প্রশ্নঃ City B is 5 miles east of city A. City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closest to the distance from city A to City C?
[ বিসিএস ২৯তম ]
ক. 11 miles
খ. 12 miles
গ. 13 miles
ঘ. 14 miles
উত্তরঃ 14 miles
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, শহর A কে আমরা (0, 0) পয়েন্টে রাখব। 1. শহর A এর অবস্থান: শহর A এর অবস্থান হল (0, 0)। 2. শহর B এর অবস্থান: শহর B, শহর A থেকে 5 মাইল পূর্ব দিকে, তাই শহর B এর অবস্থান হবে (5, 0)। 3. শহর C এর অবস্থান: শহর C, শহর B থেকে 10 মাইল দক্ষিণ-পূর্বে অবস্থান করছে। দক্ষিণ-পূর্বের দিকের কোণ 45 ডিগ্রি, তাই আমরা পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। দক্ষিণ-পূর্বে 45 ডিগ্রির কোণ থেকে, শহর C এর স্থানাঙ্ক হবে: - x-উপাদান (পূর্ব-পশ্চিম দিক) = \( 10 \times \cos(45^\circ) \approx 7.07 \) - y-উপাদান (উত্তর-দক্ষিণ দিক) = \( 10 \times \sin(45^\circ) \approx 7.07 \) তাহলে, শহর C এর অবস্থান হবে \( (5 + 7.07, -7.07) \), অর্থাৎ \( (12.07, -7.07) \)। 4. শহর A থেকে শহর C পর্যন্ত দূরত্ব: দুইটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব বের করতে আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করি: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] এখানে \( (x_1, y_1) \) হচ্ছে শহর A এর অবস্থান (0, 0) এবং \( (x_2, y_2) \) হচ্ছে শহর C এর অবস্থান (12.07, -7.07): \[ d = \sqrt{(12.07 - 0)^2 + (-7.07 - 0)^2} \] \[ d = \sqrt{12.07^2 + (-7.07)^2} \] \[ d = \sqrt{145.68 + 49.98} = \sqrt{195.66} \approx 14.0 \text{ মাইল} \] অতএব, শহর A থেকে শহর C পর্যন্ত দূরত্ব প্রায় 14 মাইল।
Related MCQ
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$
খ. x² + y = 1
ক. $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$
খ. x² + y = 1
গ. $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$
ক. $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$
খ. x² + y = 1
গ. $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$
ঘ. $$x=\frac{1}{y}$$
উত্তরঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$
ব্যাখ্যাঃ সরলরেখার সমীকরণ হলো সেই সমীকরণ যা লেখচিত্রে একটি সরলরেখা তৈরি করে। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো $$ax + by + c = 0$$, যেখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b উভয়ই শূন্য নয়।
এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:
কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2 = 2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
খঃ $$x^2 + y = 1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y = 1 - x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x = y$$অথবা$$2x - y = 0$$। এটি $$ax + by + c = 0$$আকারের, যেখানে$$a = 2$$, $$b = -1$$এবং$$c = 0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy = 1$$অথবা$$y = \frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।
এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:
কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2 = 2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
খঃ $$x^2 + y = 1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y = 1 - x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x = y$$অথবা$$2x - y = 0$$। এটি $$ax + by + c = 0$$আকারের, যেখানে$$a = 2$$, $$b = -1$$এবং$$c = 0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy = 1$$অথবা$$y = \frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।
প্রশ্নঃ একটি দেয়ালঘড়িতে যখন ৩টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা যদি পূর্বদিকে থাকে তবে মিনিটের কাঁটা কোন দিকে থাকবে?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. উত্তর
খ. পশ্চিম
ক. পশ্চিম
খ. উত্তর
গ. দক্ষিণ
ক. উত্তর
খ. পশ্চিম
গ. দক্ষিণ
ঘ. পূর্ব
উত্তরঃ উত্তর
ব্যাখ্যাঃ
যখন একটি দেয়ালঘড়িতে ৩টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটাটি সরাসরি ৩-এর দিকে মুখ করে থাকে এবং মিনিটের কাঁটাটি সরাসরি ১২-এর দিকে মুখ করে থাকে।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, ঘণ্টার কাঁটা যদি পূর্ব দিকে থাকে। সাধারণত, ঘড়ির উপরের দিক উত্তর, নিচের দিক দক্ষিণ, ডান দিক পূর্ব এবং বাম দিক পশ্চিম দিক নির্দেশ করে।
যেহেতু ঘণ্টার কাঁটা ৩-এর দিকে এবং সেটিকে পূর্ব দিক বলা হচ্ছে, তাহলে ঘড়ির ১২-এর দিকটি হবে পূর্বের ৯০ ডিগ্রি উত্তরে, অর্থাৎ উত্তর দিক।
অতএব, মিনিটের কাঁটাটি ১২-এর দিকে থাকার কারণে সেটি উত্তর দিকে থাকবে।
ক. ৬০°
খ. ১২০°
ক. ৬০°
খ. ৩০°
গ. ১২০°
ক. ৩০°
খ. ৬০°
গ. ৯০°
ঘ. ১২০°
উত্তরঃ ৬০°
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল হয়:
$$
180^\circ
$$
ধরি, কোণটির মান = $x^\circ$
তাহলে এর সম্পূরক কোণ হবে $180^\circ - x^\circ$
প্রশ্ন অনুযায়ী:
> কোণটির মান = সম্পূরক কোণের অর্ধেক
অর্থাৎ:
