x = 4$

যেহেতু $x$ হলো সংখ্যা দুটির গ.সা.গু,
সুতরাং, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু হলো $4$।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. $\times$ সংখ্যা দুটির গ. সা. গু.

এখানে দেওয়া আছে:
দুটি সংখ্যার গুণফল = ৩৩৮০
গ. সা. গু. = ১৩

ধরি, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. = $L$

তাহলে, সূত্র অনুযায়ী:
$৩৩৮০ = L \times ১৩$

এখন, $L$-এর মান নির্ণয় করতে ১৩ দিয়ে ৩৩৮০-কে ভাগ করতে হবে:
$L = \frac{৩৩৮০}{১৩}$
$L = ২৬০$

সুতরাং, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. হলো ২৬০।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. (GCD) = ১১
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. (LCM) = ৭৭০০
একটি সংখ্যা = ২৭৫

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।
অর্থাৎ, প্রথম সংখ্যা $\times$ দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.

ধরি, অপর সংখ্যাটি $x$।

তাহলে,
$২৭৫ \times x = ১১ \times ৭৭০০$
$x = \frac{১১ \times ৭৭০০}{২৭৫}$

এখন, কাটাকাটি করি:
$২৭৫$ কে $১১$ দিয়ে ভাগ করলে $২৫$ হয় ($২৭৫ \div ১১ = ২৫$)।

$x = \frac{১ \times ৭৭০০}{২৫}$
$x = \frac{৭৭০০}{২৫}$

এখন, ৭৭০০ কে ২৫ দিয়ে ভাগ করি:
$৭৭০০ \div ২৫ = (৭৬০০ \div ২৫) + (১০০ \div ২৫) = ৩০৪ + ৪ = ৩০৮$
অথবা,
$৭৭০০ \div ২৫ = (৭৭ \times ১০০) \div ২৫ = ৭৭ \times ৪ = ৩০৮$

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৩০৮।

ব্যাখ্যাঃ

২১২, ১৮, ২৪ ৩৬, ৯, ১২ ২২, ৩, ৪ ১, ৩, ২ ১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ২ × ৩×২×১× ৩×২=৭২ .. নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২ - ২ = ৭০

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা উভয় বহুপদীর (polynomials) গুণনীয়ক বিচ্ছেদ (factorization) করতে পারি। প্রথম বহুপদী: \[ x^2 - 11x + 30 \] এর গুণনীয়ক বিচ্ছেদ করে পাই: \[ (x - 5)(x - 6) \] দ্বিতীয় বহুপদী: \[ x^3 - 4x^2 - 2x - 15 \] এখন, উপযুক্ত পদ্ধতি ব্যবহার করে গুণনীয়ক বিচ্ছেদ করতে পারি: \[ x^3 - 4x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x^2 + x - 3) \] আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয় বহুপদীতে সাধারণ গুণনীয়ক হল \( (x - 5) \)। তাহলে, \( x^2 - 11x + 30 \) এবং \( x^3 - 4x^2 - 2x - 15 \) এর গ.সা.গু. হল \( (x - 5) \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা \(n\), যাতে ৩৪৬ কে \(n\) দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে। আমরা বলতে পারি: \[ ৩৪৬ = kn + ৩১ \] এখানে, \(k\) একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে: \[ ৩৪৬ - ৩১ = kn \] \[ ৩১৫ = kn \] তাহলে, \(n\) হতে হবে ৩১৫ এর একটি গুণিতক। ৩১৫ এর সকল গুণিতক হল: \[ ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১৫, ২১, ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ \] এখন \(৩৪৬\) কে \(n\) দ্বারা ভাগ করলে ৩১ অবশিষ্ট থাকবে। তাই, আমরা \(n\) এর মান নিতে পারি \(৩১৫\) এর সকল গুণিতক থেকে (১ বাদ দিয়ে, কারণ তা সম্ভব নয়)। \[ ৩, ৫, ৭, ৯, ১৫, ২১, ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ \] তাহলে, স্বাভাবিক সংখ্যা যেগুলি দ্বারা ৩৪৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে সেগুলি হল: \[ ৩, ৫, ৭, ৯, ১৫, ২১, ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা \( x \) যোগ করতে চাই, যাতে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

### ধাপ ১: ল.সা.গু নির্ণয় প্রথমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু (LCM) বের করি— \[ \text{LCM} (2, 3, 4, 5, 6) = 60 \] অর্থাৎ, \( ৯৯৯৯৯৯ + x \) সংখ্যাটি ৬০ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। ### ধাপ ২: ৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটিকে ৬০ দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট নির্ণয় \[ 999999 \div 60 = 16666 \text{ (ভাগফল), অবশিষ্ট } 39 \] অতএব, \( ৯৯৯৯৯৯ \) সংখ্যাটিকে ৬০ দ্বারা বিভাজ্য করতে অবশিষ্ট ৩৯ বাদ দিতে হবে।

অর্থাৎ, \( x = 60 - 39 = 21 \) ### উত্তর:

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ২১।
অর্থাৎ, \( ৯৯৯৯৯৯ + ২১ = ১০০০০২০ \) হবে, যা ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। ????

