ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুইটি পূর্ণসংখ্যা \( x \) ও \( y \), যেখানে \( x + y = 300 \) এবং \( x, y > 100 \)।

চলুন একটি সাধারণ সমাধানের দিকে যাই:

1. যেহেতু \( x + y = 300 \), সংখ্যা দুটি হতে পারে:
⇒ \( x = 120, y = 180 \) → অনুপাত \( \frac{120}{180} = \frac{2}{3} \)।
⇒ \( x = 140, y = 160 \) → অনুপাত \( \frac{140}{160} = \frac{7}{8} \)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দুটি অনুপাতকে একই ভিত্তিতে আনতে হবে।

প্রথম অনুপাত: \( x : y = 2 : 3 \)
দ্বিতীয় অনুপাত: \( y : z = 5 : 7 \)

এখন, y-এর সাধারণ মান বের করতে হলে দুটি অনুপাতকে সমান করতে হবে।
\( y = 3 \) এবং \( y = 5 \) – এখানে \( y \)-এর ল.সা.গু হবে 15।

ধাপে ধাপে সমাধান:

প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করি:
\( x : y = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15 \)

দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
\( y : z = (5 \times 3) : (7 \times 3) = 15 : 21 \)

এখন, দুটি অনুপাত একত্র করলে পাই:
\( x : y : z = 10 : 15 : 21 \)

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পনিরের আয় $4x$ টাকা এবং তপনের আয় $3x$ টাকা।
প্রশ্নানুসারে, পনিরের আয় ১২০ টাকা।
সুতরাং, $4x = 120$
$x = \frac{120}{4} = 30$

অতএব, তপনের আয় $= 3x = 3 \times 30 = 90$ টাকা।

এখন, তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪।
ধরি, তপনের আয় $5y$ টাকা এবং রবিনের আয় $4y$ টাকা।
আমরা জানি, তপনের আয় ৯০ টাকা।
সুতরাং, $5y = 90$
$y = \frac{90}{5} = 18$

অতএব, রবিনের আয় $= 4y = 4 \times 18 = 72$ টাকা।

সুতরাং, রবিনের আয় ৭২ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু দুটি সংখ্যার অনুপাত $2 : 3$ এবং তাদের গ.সা.গু. $4$, তাহলে:

ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $2x$ এবং $3x$, যেখানে $x$ হলো তাদের সাধারণ উৎপাদক।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. হলো তাদের সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি। এক্ষেত্রে $x$ হলো $2x$ এবং $3x$ এর সাধারণ উৎপাদক।

দেওয়া আছে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. $4$।
সুতরাং, $x = 4$।

এখন, সংখ্যা দুটি নির্ণয় করি:
প্রথম সংখ্যা = $2x = 2 \times 4 = 8$
দ্বিতীয় সংখ্যা = $3x = 3 \times 4 = 12$

সংখ্যা দুটি হলো $8$ এবং $12$।
তাদের মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটি হলো $12$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অনুপাত $\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{9}$।

প্রথমে অনুপাতটিকে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হবে। এর জন্য ৩, ৫, ৯ এর ল.সা.গু. (লসাগু) বের করতে হবে।
৩, ৫, ৯ এর ল.সা.গু. হলো ৪৫।

এবার প্রতিটি পদকে ৪৫ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{3} \times 45 = 15$
$\frac{1}{5} \times 45 = 9$
$\frac{1}{9} \times 45 = 5$

সুতরাং, অনুপাতটি হলো $15:9:5$।

অনুপাতের পদগুলির যোগফল: $15 + 9 + 5 = 29$

মোট আম সংখ্যা ২৬১টি।

প্রথম ভাই আম পাবে:
$\frac{15}{29} \times 261$

এখন গণনা করি:
$261 \div 29 = 9$
$15 \times 9 = 135$

সুতরাং, প্রথম ভাই ১৩৫টি আম পাবে।

ব্যাখ্যাঃ মোট ফলের রস = ৬০ লিটার।
আম ও কমলার অনুপাত = ২ : ১।

মোট অনুপাতের ভাগ = $২ + ১ = ৩$ ভাগ।

আমের রসের পরিমাণ = ৬০ লিটারের $\frac{২}{৩}$ অংশ = $\frac{৬০ \times ২}{৩} = ২০ \times ২ = ৪০$ লিটার।
কমলার রসের পরিমাণ = ৬০ লিটারের $\frac{১}{৩}$ অংশ = $\frac{৬০ \times ১}{৩} = ২০ \times ১ = ২০$ লিটার।