$$
x = \frac{1}{2}(180 - x)
$$
$$
x = \frac{180 - x}{2}
$$
$$
2x = 180 - x
$$
$$
2x + x = 180
\Rightarrow 3x = 180
\Rightarrow x = \frac{180}{3} = \boxed{60^\circ}
$$
$$
180^\circ
$$
ধরি, কোণটির মান = $x^\circ$
তাহলে এর সম্পূরক কোণ হবে $180^\circ - x^\circ$
প্রশ্ন অনুযায়ী:
> কোণটির মান = সম্পূরক কোণের অর্ধেক
অর্থাৎ:
$$
x = \frac{1}{2}(180 - x)
$$
$$
x = \frac{180 - x}{2}
$$
$$
2x = 180 - x
$$
$$
2x + x = 180
\Rightarrow 3x = 180
\Rightarrow x = \frac{180}{3} = \boxed{60^\circ}
$$
প্রশ্নঃ ঘড়িতে ৮ টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি হবে?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. ৯৫°
খ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. ৯০°
গ. ১০৫°
ক. ৯০°
খ. ৯৫°
গ. ১০৫°
ঘ. ১১০°
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ যখন ঘড়িতে ঠিক ৮টা বাজে, তখন মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে।
একটি ঘড়ির ডায়াল ৩৬০ ডিগ্রিকে ১২টি ভাগে বিভক্ত করে।
প্রতিটি ভাগের মান = $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।
মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে আছে।
ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে আছে।
১২ থেকে ৮ পর্যন্ত মোট ঘরের সংখ্যা = $12 - 8 = 4$ ঘর।
অথবা, যদি ১২ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ৮ পর্যন্ত গণনা করি, তাহলে $8$টি ঘর।
যদি ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গণনা করি, তাহলে $12 - 8 = 4$ ঘর।
যেহেতু আমরা মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণটি চাই, তাই $4$ ঘরের দূরত্বটি নেব।
কোণের পরিমাণ = ঘরের সংখ্যা $\times$ প্রতি ঘরের মান
কোণের পরিমাণ = $4 \times 30^\circ$
কোণের পরিমাণ = $120^\circ$
সুতরাং, ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$ হবে।
একটি ঘড়ির ডায়াল ৩৬০ ডিগ্রিকে ১২টি ভাগে বিভক্ত করে।
প্রতিটি ভাগের মান = $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।
মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে আছে।
ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে আছে।
১২ থেকে ৮ পর্যন্ত মোট ঘরের সংখ্যা = $12 - 8 = 4$ ঘর।
অথবা, যদি ১২ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ৮ পর্যন্ত গণনা করি, তাহলে $8$টি ঘর।
যদি ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গণনা করি, তাহলে $12 - 8 = 4$ ঘর।
যেহেতু আমরা মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণটি চাই, তাই $4$ ঘরের দূরত্বটি নেব।
কোণের পরিমাণ = ঘরের সংখ্যা $\times$ প্রতি ঘরের মান
কোণের পরিমাণ = $4 \times 30^\circ$
কোণের পরিমাণ = $120^\circ$
সুতরাং, ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$ হবে।
ক. 30 °
খ. 45 °
ক. 30 °
খ. 45 °
গ. 25 °
ক. 60 °
খ. 45 °
গ. 30 °
ঘ. 25 °
উত্তরঃ 30 °
ব্যাখ্যাঃ পূরক কোণ (Complementary Angle): দুটি কোণের যোগফল $90^\circ$ হলে, একটিকে অন্যটির পূরক কোণ বলে।
মনে করি, কোণটির মান $x$ ডিগ্রি।
তাহলে, কোণটির পূরক কোণের মান হবে $(90 - x)$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।
অর্থাৎ, $x = \frac{1}{2} (90 - x)$
এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x = 90 - x$
$2x + x = 90$
$3x = 90$
$x = \frac{90}{3}$
$x = 30$
সুতরাং, কোণটির মান হলো $30^\circ$।
মনে করি, কোণটির মান $x$ ডিগ্রি।
তাহলে, কোণটির পূরক কোণের মান হবে $(90 - x)$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।
অর্থাৎ, $x = \frac{1}{2} (90 - x)$
এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x = 90 - x$
$2x + x = 90$
$3x = 90$
$x = \frac{90}{3}$
$x = 30$
সুতরাং, কোণটির মান হলো $30^\circ$।
প্রশ্নঃ দুটি সমান্তরাল রেখা কটি বিন্দুতে ছেদ করে?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. ৮
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. ২
গ. ৮
ক. ৪
খ. ২
গ. ৮
ঘ. ১৬
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ
দুটি সমান্তরাল রেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করে না (০টি বিন্দুতে ছেদ করে)।
সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞাই হলো যে তারা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না বা স্পর্শ করে না।
প্রশ্নঃ একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি -
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. ৮ সমকোণ
খ. ৬ সমকোণ
ক. ৬ সমকোণ
খ. ৮ সমকোণ
গ. ১০ সমকোণ
ক. ৪ সমকোণ
খ. ৬ সমকোণ
গ. ৮ সমকোণ
ঘ. ১০ সমকোণ
উত্তরঃ ৬ সমকোণ
ব্যাখ্যাঃ একটি পঞ্চভুজের পাঁচটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $540^\circ$ (পাঁচশো চল্লিশ ডিগ্রি), যা ৬ সমকোণের সমান।
কারণ,
১ সমকোণ = $90^\circ$
$540 \div 90 = ৬$
কারণ,
১ সমকোণ = $90^\circ$
$540 \div 90 = ৬$
ক. ১৫০°
খ. ১২০°
ক. ৬০°
খ. ১২০°
গ. ৯০°
ক. ১৫০°
খ. ৬০°
গ. ৯০°
ঘ. ১২০°
উত্তরঃ ১২০°
ব্যাখ্যাঃ
