ব্যাখ্যাঃ সরলরেখার সমীকরণ হলো সেই সমীকরণ যা লেখচিত্রে একটি সরলরেখা তৈরি করে। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো $$ax+by+c=0$$, যেখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b উভয়ই শূন্য নয়।

এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:

কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2=2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

খঃ $$x^2+y=1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y=1-x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x=y$$অথবা$$2x-y=0$$। এটি $$ax+by+c=0$$আকারের, যেখানে$$a=2$$, $$b=-1$$এবং$$c=0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।

ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy=1$$অথবা$$y=\frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।

ব্যাখ্যাঃ

যখন একটি দেয়ালঘড়িতে ৩টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটাটি সরাসরি ৩-এর দিকে মুখ করে থাকে এবং মিনিটের কাঁটাটি সরাসরি ১২-এর দিকে মুখ করে থাকে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, ঘণ্টার কাঁটা যদি পূর্ব দিকে থাকে। সাধারণত, ঘড়ির উপরের দিক উত্তর, নিচের দিক দক্ষিণ, ডান দিক পূর্ব এবং বাম দিক পশ্চিম দিক নির্দেশ করে।

যেহেতু ঘণ্টার কাঁটা ৩-এর দিকে এবং সেটিকে পূর্ব দিক বলা হচ্ছে, তাহলে ঘড়ির ১২-এর দিকটি হবে পূর্বের ৯০ ডিগ্রি উত্তরে, অর্থাৎ উত্তর দিক।

অতএব, মিনিটের কাঁটাটি ১২-এর দিকে থাকার কারণে সেটি উত্তর দিকে থাকবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল হয়:

$${180}^{\circ }$$

ধরি, কোণটির মান = $x^{\circ }$
তাহলে এর সম্পূরক কোণ হবে ${180}^{\circ }-x^{\circ }$

প্রশ্ন অনুযায়ী:

> কোণটির মান = সম্পূরক কোণের অর্ধেক

অর্থাৎ:

$$x=\frac{1}{2}(180-x)$$

$$x=\frac{180-x}{2}$$

$$2x=180-x$$

$$2x+x=180\Rightarrow 3x=180\Rightarrow x=\frac{180}{3}=\boxed{{\displaystyle {60}^{\circ }}}$$

ব্যাখ্যাঃ যখন ঘড়িতে ঠিক ৮টা বাজে, তখন মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে।

একটি ঘড়ির ডায়াল ৩৬০ ডিগ্রিকে ১২টি ভাগে বিভক্ত করে।
প্রতিটি ভাগের মান = $\frac{{360}^{\circ }}{12}={30}^{\circ }$।

মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে আছে।
ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে আছে।

১২ থেকে ৮ পর্যন্ত মোট ঘরের সংখ্যা = $12-8=4$ ঘর।
অথবা, যদি ১২ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ৮ পর্যন্ত গণনা করি, তাহলে $8$টি ঘর।
যদি ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গণনা করি, তাহলে $12-8=4$ ঘর।
যেহেতু আমরা মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণটি চাই, তাই $4$ ঘরের দূরত্বটি নেব।

কোণের পরিমাণ = ঘরের সংখ্যা $\times$ প্রতি ঘরের মান
কোণের পরিমাণ = $4\times {30}^{\circ }$
কোণের পরিমাণ = ${120}^{\circ }$

সুতরাং, ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ${120}^{\circ }$ হবে।

ব্যাখ্যাঃ পূরক কোণ (Complementary Angle): দুটি কোণের যোগফল ${90}^{\circ }$ হলে, একটিকে অন্যটির পূরক কোণ বলে।

মনে করি, কোণটির মান $x$ ডিগ্রি।
তাহলে, কোণটির পূরক কোণের মান হবে $(90-x)$ ডিগ্রি।

প্রশ্নানুসারে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।
অর্থাৎ, $x=\frac{1}{2}(90-x)$

এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x=90-x$
$2x+x=90$
$3x=90$
$x=\frac{90}{3}$
$x=30$

সুতরাং, কোণটির মান হলো ${30}^{\circ }$।

ব্যাখ্যাঃ

দুটি সমান্তরাল রেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করে না (০টি বিন্দুতে ছেদ করে)।

সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞাই হলো যে তারা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না বা স্পর্শ করে না।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, শহর A কে আমরা (0, 0) পয়েন্টে রাখব। 1. শহর A এর অবস্থান: শহর A এর অবস্থান হল (0, 0)। 2. শহর B এর অবস্থান: শহর B, শহর A থেকে 5 মাইল পূর্ব দিকে, তাই শহর B এর অবস্থান হবে (5, 0)। 3. শহর C এর অবস্থান: শহর C, শহর B থেকে 10 মাইল দক্ষিণ-পূর্বে অবস্থান করছে। দক্ষিণ-পূর্বের দিকের কোণ 45 ডিগ্রি, তাই আমরা পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। দক্ষিণ-পূর্বে 45 ডিগ্রির কোণ থেকে, শহর C এর স্থানাঙ্ক হবে: - x-উপাদান (পূর্ব-পশ্চিম দিক) = $10\times \cos ({45}^{\circ })\approx 7.07$ - y-উপাদান (উত্তর-দক্ষিণ দিক) = $10\times \sin ({45}^{\circ })\approx 7.07$ তাহলে, শহর C এর অবস্থান হবে $(5+7.07,-7.07)$, অর্থাৎ $(12.07,-7.07)$। 4. শহর A থেকে শহর C পর্যন্ত দূরত্ব: দুইটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব বের করতে আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করি: $$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$ এখানে $(x_1,y_1)$ হচ্ছে শহর A এর অবস্থান (0, 0) এবং $(x_2,y_2)$ হচ্ছে শহর C এর অবস্থান (12.07, -7.07): $$d=\sqrt{(12.07-0{)}^2+(-7.07-0{)}^2}$$ $$d=\sqrt{{12.07}^2+(-7.07{)}^2}$$ $$d=\sqrt{145.68+49.98}=\sqrt{195.66}\approx 14.0\text{ মাইল}$$ অতএব, শহর A থেকে শহর C পর্যন্ত দূরত্ব প্রায় 14 মাইল।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, একটি সরল রেখার দৈর্ঘ্য $l$ এবং ঐ সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $l^2$।

এখন, ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2$।
$${\left(\frac{l}{2}\right)}^2=\frac{l^2}{4}$$ অতএব, প্রথম বর্গটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গটির ক্ষেত্রফলের কত গুণ তা বের করতে হলে: $$\frac{l^2}{\frac{l^2}{4}}=\frac{l^2\times 4}{l^2}=4$$ অর্থাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।

ব্যাখ্যাঃ

দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে। ∴ ∠AOD=∠BOC এবং ∠AOC=∠BOD

ব্যাখ্যাঃ দুটি সরলরেখার ছেদ বিন্দু বের করতে তাদের সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করতে হবে।

ধরি,
$x+y=0$ (প্রথম সরলরেখা)
$2x-y+3=0$ (দ্বিতীয় সরলরেখা)

প্রথম সমীকরণ থেকে $y$ এর মান পাই: $$y=-x$$ এখন দ্বিতীয় সমীকরণে $y$ এর মানটি বসাই: $$2x-(-x)+3=0$$ $$2x+x+3=0$$ $$3x+3=0$$ $$3x=-3$$ $$x=-1$$ এখন, $x=-1$ মানটি প্রথম সমীকরণে বসাই: $$y=-x$$ $$y=-(-1)$$ $$y=1$$ অতএব, সরলরেখা দুটি $(-1,1)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন চতুর্ভুজের চার কোণের পরিমাণ যথাক্রমে $1x$, $2x$, $2x$, এবং $3x$।

একটি চতুর্ভুজের সব কোণের যোগফল ৩৬০°।

অতএব, $$1x+2x+2x+3x=360°$$ $$8x=360°$$ $$x=\frac{360°}{8}=45°$$ বৃহত্তম কোণটি হলো $3x$: $$3x=3\times 45°=135°$$ অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রেখাগুলি হল:
1. $y=3x+2$
2. $y=-3x+2$
3. $y=-2$

এই রেখাগুলি দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি ত্রিভুজ। নিম্নলিখিত ধাপে এটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:

১. রেখাগুলির ছেদবিন্দু নির্ণয়:
$y=3x+2$ এবং $y=-3x+2$ এর ছেদবিন্দু: $$\begin{gathered} 3x+2=-3x+2 \\ 6x=0 \\ x=0 \\ y=3(0)+2=2 \end{gathered}$$ ছেদবিন্দু: $(0,2)$

$y=3x+2$ এবং $y=-2$ এর ছেদবিন্দু: $$\begin{gathered} 3x+2=-2 \\ 3x=-4 \\ x=-\frac{4}{3} \\ y=-2 \end{gathered}$$ ছেদবিন্দু: $(-\frac{4}{3},-2)$

$y=-3x+2$ এবং $y=-2$ এর ছেদবিন্দু: $$\begin{gathered} -3x+2=-2 \\ -3x=-4 \\ x=\frac{4}{3} \\ y=-2 \end{gathered}$$ ছেদবিন্দু: $(\frac{4}{3},-2)$

২. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু:
$(0,2)$
$(-\frac{4}{3},-2)$
$(\frac{4}{3},-2)$

এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। কারণ, দুটি বাহু ($y=3x+2$ এবং $y=-3$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা $n$।

সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$\text{অন্তঃকোণ}=\frac{(n-2)\times {180}^{\circ }}{n}$$ এখানে, অন্তঃকোণের পরিমাণ ${135}^{\circ }$। $$135=\frac{(n-2)\times 180}{n}$$ এখন, $n$ এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি: $$135n=180n-360$$ $$180n-135n=360$$ $$45n=360$$ $$n=\frac{360}{45}$$ $$n=8$$ অতএব, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ৮।

ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে, ঘন্টা কাঁটার অবস্থান নির্ধারণ করি। ২টা ১৫ মিনিটে, ঘন্টা কাঁটা ২ আর ৩ এর মাঝে থাকে। ঘন্টা কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় ৩০ ডিগ্রি (৩৬০ ডিগ্রি ÷ ১২ ঘন্টা) এবং প্রতি মিনিটে ০.৫ ডিগ্রি (৩০ ডিগ্রি ÷ ৬০ মিনিট) সরতে থাকে।

২. দুই ঘণ্টায় ঘন্টা কাঁটা: $$২\times ৩০=৬০\text{ ডিগ্রি}$$ ৩. ১৫ মিনিটে ঘন্টা কাঁটার সরার মান: $$১৫\times ০.৫=৭.৫\text{ ডিগ্রি}$$ তাহলে, ২টা ১৫ মিনিটে ঘন্টা কাঁটা: $$৬০+৭.৫=৬৭.৫\text{ ডিগ্রি}$$ ৪. মিনিট কাঁটার অবস্থান নির্ধারণ করি। প্রতি মিনিটে মিনিট কাঁটা ৬ ডিগ্রি (৩৬০ ডিগ্রি ÷ ৬০ মিনিট) সরতে থাকে।

৫. ১৫ মিনিটে মিনিট কাঁটার সরার মান: $$১৫\times ৬=৯০\text{ ডিগ্রি}$$ ৬. এখন, ঘন্টা কাঁটা এবং মিনিট কাঁটার মধ্যে কোণ: $$৯০-৬৭.৫=২২.৫\text{ ডিগ্রি}$$ $$=২২\frac{১}{২}\text{ ডিগ্রি}$$ অতএব, ২টা ১৫ মিনিটের সময় ঘন্টা কাঁটা এবং মিনিট কাঁটার মধ্যে কোণ উৎপন্ন হয় ২২.৫ ডিগ্রি।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, চাকাটি প্রতি মিনিটে $90$ বার ঘোরে।

ধাপ ১: প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়
এক মিনিটে $60$ সেকেন্ড থাকে।
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে: $$\frac{90}{60}=1.5\text{বার}$$ ধাপ ২: একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে ${360}^{\circ }$
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি $1.5$ বার ঘুরলে মোট ঘূর্ণন হবে: $$1.5\times {360}^{\circ }={540}^{\circ }$$ উত্তর: ১ সেকেন্ডে চাকাটি ${540}^{\circ }$ ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজে এক কোণ সর্বদা ${90}^{\circ }$ হয়, যাকে সমকোণ বলা হয়। ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল সর্বদা ${180}^{\circ }$।

অতএব, বাকি দুই কোণের যোগ হবে: $${180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$$ তাহলে, সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ অবশ্যই হবে সুক্ষ্ম কোণ (acute angles), যেহেতু প্রতিটি কোণের মান ${90}^{\circ }$-এর চেয়ে ছোট হবে।

সুতরাং, উত্তর হলো: সুক্ষ্ম কোণ।

ব্যাখ্যাঃ

দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় (১৮০° < কোণ) এবং চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট (কোণ < ৩৬০°) কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।

ব্যাখ্যাঃ

যেহেতু দুটি লাইন সমান্তরাল, তাই তারা কখনো একে অপরের সাথে মিলিত হবে না।

সমান্তরাল রেখাগুলোর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো—তারা অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হলেও কখনো একে অপরকে ছেদ করে না। সুতরাং, এই দুটি লাইন কখনই মিলিত হবে না।

ব্যাখ্যাঃ যদি একটি রেখাংশ সরলরেখার সাথে মিলিত হয়, তবে সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ${180}^{\circ }$ হবে।