ধরা যাক, কমলার রসের পরিমাণ $x$ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে।

তাহলে, কমলার রসের নতুন পরিমাণ = $(২০ + x)$ লিটার।
আমের রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে = ৪০ লিটার।

নতুন অনুপাত হবে: আম : কমলা = ৪০ : $(২০ + x)$।
প্রশ্নানুসারে, নতুন অনুপাতটি ১ : ২ হবে।

সুতরাং,
$\frac{৪০}{২০ + x} = \frac{১}{২}$
$১ \times (২০ + x) = ৪০ \times ২$
$২০ + x = ৮০$
$x = ৮০ - ২০$
$x = ৬০$ লিটার।

অতএব, কমলার রসের পরিমাণ ৬০ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে।

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$।

তাহলে, $P = 4Q$।

এখন, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মধ্যে $P$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\frac{4Q+Q}{4Q-Q}$
$= \frac{5Q}{3Q}$
$= \frac{5}{3}$

সুতরাং, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মান হলো $\frac{5}{3}$।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতিকটি হলো $x$।
সমানুপাতিকের সংজ্ঞা অনুযায়ী,
প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি
$৩ : ৯ = ৪ : x$

সমানুপাতের সূত্র অনুসারে,
$\frac{৩}{৯} = \frac{৪}{x}$

এখন, আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
$৩ \times x = ৯ \times ৪$
$৩x = ৩৬$
$x = \frac{৩৬}{৩}$
$x = ১২$

সুতরাং, চতুর্থ সমানুপাতিকটি হলো ১২।

ব্যাখ্যাঃ

ধরা যাক, পানির পরিমাণ W লিটার, তাহলে দুধের পরিমাণ হবে 5W লিটার।
উল্লেখ্য, দুধের পরিমাণ পানি থেকে ৮ লিটার বেশি, অর্থাৎ:
5W = W + 8
⇒ 5W - W = 8
⇒ 4W = 8
⇒ W = 2 অতএব, পানির পরিমাণ ২ লিটার।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, মিশ্রণটি A : B : C = ১৭ : ৩ : ৪ অনুপাতে গঠিত এবং মোট ওজন ৭২ কেজি। ### ধাপ ১: মোট অনুপাত নির্ণয় \[ \text{মোট অনুপাত} = ১৭ + ৩ + ৪ = ২৪ \] ### ধাপ ২: B-এর ওজন নির্ণয় B-এর অনুপাত ৩, তাই মিশ্রণে B-এর পরিমাণ হবে— \[ \frac{3}{24} \times 72 \] \[ = 9 \text{ কেজি} \] --- ### উত্তর: মিশ্রণে B-এর পরিমাণ ৯ কেজি

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা বাঁশটির মোট অংশের সংখ্যা নির্ণয় করব। অনুপাতটি \(৩:৭:১০\)। মোট অংশের সংখ্যা: \[ ৩ + ৭ + ১০ = ২০ \] তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটির প্রতিটি অংশের আকার হবে: \[ \frac{৬০}{২০} = ৩ \text{ মিটার} \] এখন, অনুপাত অনুযায়ী অংশগুলোর সাইজ নির্ণয় করি:

- প্রথম অংশ: \( ৩ \times ৩ = ৯ \text{ মিটার} \)
- দ্বিতীয় অংশ: \( ৭ \times ৩ = ২১ \text{ মিটার} \)
- তৃতীয় অংশ: \( ১০ \times ৩ = ৩০ \text{ মিটার} \)

তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটি ৩ : ৭ : ১০ অনুপাত ভাগ করলে টুকরাগুলোর সাইজ হবে যথাক্রমে ৯ মিটার, ২১ মিটার, এবং ৩০ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, গহনার সোনা এবং তামার ওজন যথাক্রমে \(3x\) এবং \(x\) গ্রাম।
আমাদের মোট ওজন ১৬ গ্রাম, তাই: \[ 3x + x = 16 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] তাহলে, গহনার মধ্যে সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: \(3x = 3 \times 4 = 12 \) গ্রাম - তামা: \(x = 4 \) গ্রাম ধরি, \(y\) গ্রাম সোনা মেশাতে হবে যাতে অনুপাত ৪ : ১ হয়। তাহলে নতুন সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: \(12 + y\) - তামা: ৪ গ্রাম (যেটা অপরিবর্তিত থাকবে) এখন অনুপাত হবে: \[ \frac{12 + y}{4} = 4 \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 12 + y = 4 \times 4 \] \[ 12 + y = 16 \] \[ y = 16 - 12 \] \[ y = 4 \] তাহলে, অনুপাত ৪ : ১ করতে ৪ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা ১,০০০ টাকা ক ও খ এর মধ্যে ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করব।

তাহলে, ক-এর অংশ হবে: \[ \frac{১}{১+৪} \times ১০০০ = \frac{১}{৫} \times ১০০০ = ২০০ \text{ টাকা} \] আর খ-এর অংশ হবে: \[ \frac{৪}{১+৪} \times ১০০০ = \frac{৪}{৫} \times ১০০০ = ৮০০ \text{ টাকা} \] এখন, খ-এর অংশ (৮০০ টাকা) সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করব।

মোট অংশের সংখ্যা: \[ ২ + ১ + ১ = ৪ \] মেয়ের অংশ হবে: \[ \frac{১}{৪} \times ৮০০ = ২০০ \text{ টাকা} \] তাহলে, মেয়ের অংশ হবে ২০০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, - কুকুরের প্রতিটি লাফের দৈর্ঘ্য = \( C \) - খরগোশের প্রতিটি লাফের দৈর্ঘ্য = \( R \) ### ধাপ ১: দূরত্বের সম্পর্ক নির্ণয় প্রশ্নানুসারে, খরগোশ ৪ লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। অর্থাৎ, \[ 4R = 3C \] ### ধাপ ২: নির্দিষ্ট সময়ে কুকুর ও খরগোশের মোট গতিপথ প্রশ্নে আরও বলা হয়েছে যে, কুকুর ৪ বার লাফ দিলে খরগোশ ৫ বার লাফ দেয়। তাহলে, - কুকুর ৪ লাফে যাবে = \( 4C \) - খরগোশ ৫ লাফে যাবে = \( 5R \) এখন, \( 4R = 3C \) সমীকরণ থেকে, \( R = \frac{3C}{4} \) তাহলে, খরগোশের মোট দূরত্ব— \[ 5R = 5 \times \frac{3C}{4} = \frac{15C}{4} \] ### ধাপ ৩: গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় একই সময়ে, কুকুর ৪C দূরত্ব অতিক্রম করে, আর খরগোশ \( \frac{15C}{4} \) দূরত্ব অতিক্রম করে। অতএব, তাদের গতিবেগের অনুপাত— \[ \frac{\text{কুকুরের গতি}}{\text{খরগোশের গতি}} = \frac{4C}{\frac{15C}{4}} \] \[ = 4C \times \frac{4}{15C} = \frac{16}{15} \] ### উত্তর: কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত \( 16:15 \)

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৫x এবং ৮x।

উভয়ের সাথে ২ যোগ করার পর, অনুপাতটি ২∶৩ হয়: \[ \frac{৫x + ২}{৮x + ২} = \frac{২}{৩} \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৩(৫x + ২) = ২(৮x + ২) \] \[ ১৫x + ৬ = ১৬x + ৪ \] \[ ১৫x - ১৬x = ৪ - ৬ \] \[ -x = -২ \] \[ x = ২ \] অতএব, সংখ্যা দুটি: \[ ৫x = ৫ \times ২ = ১০ \] \[ ৮x = ৮ \times ২ = ১৬ \] সংখ্যা দুটি হলো ১০ এবং ১৬।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, সোনার পরিমাণ \( 3x \) এবং তামার পরিমাণ \( x \)।