একটি ঘড়ির সম্পূর্ণ বৃত্ত $360^\circ$। ঘড়িতে ১২টি ঘণ্টা থাকায় প্রতিটি ঘণ্টার ঘরের মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$360^\circ \div 12 = 30^\circ$
ঠিক ৮টার সময়, মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে। ১২ এবং ৮-এর মধ্যে ঘরের পার্থক্য হলো:
$১২ - ৮ = ৪$ টি ঘর।
সুতরাং, কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$৪ \times ৩০^\circ = ১২০^\circ$
একটি ঘড়ির সম্পূর্ণ বৃত্ত $360^\circ$। ঘড়িতে ১২টি ঘণ্টা থাকায় প্রতিটি ঘণ্টার ঘরের মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$360^\circ \div 12 = 30^\circ$
ঠিক ৮টার সময়, মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে। ১২ এবং ৮-এর মধ্যে ঘরের পার্থক্য হলো:
$১২ - ৮ = ৪$ টি ঘর।
সুতরাং, কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$৪ \times ৩০^\circ = ১২০^\circ$
ক. ১৮০°
খ. ৩৬০°
ক. ১৫০°
খ. ৩৬০°
গ. ২৭০°
ক. ১৮০°
খ. ১৫০°
গ. ২৭০°
ঘ. ৩৬০°
উত্তরঃ ৩৬০°
ব্যাখ্যাঃ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি হলো ১৮০°। আবার, প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ এবং তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়।
সুতরাং, তিনটি অন্তঃস্থ ও তিনটি বহিঃস্থ কোণের মোট সমষ্টি হবে $৩ \times ১৮০° = ৫৪০°$।
এখন, বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বের করতে মোট সমষ্টি থেকে অন্তঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বাদ দিতে হবে:
$৫৪০° - ১৮০° = ৩৬০°$।
সুতরাং, তিনটি অন্তঃস্থ ও তিনটি বহিঃস্থ কোণের মোট সমষ্টি হবে $৩ \times ১৮০° = ৫৪০°$।
এখন, বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বের করতে মোট সমষ্টি থেকে অন্তঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বাদ দিতে হবে:
$৫৪০° - ১৮০° = ৩৬০°$।
ক. সম্পূরক কোণ
খ. পূরককোণ
ক. সরলকোণ
খ. সম্পূরক কোণ
গ. পূরককোণ
ক. সন্নিহিত কোণ
খ. সরলকোণ
গ. পূরককোণ
ঘ. সম্পূরক কোণ
উত্তরঃ সম্পূরক কোণ
ব্যাখ্যাঃ
সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা এক সরলকোণ হলে কোণ দুটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
প্রশ্নঃ একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?
[ বিসিএস ২০তম ]
ক. দ্বিগুণ
খ. চারগুণ
ক. চারগুণ
খ. দ্বিগুণ
গ. পাঁচগুণ
ক. দ্বিগুণ
খ. তিনগুণ
গ. চারগুণ
ঘ. পাঁচগুণ
উত্তরঃ চারগুণ
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, একটি সরল রেখার দৈর্ঘ্য \( l \) এবং ঐ সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল \( l^2 \)।
এখন, ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে \( \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)।
\[ \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{l^2}{4} \] অতএব, প্রথম বর্গটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গটির ক্ষেত্রফলের কত গুণ তা বের করতে হলে: \[ \frac{l^2}{\frac{l^2}{4}} = \frac{l^2 \times 4}{l^2} = 4 \] অর্থাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।
এখন, ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে \( \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)।
\[ \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{l^2}{4} \] অতএব, প্রথম বর্গটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গটির ক্ষেত্রফলের কত গুণ তা বের করতে হলে: \[ \frac{l^2}{\frac{l^2}{4}} = \frac{l^2 \times 4}{l^2} = 4 \] অর্থাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।
প্রশ্নঃ AB ও CD সরলরেখাদ্বয় ‘O’ বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?
[ বিসিএস ১৭তম ]
ক. ∠AOD = ∠BOD
খ. ∠AOD = ∠BOC
ক. ∠AOD = ∠BOD
খ. ∠AOD = ∠BOC
গ. ∠AOD > ∠BOC
ক. ∠AOD = ∠BOC
খ. ∠AOD = ∠BOD
গ. ∠BOC = ∠AOC
ঘ. ∠AOD > ∠BOC
উত্তরঃ ∠AOD = ∠BOC
ব্যাখ্যাঃ
দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে। ∴ ∠AOD=∠BOC এবং ∠AOC=∠BOD
ক. $$(-৩, ৩)$$
খ. $$(-১,১)$$
ক. $$\frac{১}{৩},\frac{১}{৩}$$
খ. $$(-১,১)$$
গ. $$(১, ১)$$
ক. $$\frac{১}{৩},\frac{১}{৩}$$
খ. $$(১, ১)$$
গ. $$(-৩, ৩)$$
ঘ. $$(-১,১)$$
উত্তরঃ $$(-১,১)$$
ব্যাখ্যাঃ দুটি সরলরেখার ছেদ বিন্দু বের করতে তাদের সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করতে হবে।
ধরি,
\( x + y = 0 \) (প্রথম সরলরেখা)
\( 2x - y + 3 = 0 \) (দ্বিতীয় সরলরেখা)
প্রথম সমীকরণ থেকে \( y \) এর মান পাই: \[ y = -x \] এখন দ্বিতীয় সমীকরণে \( y \) এর মানটি বসাই: \[ 2x - (-x) + 3 = 0 \] \[ 2x + x + 3 = 0 \] \[ 3x + 3 = 0 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \] এখন, \( x = -1 \) মানটি প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ y = -x \] \[ y = -(-1) \] \[ y = 1 \] অতএব, সরলরেখা দুটি \( (-1, 1) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
ধরি,
\( x + y = 0 \) (প্রথম সরলরেখা)
\( 2x - y + 3 = 0 \) (দ্বিতীয় সরলরেখা)