কারণ, এটি রৈখিক যুগল কোণ (Linear Pair of Angles) সৃষ্টি করে, যা সর্বদা ${180}^{\circ }$ হয়।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ঘন্টার কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় ${30}^{\circ }$ ঘুরে।

তাহলে, ৫ টা পর্যন্ত ঘরের কাঁটার ঘূর্ণন: $$5\times {30}^{\circ }={150}^{\circ }$$ এখন, ১০ মিনিটের জন্য অতিরিক্ত ঘূর্ণন হিসাব করি।
যেহেতু ১ ঘণ্টায় ${30}^{\circ }$ ঘোরে, তাই ১০ মিনিটে: $$\frac{{30}^{\circ }}{60}\times 10=5^{\circ }$$ তাহলে, মোট ঘূর্ণন: $${150}^{\circ }+5^{\circ }={155}^{\circ }$$ সুতরাং, ৫ টা ১০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটাটি ১৫৫ ডিগ্রি ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ ৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ হলো ৫০ ডিগ্রী।

কারণ, দুটি কোণের সমষ্টি $৯{০}^{\circ }$ হলে তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
$৯{০}^{\circ }-৪{০}^{\circ }=৫{০}^{\circ }$

ব্যাখ্যাঃ চাকাটি 1 মিনিটে (60 সেকেন্ডে) ঘোরে 10 বার।
চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{10}{60}$ বার = $\frac{1}{6}$ বার।

আমরা জানি, 1 বার ঘোরা মানে 360 ডিগ্রি ঘোরা।
সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{1}{6}\times 5$ বার = $\frac{5}{6}$ বার।

ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{5}{6}\times 360$ ডিগ্রি।
$=5\times 60$ ডিগ্রি
$=300$ ডিগ্রি।

সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে 300 ডিগ্রি ঘোরে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, কোণটি হল $A$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির 4 গুণ 180°।
$4A=180$
$A=\frac{180}{4}$
$A=45$ ডিগ্রি।

আমরা জানি, দুটি কোণের যোগফল 180° হলে তারা পরস্পর সম্পূরক কোণ হয়।
সুতরাং, কোণটির সম্পূরক কোণ হবে $180-A$ ডিগ্রি।
সম্পূরক কোণ = $180-45$
সম্পূরক কোণ = $135$ ডিগ্রি।

অতএব, কোণটির সম্পূরক কোণ হল 135 ডিগ্রি।

ব্যাখ্যাঃ যখন একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করা হয়, তখন প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে একটি করে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়। প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের সাথে মিলে 180° তৈরি করে।

ধরি, একটি ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল $A,B,C$ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণগুলি হল $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$।

তাহলে,
$A+A^{\prime }={180}^{\circ }$
$B+B^{\prime }={180}^{\circ }$
$C+C^{\prime }={180}^{\circ }$

এই তিনটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(A+A^{\prime })+(B+B^{\prime })+(C+C^{\prime })={180}^{\circ }+{180}^{\circ }+{180}^{\circ }$
$(A+B+C)+(A^{\prime }+B^{\prime }+C^{\prime })={540}^{\circ }$

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $A+B+C={180}^{\circ }$।
এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:
${180}^{\circ }+(A^{\prime }+B^{\prime }+C^{\prime })={540}^{\circ }$
$A^{\prime }+B^{\prime }+C^{\prime }={540}^{\circ }-{180}^{\circ }$
$A^{\prime }+B^{\prime }+C^{\prime }={360}^{\circ }$

সুতরাং, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি 360° হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে, PQ রেখাংশকে R বিন্দুতে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করা হয়েছে যে:
PQ : PR = PR : QR

ধরি, PR = $x$ এবং QR = $y$।
তাহলে, PQ = PR + QR = $x+y$।

এই মানগুলো সমানুপাতে বসিয়ে পাই:
$(x+y):x=x:y$

বা, $\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y}$
$y(x+y)=x^2$
$xy+y^2=x^2$
$x^2-xy-y^2=0$

এই সমীকরণটিকে $y^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$(\frac{x}{y}{)}^2-\frac{x}{y}-1=0$

ধরি, $\frac{x}{y}=k$।
$k^2-k-1=0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে $k$ এর মান পাই:
$k=\frac{1\pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

যেহেতু PR > QR, তাই $\frac{PR}{QR}=\frac{x}{y}=k$ এর মান ধনাত্মক হবে।
$k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{1+2.236}{2}\approx \frac{3.236}{2}\approx 1.618$

সুতরাং, অনুপাতটি হলো $PR:QR=k:1=1.618:1$।

সঠিক উত্তর: গঃ 1.618 : 1