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, সংখ্যা দুটি হলো \( a \) এবং \( b \)।

গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর সূত্র অনুসারে: \[ a \times b = \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু} \] প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুসারে: \[ a \times b = ১২ \times ২৪৪৮ \] \[ a \times b = ২৯৩৭৬ \] এখন, \( a \) এবং \( b \) এর একটি সম্পর্ক বের করতে হবে। \( a \) এবং \( b \) এর পার্থক্য হলো ৬০: \[ a - b = ৬০ \] ধরুন, \( a = b + ৬০ \) তাহলে, \[ (b + ৬০) \times b = ২৯৩৭৬ \] \[ b^2 + ৬০b = ২৯৩৭৬ \] \[ b^2 + ৬০b - ২৯৩৭৬ = ০ \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এখন, আমরা বর্গমূল সূত্র ব্যবহার করে \( b \) এর মান বের করি: \[ b = \frac{-৬০ \pm \sqrt{৬০^২ + ৪ \times ২৯৩৭৬}}{২} \] \[ b = \frac{-৬০ \pm \sqrt{৩৬০০ + ১১৭৫০৪}}{২} \] \[ b = \frac{-৬০ \pm \sqrt{১২১১০৪}}{২} \] \[ b = \frac{-৬০ \pm ৩৪৮}{২} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ b = \frac{২৮৮}{২} = ১৪৪ \] \[ b = \frac{-৪০৮}{২} = -২০৪ \] যেহেতু \( b \) একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাহলে \( b = ১৪৪ \)। এখন \( a \) এর মান বের করি: \[ a = ১৪৪ + ৬০ = ২০৪ \] অতএব, দুটি সংখ্যা হলো ১৪৪ এবং ২০৪।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের একটি লঘিষ্ঠ সংখ্যা \( x \) বের করতে হবে, যাতে \( x + 3 \) সংখ্যাটি ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

### ধাপ ১: ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) বের করা প্রথমে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর LCM বের করব।

- ২৪ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^3 \times 3 \)
- ৩৬ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^2 \times 3^2 \)
- ৪৮ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^4 \times 3 \)

LCM হলো সর্বোচ্চ ঘাতের মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল: \[ \text{LCM} = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 \] ### ধাপ ২: \( x + 3 = 144 \)
যেহেতু \( x + 3 \) কে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে, তাই: \[ x + 3 = 144 \] ### ধাপ ৩: \( x \) এর মান বের করা \[ x = 144 - 3 = 141 \] উত্তর: লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো ১৪১।

ব্যাখ্যাঃ

যদি সংখ্যা পূর্ণ বর্গসংখ্যা হয় তবে সেটির ভাজক সংখ্যা বিজোড় হবে।
তাহলে আসুন আবার দেখি কোন সংখ্যার ভাজক সংখ্যা আসলেই বিজোড়।

আসুন বিশ্লেষণ করি:
- ক: ২০৪৮: ২০৪৮ = 2^11, 2 এর যেকোন গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- খ: ৫১২: ৫১২ = 2^9, এটি ও পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
- গ: ১০২৪: ১০২৪ = 2^10, এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
- ঘ: ৪৮: ৪৮ এর কোনও গুণনীয়ক পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।

তাহলে: গ: ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় কারণ এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ১: ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয়
প্রথমে ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয় করি।
- ৮ এর মৌলিক উৎপাদক: \(2^3\)
- ১০ এর মৌলিক উৎপাদক: \(2 \times 5\)
- ১২ এর মৌলিক উৎপাদক: \(2^2 \times 3\)

LCM হবে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল: \[ \text{LCM} = 2^3 \times 3 \times 5 = 120 \] ধাপ ২: পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয়
এখন, আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা ১২০ এর গুণিতক এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

১২০ এর মৌলিক উৎপাদক: \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \] একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে, প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। তাই, আমরা ১২০ কে নিম্নলিখিতভাবে গুণ করব: \[ 120 \times 2 \times 3 \times 5 = 120 \times 30 = 3600 \] এখন, ৩৬০০ এর মৌলিক উৎপাদক: \[ 3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \] যেহেতু প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা, তাই ৩৬০০ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ৩: যাচাইকরণ
- ৩৬০০ ÷ ৮ = ৪৫০
- ৩৬০০ ÷ ১০ = ৩৬০
- ৩৬০০ ÷ ১২ = ৩০০

সকল ক্ষেত্রে ফলাফল পূর্ণ সংখ্যা, তাই ৩৬০০ সংখ্যাটি ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ফলাফল
স্কুলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন ছাত্র আছে।

ব্যাখ্যাঃ ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) এবং গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে: \[ \text{ল.সা.গু} \times \text{গ.সা.গু} = \text{সংখ্যা দুইটির গুণফল} \] আমাদের দেওয়া আছে সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ এবং ল.সা.গু ৯৬। আমরা গ.সা.গু নির্ণয় করতে পারি: \[ \text{গ.সা.গু} = \frac{\text{সংখ্যা দুইটির গুণফল}}{\text{ল.সা.গু}} \] \[ \text{গ.সা.গু} = \frac{১৫৩৬}{৯৬} \] \[ \text{গ.সা.গু} = ১৬ \] অতএব, গ.সা.গু এর মান হলো ১৬।