প্রথম সমীকরণ থেকে \( y \) এর মান পাই: \[ y = -x \] এখন দ্বিতীয় সমীকরণে \( y \) এর মানটি বসাই: \[ 2x - (-x) + 3 = 0 \] \[ 2x + x + 3 = 0 \] \[ 3x + 3 = 0 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \] এখন, \( x = -1 \) মানটি প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ y = -x \] \[ y = -(-1) \] \[ y = 1 \] অতএব, সরলরেখা দুটি \( (-1, 1) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
ক. ১১৫°
খ. ১৩৫°
ক. ১৩৫°
খ. ১০০°
গ. ১১৫°
ক. ১০০°
খ. ১১৫°
গ. ১৩৫°
ঘ. ২২৫°
উত্তরঃ ১৩৫°
ব্যাখ্যাঃ ধরুন চতুর্ভুজের চার কোণের পরিমাণ যথাক্রমে \( 1x \), \( 2x \), \( 2x \), এবং \( 3x \)।
একটি চতুর্ভুজের সব কোণের যোগফল ৩৬০°।
অতএব, \[ 1x + 2x + 2x + 3x = 360° \] \[ 8x = 360° \] \[ x = \frac{360°}{8} = 45° \] বৃহত্তম কোণটি হলো \( 3x \): \[ 3x = 3 \times 45° = 135° \] অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।
একটি চতুর্ভুজের সব কোণের যোগফল ৩৬০°।
অতএব, \[ 1x + 2x + 2x + 3x = 360° \] \[ 8x = 360° \] \[ x = \frac{360°}{8} = 45° \] বৃহত্তম কোণটি হলো \( 3x \): \[ 3x = 3 \times 45° = 135° \] অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।
ক. একটি সমবাহু ত্রিভুজ
খ. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ক. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
খ. একটি সমবাহু ত্রিভুজ
গ. একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ
ক. একটি সমবাহু ত্রিভুজ
খ. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
গ. একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ
ঘ. একটি সমকোণী ত্রিভুজ
উত্তরঃ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রেখাগুলি হল:
1. \( y = 3x + 2 \)
2. \( y = -3x + 2 \)
3. \( y = -2 \)
এই রেখাগুলি দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি ত্রিভুজ। নিম্নলিখিত ধাপে এটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:
১. রেখাগুলির ছেদবিন্দু নির্ণয়:
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3x + 2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -3x + 2 \\ 6x = 0 \\ x = 0 \\ y = 3(0) + 2 = 2 \] ছেদবিন্দু: \( (0, 2) \)
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -2 \\ 3x = -4 \\ x = -\frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( y = -3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ -3x + 2 = -2 \\ -3x = -4 \\ x = \frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
২. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু:
\( (0, 2) \)
\( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। কারণ, দুটি বাহু (\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3\)
1. \( y = 3x + 2 \)
2. \( y = -3x + 2 \)
3. \( y = -2 \)
এই রেখাগুলি দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি ত্রিভুজ। নিম্নলিখিত ধাপে এটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:
১. রেখাগুলির ছেদবিন্দু নির্ণয়:
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3x + 2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -3x + 2 \\ 6x = 0 \\ x = 0 \\ y = 3(0) + 2 = 2 \] ছেদবিন্দু: \( (0, 2) \)
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -2 \\ 3x = -4 \\ x = -\frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( y = -3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ -3x + 2 = -2 \\ -3x = -4 \\ x = \frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
২. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু:
\( (0, 2) \)
\( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। কারণ, দুটি বাহু (\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3\)
ক. ৭
খ. ৮
ক. ৪
খ. ৯
গ. ৮
ক. ৪
খ. ৭
গ. ৯
ঘ. ৮
উত্তরঃ ৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা \( n \)।
সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \[ \text{অন্তঃকোণ} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \] এখানে, অন্তঃকোণের পরিমাণ \( 135^\circ \)। \[ 135 = \frac{(n-2) \times 180}{n} \] এখন, \( n \) এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 135n = 180n - 360 \] \[ 180n - 135n = 360 \] \[ 45n = 360 \] \[ n = \frac{360}{45} \] \[ n = 8 \] অতএব, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ৮।
সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \[ \text{অন্তঃকোণ} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \] এখানে, অন্তঃকোণের পরিমাণ \( 135^\circ \)। \[ 135 = \frac{(n-2) \times 180}{n} \] এখন, \( n \) এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 135n = 180n - 360 \] \[ 180n - 135n = 360 \] \[ 45n = 360 \] \[ n = \frac{360}{45} \] \[ n = 8 \] অতএব, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ৮।
প্রশ্নঃ ২টা ১৫ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়?