প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুযায়ী: \[ 3x + x = 16 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] অতএব, প্রাথমিকভাবে সোনার পরিমাণ হলো: \[ 3x = 3 \times 4 = 12 \text{ গ্রাম} \] এখন, নতুন অনুপাত হবে ৪ : ১ এবং মিশ্রণের মোট পরিমাণ (নতুন সোনা সহ): ধরুন \( y \) গ্রাম নতুন সোনা মেশাতে হবে।

অতএব, নতুন সোনা মেশানোর পর মোট সোনার পরিমাণ হবে \( 12 + y \) এবং মোট তামার পরিমাণ হবে ৪ গ্রাম। অনুপাত অনুযায়ী: \[ \frac{12 + y}{4} = 4 \] \[ 12 + y = 4 \times 4 \] \[ 12 + y = 16 \] \[ y = 16 - 12 \] \[ y = 4 \text{ গ্রাম} \] অতএব, ৪ গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ a : b = 4 : 7 \] এবং \[ b : c = 5 : 6 \] আমরা \(b\) কে সাধারণ করে \(a:b:c\) নির্ণয় করব।

এখন, \(b\)-কে সাধারণ (LCM) আকারে আনতে হবে। \[ b = 7 \times 5 = 35 \] অতএব, \(a : b = 4 \times 5 : 7 \times 5 = 20 : 35 \) এবং \[ b : c = 5 \times 7 : 6 \times 7 = 35 : 42 \] তাহলে, \[ a : b : c = 20 : 35 : 42 \] অতএব, \(a:b:c = 20:35:42\)।

ব্যাখ্যাঃ

মিশ্র অনুপাত নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে প্রতিটি অনুপাতের প্রথম পদগুলি গুণ করতে হবে এবং দ্বিতীয় পদগুলি গুণ করতে হবে। তারপর, দুটি গুণফলের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।

প্রথম পদগুলোর গুণফল: ৫ × ৭ × ৩ = ১০৫
দ্বিতীয় পদগুলোর গুণফল: ১৮ × ২ × ৬ = ২১৬

সুতরাং, মিশ্র অনুপাতটি হবে ১০৫ : ২১৬।

এখন, এই অনুপাতটিকে সরল করা যেতে পারে। ১০৫ এবং ২১৬ উভয়কেই ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়:

১০৫ ÷ ৩ = ৩৫
২১৬ ÷ ৩ = ৭২

সুতরাং, মিশ্র অনুপাতটি হবে ৩৫ : ৭২।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, পানির পরিমাণ \( x \) লিটার।

অনুপাত অনুসারে, দুধের পরিমাণ হবে \( 5x/2 \) লিটার। দেওয়া আছে যে দুধের পরিমাণ পানির চেয়ে ৬ লিটার বেশি, সুতরাং: \[ \frac{5x}{2} = x + 6 \] \[ \frac{5x}{2} - x = 6 \] \[ \frac{5x - 2x}{2} = 6 \] \[ \frac{3x}{2} = 6 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] তাহলে পানির পরিমাণ ৪ লিটার।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
1. মিশ্রণের মোট পরিমাণ = ৬০ লিটার
2. কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত = ৭ : ৩

কেরোসিনের পরিমাণ: \[ \frac{7}{7+3} \times 60 = \frac{7}{10} \times 60 = 42 \text{ লিটার} \] পেট্রোলের পরিমাণ: \[ \frac{3}{7+3} \times 60 = \frac{3}{10} \times 60 = 18 \text{ লিটার} \] ধরা যাক:
- \( x \) লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে।

নতুন অনুপাত: \[ \frac{42}{18 + x} = \frac{3}{7} \] সমীকরণ সমাধান: \[ 42 \times 7 = 3 \times (18 + x) \] \[294 = 54 + 3x \] \[294 - 54 = 3x \] \[240 = 3x \] \[x = \frac{240}{3} \] \[x = 80 \] উত্তর: \[ \boxed{80 \text{ লিটার}} \]