ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যা $a$ এবং $b$-এর গুণোত্তর গড় হলো $\sqrt{ab}$.

এখানে, সংখ্যা দুটি হলো $১৮$ এবং $৭২$.

সুতরাং, এদের গুণোত্তর গড় হবে $\sqrt{১৮\times ৭২}$.

আমরা লিখতে পারি, $১৮=২\times ৯=২\times {৩}^{২}$ এবং $৭২=৮\times ৯={২}^{৩}\times {৩}^{২}$.

তাহলে, $১৮\times ৭২=(২\times {৩}^{২})\times ({২}^{৩}\times {৩}^{২})={২}^{১+৩}\times {৩}^{২+২}={২}^{৪}\times {৩}^{৪}=(২\times ৩{)}^{৪}={৬}^{৪}$.

অতএব, গুণোত্তর গড় = $\sqrt{{৬}^{৪}}=({৬}^{৪}{)}^{১/২}={৬}^{৪\times (১/২)}={৬}^{২}=৩৬$.

সুতরাং, ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় হলো ৩৬।

সঠিক উত্তর: গঃ ৩৬

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = 70
মোট প্রাপ্ত নম্বর = $100\times 70=7000$

ছাত্রীর সংখ্যা = 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর = 75
ছাত্রীদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $60\times 75=4500$

ছাত্রের সংখ্যা = $100-60=40$ জন
ছাত্রদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $7000-4500=2500$
ছাত্রদের গড় নম্বর = $\frac{2500}{40}=62.5$

সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর 62.5।

ব্যাখ্যাঃ
তিন সদস্যের মোট বয়স: $২৪\times ৩=৭২$ বছর।
অন্য দুজন সদস্যের সর্বনিম্ন বয়স হতে পারে ২১ বছর করে।
অন্য দুজন সদস্যের বয়সের সমষ্টি: $২১+২১=৪২$ বছর।
সুতরাং, তৃতীয় সদস্যের সর্বোচ্চ বয়স হবে: $৭২-৪২=৩০$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ
$m$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $=m\times x=mx$
$n$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $=n\times y=ny$

সব সংখ্যার মোট যোগফল $=(mx+ny)$
মোট সংখ্যা $=(m+n)$

সুতরাং, সব সংখ্যার গড়
$=\frac{সবসংখ্যারমোটযোগফল}{মোটসংখ্যা}$
$=\frac{mx+ny}{m+n}$

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং সে কারিমের থেকে তিনগুণ বড়। অর্থাৎ, কারিমের বয়স হবে: $$\frac{১২}{৩}=৪\text{ বছর}$$ এখন, প্রশ্নে বলা হচ্ছে, রাহিম তখন দুইগুণ বড় হবে কারিমের থেকে। তাহলে, সেই অবস্থায় রাহিমের বয়স হবে ২ গুণ কারিমের বয়সের। ধরা যাক, কিছু সময় পরে রাহিমের বয়স হবে x বছর এবং কারিমের বয়স হবে y বছর। আমরা জানি, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং কারিমের বয়স ৪ বছর। এখন, সময়ের সাথে তাদের বয়সে বৃদ্ধি হবে, এবং তাদের বয়সের পার্থক্য একটিই থাকবে। অতএব, রাহিমের বয়সের ও কারিমের বয়সের মধ্যে পার্থক্য থাকবে ৮ বছর। তাহলে, রাহিমের বয়স হবে: $$x=2y$$ এবং, $$x-y=৮$$ এখন, প্রথম সমীকরণে x = 2y বসিয়ে দ্বিতীয় সমীকরণে দিয়ে সমাধান করি: $$2y-y=৮$$ $$y=৮$$ তাহলে, কারিমের বয়স হবে ৮ বছর। আর রাহিমের বয়স হবে: $$x=2\times ৮=১৬\text{ বছর}$$ ### উত্তর: রাহিমের বয়স হবে ১৬ বছর, যখন সে কারিমের থেকে দুইগুণ বড় হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৩৭ বছর × ৩ = ১১১ বছর
আবার, পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৫ বছর × ২ = ৭০ বছর
এখন, মাতার বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: মাতার বয়স = ১১১ বছর - ৭০ বছর = ৪১ বছর
অতএব, মাতার বয়স ৪১ বছর।