[ বিসিএস ১১তম ]
ক. ২ ২ ১ ২
খ. ২ ০
ক. ২ ২ ১ ২
খ. ২ ০
গ. ২ ৩
ক. ২ ৩
খ. ২ ২ ১ ২
গ. ২ ০
ঘ. ২ ৩ ১ ২
উত্তরঃ ২ ২ ১ ২
ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে, ঘন্টা কাঁটার অবস্থান নির্ধারণ করি। ২টা ১৫ মিনিটে, ঘন্টা কাঁটা ২ আর ৩ এর মাঝে থাকে। ঘন্টা কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় ৩০ ডিগ্রি (৩৬০ ডিগ্রি ÷ ১২ ঘন্টা) এবং প্রতি মিনিটে ০.৫ ডিগ্রি (৩০ ডিগ্রি ÷ ৬০ মিনিট) সরতে থাকে।
২. দুই ঘণ্টায় ঘন্টা কাঁটা: \[ ২ \times ৩০ = ৬০ \text{ ডিগ্রি} \] ৩. ১৫ মিনিটে ঘন্টা কাঁটার সরার মান: \[ ১৫ \times ০.৫ = ৭.৫ \text{ ডিগ্রি} \] তাহলে, ২টা ১৫ মিনিটে ঘন্টা কাঁটা: \[ ৬০ + ৭.৫ = ৬৭.৫ \text{ ডিগ্রি} \] ৪. মিনিট কাঁটার অবস্থান নির্ধারণ করি। প্রতি মিনিটে মিনিট কাঁটা ৬ ডিগ্রি (৩৬০ ডিগ্রি ÷ ৬০ মিনিট) সরতে থাকে।
৫. ১৫ মিনিটে মিনিট কাঁটার সরার মান: \[ ১৫ \times ৬ = ৯০ \text{ ডিগ্রি} \] ৬. এখন, ঘন্টা কাঁটা এবং মিনিট কাঁটার মধ্যে কোণ: \[ ৯০ - ৬৭.৫ = ২২.৫ \text{ ডিগ্রি} \] \[ = ২২\frac{১}{২}\text{ ডিগ্রি} \] অতএব, ২টা ১৫ মিনিটের সময় ঘন্টা কাঁটা এবং মিনিট কাঁটার মধ্যে কোণ উৎপন্ন হয় ২২.৫ ডিগ্রি।
২. দুই ঘণ্টায় ঘন্টা কাঁটা: \[ ২ \times ৩০ = ৬০ \text{ ডিগ্রি} \] ৩. ১৫ মিনিটে ঘন্টা কাঁটার সরার মান: \[ ১৫ \times ০.৫ = ৭.৫ \text{ ডিগ্রি} \] তাহলে, ২টা ১৫ মিনিটে ঘন্টা কাঁটা: \[ ৬০ + ৭.৫ = ৬৭.৫ \text{ ডিগ্রি} \] ৪. মিনিট কাঁটার অবস্থান নির্ধারণ করি। প্রতি মিনিটে মিনিট কাঁটা ৬ ডিগ্রি (৩৬০ ডিগ্রি ÷ ৬০ মিনিট) সরতে থাকে।
৫. ১৫ মিনিটে মিনিট কাঁটার সরার মান: \[ ১৫ \times ৬ = ৯০ \text{ ডিগ্রি} \] ৬. এখন, ঘন্টা কাঁটা এবং মিনিট কাঁটার মধ্যে কোণ: \[ ৯০ - ৬৭.৫ = ২২.৫ \text{ ডিগ্রি} \] \[ = ২২\frac{১}{২}\text{ ডিগ্রি} \] অতএব, ২টা ১৫ মিনিটের সময় ঘন্টা কাঁটা এবং মিনিট কাঁটার মধ্যে কোণ উৎপন্ন হয় ২২.৫ ডিগ্রি।
প্রশ্নঃ \((x-4)^2+(y+3)^2=100\) বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. (4,– 3)
খ. (0, 0)
ক. (4,– 3)
খ. (10, 10)
গ. (– 4, 3)
ক. (0, 0)
খ. (4,– 3)
গ. (– 4, 3)
ঘ. (10, 10)
উত্তরঃ (4,– 3)
ব্যাখ্যাঃ
একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$।
যেখানে, $(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 100$।
এই সমীকরণটিকে আমরা $(x-4)^2 + (y-(-3))^2 = 10^2$ হিসেবে লিখতে পারি।
এই সমীকরণটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে আমরা পাই:
$h = 4$
$k = -3$
$r^2 = 100$, সুতরাং $r=10$
সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্রীয় স্থানাঙ্ক $(h, k) = (4, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $10$।
একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$।
যেখানে, $(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 100$।
এই সমীকরণটিকে আমরা $(x-4)^2 + (y-(-3))^2 = 10^2$ হিসেবে লিখতে পারি।
এই সমীকরণটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে আমরা পাই:
$h = 4$
$k = -3$
$r^2 = 100$, সুতরাং $r=10$
সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্রীয় স্থানাঙ্ক $(h, k) = (4, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $10$।
প্রশ্নঃ \((x-y,~ 3)=(0,~ x+2y)\) হলে \((x, ~y)\) = কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. \(1, ~1\)
খ. \(-3, ~1\)
ক. \(1, ~3\)
খ. \(1, ~1\)
গ. \(-1, ~-1\)
ক. \(1, ~1\)
খ. \(1, ~3\)
গ. \(-1, ~-1\)
ঘ. \(-3, ~1\)
উত্তরঃ \(1, ~1\)
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
\((x-y, 3) = (0, x+2y)\)
এখন দুই পৃষ্ঠার সমান উপাদান তুলনা করে সমাধান করি।
১. প্রথম উপাদান থেকে পাই: \[ x - y = 0 \] তাহলে, \[ x = y \] ২. দ্বিতীয় উপাদান থেকে পাই: \[ 3 = x + 2y \] \(x = y\) হলে, সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \(y\) বসাই: \[ 3 = y + 2y \] \[ 3 = 3y \] \[ y = 1 \] ৩. \(y = 1\) হলে, \(x = y\) থেকে: \[ x = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \((x, y) = (1, 1)\)
\((x-y, 3) = (0, x+2y)\)
এখন দুই পৃষ্ঠার সমান উপাদান তুলনা করে সমাধান করি।
১. প্রথম উপাদান থেকে পাই: \[ x - y = 0 \] তাহলে, \[ x = y \] ২. দ্বিতীয় উপাদান থেকে পাই: \[ 3 = x + 2y \] \(x = y\) হলে, সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \(y\) বসাই: \[ 3 = y + 2y \] \[ 3 = 3y \] \[ y = 1 \] ৩. \(y = 1\) হলে, \(x = y\) থেকে: \[ x = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \((x, y) = (1, 1)\)
প্রশ্নঃ একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. ২৭০০°
খ. ৫৪০°
ক. ৫৪০°
খ. ১৮০°
গ. ৩৬০°
ক. ১৮০°
খ. ২৭০০°
গ. ৩৬০°
ঘ. ৫৪০°
উত্তরঃ ৫৪০°
ব্যাখ্যাঃ
চাকাটি ১ মিনিটে ৯০ বার ঘোরে, অর্থাৎ ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে ৯০ বার।
সুতরাং, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{৯০}{৬০} = ১.৫$ বার।
আমরা জানি, একবার পূর্ণ ঘূর্ণনে চাকাটি ৩৬০° ঘোরে।
অতএব, ১ সেকেন্ডে চাকাটির ঘূর্ণন হবে $১.৫ \times ৩৬০° = ৫৪০°$।
চাকাটি ১ মিনিটে ৯০ বার ঘোরে, অর্থাৎ ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে ৯০ বার।
সুতরাং, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{৯০}{৬০} = ১.৫$ বার।
আমরা জানি, একবার পূর্ণ ঘূর্ণনে চাকাটি ৩৬০° ঘোরে।
অতএব, ১ সেকেন্ডে চাকাটির ঘূর্ণন হবে $১.৫ \times ৩৬০° = ৫৪০°$।
প্রশ্নঃ একটি গাড়ির চাকা যদি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে, ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]
ক. ১৮০°
খ. ৫৪০°
ক. ৫৪০°
খ. ২৭০°
গ. ১৮০°
ক. ৩৬০০°
খ. ৫৪০°
গ. ১৮০°
ঘ. ২৭০°
উত্তরঃ ৫৪০°
ব্যাখ্যাঃ ধরি, চাকাটি প্রতি মিনিটে \(90\) বার ঘোরে।
ধাপ ১: প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়
এক মিনিটে \(60\) সেকেন্ড থাকে।
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে: \[ \frac{90}{60} = 1.5 \, \text{বার} \] ধাপ ২: একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে \(360^\circ\)
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি \(1.5\) বার ঘুরলে মোট ঘূর্ণন হবে: \[ 1.5 \times 360^\circ = 540^\circ \] উত্তর: ১ সেকেন্ডে চাকাটি \(540^\circ\) ঘুরবে।
ধাপ ১: প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়
এক মিনিটে \(60\) সেকেন্ড থাকে।
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে: \[ \frac{90}{60} = 1.5 \, \text{বার} \] ধাপ ২: একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে \(360^\circ\)
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি \(1.5\) বার ঘুরলে মোট ঘূর্ণন হবে: \[ 1.5 \times 360^\circ = 540^\circ \] উত্তর: ১ সেকেন্ডে চাকাটি \(540^\circ\) ঘুরবে।
প্রশ্নঃ একটি ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার ও উচ্চতা শূন্য হলে ক্ষেত্রটি কি হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. কোনটিই নয়
খ. দ্বি-মাত্রিক
ক. দ্বি-মাত্রিক
খ. কোনটিই নয়
গ. ত্রি-মাত্রিক
ক. ত্রি-মাত্রিক
খ. কোনটিই নয়
গ. এক মাত্রিক
ঘ. দ্বি-মাত্রিক
উত্তরঃ দ্বি-মাত্রিক
ব্যাখ্যাঃ
একটি ক্ষেত্রের উচ্চতা শূন্য হলে এটি ত্রি-মাত্রিক (Three-Dimensional) হতে পারে না, কারণ উচ্চতার অভাবে এটি কোনো আয়তন ধারণ করে না। এটি দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ দ্বারা গঠিত একটি সমতল আকার, যা দ্বি-মাত্রিক (Two-Dimensional)।
উত্তর: ঘঃ দ্বি-মাত্রিক
প্রশ্নঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ হবে-
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
ক. সুক্ষ্ম কোণ
খ. সন্নিহিত কোণ
ক. সন্নিহিত কোণ
খ. সরলকোণ
গ. সুক্ষ্ম কোণ
ক. সন্নিহিত কোণ
খ. সরলকোণ
গ. সম্পূরক কোণ
ঘ. সুক্ষ্ম কোণ
উত্তরঃ সুক্ষ্ম কোণ
ব্যাখ্যাঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজে এক কোণ সর্বদা \(90^\circ\) হয়, যাকে সমকোণ বলা হয়। ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল সর্বদা \(180^\circ\)।
অতএব, বাকি দুই কোণের যোগ হবে: \[ 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] তাহলে, সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ অবশ্যই হবে সুক্ষ্ম কোণ (acute angles), যেহেতু প্রতিটি কোণের মান \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট হবে।
সুতরাং, উত্তর হলো: সুক্ষ্ম কোণ।
অতএব, বাকি দুই কোণের যোগ হবে: \[ 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] তাহলে, সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ অবশ্যই হবে সুক্ষ্ম কোণ (acute angles), যেহেতু প্রতিটি কোণের মান \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট হবে।
সুতরাং, উত্তর হলো: সুক্ষ্ম কোণ।
প্রশ্নঃ দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
ক. প্রবৃদ্ধকোণ
খ. বিপ্রতীপ কোণ
ক. সম্পূরক কোণ
খ. প্রবৃদ্ধকোণ
গ. স্থুল কোণ
ক. সম্পূরক কোণ
খ. বিপ্রতীপ কোণ
গ. স্থুল কোণ
ঘ. প্রবৃদ্ধকোণ
উত্তরঃ প্রবৃদ্ধকোণ
ব্যাখ্যাঃ
দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় (১৮০° < কোণ) এবং চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট (কোণ < ৩৬০°) কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।
প্রশ্নঃ দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরাল ভাবে চলে যাচ্ছে। তারা এক অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
ক. ৬০০
খ. কখনই নয়
ক. ২০০
খ. কখনই নয়
গ. ৬০০
ক. কখনই নয়
খ. ২০০
গ. ৪০০
ঘ. ৬০০
উত্তরঃ কখনই নয়
ব্যাখ্যাঃ
যেহেতু দুটি লাইন সমান্তরাল, তাই তারা কখনো একে অপরের সাথে মিলিত হবে না।
সমান্তরাল রেখাগুলোর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো—তারা অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হলেও কখনো একে অপরকে ছেদ করে না। সুতরাং, এই দুটি লাইন কখনই মিলিত হবে না।
প্রশ্নঃ একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ১৮০°
খ. ১৬০°
ক. ১৮০°
খ. ৯০°
গ. ১৬০°
ক. ৯০°
খ. ১৬০°
গ. ১৮০°
ঘ. ১২০°
উত্তরঃ ১৮০°
ব্যাখ্যাঃ যদি একটি রেখাংশ সরলরেখার সাথে মিলিত হয়, তবে সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^\circ\) হবে।
কারণ, এটি রৈখিক যুগল কোণ (Linear Pair of Angles) সৃষ্টি করে, যা সর্বদা \( 180^\circ \) হয়।
কারণ, এটি রৈখিক যুগল কোণ (Linear Pair of Angles) সৃষ্টি করে, যা সর্বদা \( 180^\circ \) হয়।
প্রশ্নঃ একটি ঘড়ি দুপুর ১২ টা হতে চলতে শুরু করেছে। ৫ টা ১০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটাটি কত ডিগ্রিতে ঘুরবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ১৪৫°
খ. ১৫৫°
ক. ১৪৫°
খ. ১৫৫°
গ. ১৫০°
ক. ১৪৫°
খ. ১৫০°
গ. ১৫৫°
ঘ. ১৬০°
উত্তরঃ ১৫৫°
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ঘন্টার কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘুরে।
তাহলে, ৫ টা পর্যন্ত ঘরের কাঁটার ঘূর্ণন: \[ 5 \times 30^\circ = 150^\circ \] এখন, ১০ মিনিটের জন্য অতিরিক্ত ঘূর্ণন হিসাব করি।
যেহেতু ১ ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘোরে, তাই ১০ মিনিটে: \[ \frac{30^\circ}{60} \times 10 = 5^\circ \] তাহলে, মোট ঘূর্ণন: \[ 150^\circ + 5^\circ = 155^\circ \] সুতরাং, ৫ টা ১০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটাটি ১৫৫ ডিগ্রি ঘুরবে।
তাহলে, ৫ টা পর্যন্ত ঘরের কাঁটার ঘূর্ণন: \[ 5 \times 30^\circ = 150^\circ \] এখন, ১০ মিনিটের জন্য অতিরিক্ত ঘূর্ণন হিসাব করি।
যেহেতু ১ ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘোরে, তাই ১০ মিনিটে: \[ \frac{30^\circ}{60} \times 10 = 5^\circ \] তাহলে, মোট ঘূর্ণন: \[ 150^\circ + 5^\circ = 155^\circ \] সুতরাং, ৫ টা ১০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটাটি ১৫৫ ডিগ্রি ঘুরবে।
প্রশ্নঃ ৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ কোনটি?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ৫০ ডিগ্রী
খ. ১২০ ডিগ্রী
ক. ৫০ ডিগ্রী
খ. ৩২০ ডিগ্রী
গ. ১২০ ডিগ্রী
ক. ৩২০ ডিগ্রী
খ. ৫০ ডিগ্রী
গ. ১২০ ডিগ্রী
ঘ. ১৪০ ডিগ্রী
উত্তরঃ ৫০ ডিগ্রী
ব্যাখ্যাঃ ৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ হলো ৫০ ডিগ্রী।
কারণ, দুটি কোণের সমষ্টি $৯০^\circ$ হলে তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
$৯০^\circ - ৪০^\circ = ৫০^\circ$
কারণ, দুটি কোণের সমষ্টি $৯০^\circ$ হলে তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
$৯০^\circ - ৪০^\circ = ৫০^\circ$
প্রশ্নঃ একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে 10 বার ঘুরে। চাকাটি 5 সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরে?
[ 18th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (15-03-2024) ]
ক. 360
খ. 300
ক. 360
খ. 3000
গ. 300
ক. 50
খ. 300
গ. 360
ঘ. 3000
উত্তরঃ 300
ব্যাখ্যাঃ চাকাটি 1 মিনিটে (60 সেকেন্ডে) ঘোরে 10 বার।
চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{10}{60}$ বার = $\frac{1}{6}$ বার।
আমরা জানি, 1 বার ঘোরা মানে 360 ডিগ্রি ঘোরা।
সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{1}{6} \times 5$ বার = $\frac{5}{6}$ বার।
ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{5}{6} \times 360$ ডিগ্রি।
$= 5 \times 60$ ডিগ্রি
$= 300$ ডিগ্রি।
সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে 300 ডিগ্রি ঘোরে।
চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{10}{60}$ বার = $\frac{1}{6}$ বার।
আমরা জানি, 1 বার ঘোরা মানে 360 ডিগ্রি ঘোরা।
সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{1}{6} \times 5$ বার = $\frac{5}{6}$ বার।
ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{5}{6} \times 360$ ডিগ্রি।
$= 5 \times 60$ ডিগ্রি
$= 300$ ডিগ্রি।
সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে 300 ডিগ্রি ঘোরে।
প্রশ্নঃ একটি কোণের 4 গুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?
[ 18th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (15-03-2024) ]
ক. 120°
খ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. 10°
গ. 120°
ক. 10°
খ. 110°
গ. 120°
ঘ. 160°
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ ধরি, কোণটি হল $A$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির 4 গুণ 180°।
$4A = 180$
$A = \frac{180}{4}$
$A = 45$ ডিগ্রি।
আমরা জানি, দুটি কোণের যোগফল 180° হলে তারা পরস্পর সম্পূরক কোণ হয়।
সুতরাং, কোণটির সম্পূরক কোণ হবে $180 - A$ ডিগ্রি।
সম্পূরক কোণ = $180 - 45$
সম্পূরক কোণ = $135$ ডিগ্রি।
অতএব, কোণটির সম্পূরক কোণ হল 135 ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির 4 গুণ 180°।
$4A = 180$
$A = \frac{180}{4}$
$A = 45$ ডিগ্রি।
আমরা জানি, দুটি কোণের যোগফল 180° হলে তারা পরস্পর সম্পূরক কোণ হয়।
সুতরাং, কোণটির সম্পূরক কোণ হবে $180 - A$ ডিগ্রি।
সম্পূরক কোণ = $180 - 45$
সম্পূরক কোণ = $135$ ডিগ্রি।
অতএব, কোণটির সম্পূরক কোণ হল 135 ডিগ্রি।
প্রশ্নঃ কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত হবে?
[ 18th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (15-03-2024) ]
ক. 360°
খ. 270°
ক. 270°
খ. 580°
গ. 360°
ক. 180°
খ. 270°
গ. 360°
ঘ. 580°
উত্তরঃ 360°
ব্যাখ্যাঃ যখন একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করা হয়, তখন প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে একটি করে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়। প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের সাথে মিলে 180° তৈরি করে।
ধরি, একটি ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল $A, B, C$ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণগুলি হল $A', B', C'$।
তাহলে,
$A + A' = 180^\circ$
$B + B' = 180^\circ$
$C + C' = 180^\circ$
এই তিনটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(A + A') + (B + B') + (C + C') = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ$
$(A + B + C) + (A' + B' + C') = 540^\circ$
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$।
এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$180^\circ + (A' + B' + C') = 540^\circ$
$A' + B' + C' = 540^\circ - 180^\circ$
$A' + B' + C' = 360^\circ$
সুতরাং, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি 360° হবে।
ধরি, একটি ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল $A, B, C$ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণগুলি হল $A', B', C'$।
তাহলে,
$A + A' = 180^\circ$
$B + B' = 180^\circ$
$C + C' = 180^\circ$
এই তিনটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(A + A') + (B + B') + (C + C') = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ$
$(A + B + C) + (A' + B' + C') = 540^\circ$
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$।
এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$180^\circ + (A' + B' + C') = 540^\circ$
$A' + B' + C' = 540^\circ - 180^\circ$
$A' + B' + C' = 360^\circ$
সুতরাং, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি 360° হবে।
প্রশ্নঃ PQ রেখাংশকে R বিন্দুতে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করা হলো যেন PQ: PR=PR: QR হয় যখন PR > QR; সমানুপাতটি কত?
[ 18th ntrca (স্কুল পর্যায়) (15-03-2024) ]
ক. 1.618 : 1
খ. 1 : 0.618
ক. 1.618 : 1
খ. 1 : 1.618
গ. 1 : 0.618
ক. 1 : 1.618
খ. 1 : 0.618
গ. 1.618 : 1
ঘ. 0.618 : 1
উত্তরঃ 1.618 : 1
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে, PQ রেখাংশকে R বিন্দুতে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করা হয়েছে যে:
PQ : PR = PR : QR
ধরি, PR = $x$ এবং QR = $y$।
তাহলে, PQ = PR + QR = $x+y$।
এই মানগুলো সমানুপাতে বসিয়ে পাই:
$(x+y) : x = x : y$
বা, $\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$
$y(x+y) = x^2$
$xy + y^2 = x^2$
$x^2 - xy - y^2 = 0$
এই সমীকরণটিকে $y^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} - 1 = 0$
ধরি, $\frac{x}{y} = k$।
$k^2 - k - 1 = 0$
দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে $k$ এর মান পাই:
$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
যেহেতু PR > QR, তাই $\frac{PR}{QR} = \frac{x}{y} = k$ এর মান ধনাত্মক হবে।
$k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx \frac{3.236}{2} \approx 1.618$
সুতরাং, অনুপাতটি হলো $PR : QR = k : 1 = 1.618 : 1$।
সঠিক উত্তর: গঃ 1.618 : 1
PQ : PR = PR : QR
ধরি, PR = $x$ এবং QR = $y$।
তাহলে, PQ = PR + QR = $x+y$।
এই মানগুলো সমানুপাতে বসিয়ে পাই:
$(x+y) : x = x : y$
বা, $\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$
$y(x+y) = x^2$
$xy + y^2 = x^2$
$x^2 - xy - y^2 = 0$
এই সমীকরণটিকে $y^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} - 1 = 0$
ধরি, $\frac{x}{y} = k$।
$k^2 - k - 1 = 0$
দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে $k$ এর মান পাই:
$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
যেহেতু PR > QR, তাই $\frac{PR}{QR} = \frac{x}{y} = k$ এর মান ধনাত্মক হবে।
$k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx \frac{3.236}{2} \approx 1.618$
সুতরাং, অনুপাতটি হলো $PR : QR = k : 1 = 1.618 : 1$।
সঠিক উত্তর: গঃ 1.618 : 1