ব্যাখ্যাঃ

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৪৫ বছর × ২ = ৯০ বছর আবার, পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৬ বছর × ৩ = ১০৮ বছর এখন, পুত্রের বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও মাতার মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: পুত্রের বয়স = ১০৮ বছর - ৯০ বছর = ১৮ বছর অতএব, পুত্রের বয়স ১৮ বছর।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে পারি। ধরি, প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো $M$, যার গড় $A$ এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো $N$, যার গড় $B$। প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $$MA$$ দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $$NB$$ তাহলে সবগুলো সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $$MA+NB$$ এখন সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে মোট সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সাথে ভাগ করি: $$\text{সবগুলো সংখ্যার গড়}=\frac{MA+NB}{M+N}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স $4x$ বছর।

৬ বছর পূর্বে, পুত্রের বয়স $x-6$ বছর এবং পিতার বয়স $4x-6$ বছর ছিল।

প্রশ্ন থেকে আমরা পাই: ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। অতএব, $$4x-6=10(x-6)$$ এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: $$4x-6=10x-60$$ $$4x-10x=-60+6$$ $$-6x=-54$$ $$x=9$$ অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স $4x=4\times 9=36$ বছর।

অর্থাৎ, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুযায়ী:

$x$ এবং $y$ এর মানের গড় $৯$।
$z=১২$।

গড় বের করার সূত্র: $$\text{গড়}=\frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{উপাদানের সংখ্যা}}$$ প্রথমে, $x$ এবং $y$ এর মোট যোগফল বের করি: $$\frac{x+y}{2}=9$$ $$x+y=9\times 2=18$$ এখন, $x$, $y$ এবং $z$ এর মানের গড় বের করি: $$\text{গড়}=\frac{x+y+z}{3}$$ $$=\frac{18+12}{3}$$ $$=\frac{30}{3}$$ $$=10$$ তাহলে, $x$, $y$ এবং $z$ এর মানের গড় হবে ১০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি সেই সংখ্যাটি $x$।

৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড়: $$\frac{৬+৮+১০}{৩}=\frac{২৪}{৩}=৮$$ এখন, $৭,৯$ এবং $x$ এর গাণিতিক গড় বের করি: $$\frac{৭+৯+x}{৩}=৮$$ অতএব, $$৭+৯+x=২৪$$ $$১৬+x=২৪$$ $$x=২৪-১৬$$ $$x=৮$$ অতএব, $x$ এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে তিন ভাইয়ের মোট বয়স:
গড় বয়স = ১৬ বছর, ভাইয়ের সংখ্যা = ৩
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: $$3\times 16=48\text{ বছর}$$ বাবা সহ চারজনের মোট বয়স:
গড় বয়স = ২৫ বছর, মোট ব্যক্তি = ৪
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: $$4\times 25=100\text{ বছর}$$ বাবার বয়স: $$100-48=52\text{ বছর}$$ সুতরাং, বাবার বয়স ৫২ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স $3x$ বছর।

৫ বছর আগে:
⇒ পুত্রের বয়স ছিল $x-5$ বছর।
⇒ পিতার বয়স ছিল $3x-5$ বছর।

প্রশ্ন অনুযায়ী, ৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, অর্থাৎ: $$3x-5=4(x-5)$$ $$3x-5=4x-20$$ $$3x-4x=-20+5$$ $$-x=-15$$ $$x=15$$ সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স $15$ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স $3\times 15=45$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, শ্রেণীর ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স নির্ণয় করি: $$\text{মোট বয়স}=\text{গড়}\times \text{সংখ্যা}=12\times 20=240\text{ বছর}$$ ৪ জন নতুন ছাত্র ভর্তি হওয়ার পর, মোট ছাত্র হলো $20+4=24$।
নতুন গড় বয়স হলো ৪ মাস কম, অর্থাৎ: $$12-\frac{4}{12}=11.6667\approx 11\frac{2}{3}\text{ বছর}$$ এখন, নতুন মোট বয়স: $$\text{নতুন মোট বয়স}=24\times 11\frac{2}{3}=280\text{ বছর}$$ তাহলে, নতুন ছাত্রদের মোট বয়স: $$280-240=40\text{ বছর}$$ এখন, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স: $$\frac{40}{4}=10\text{ বছর}$$ সুতরাং, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স ১০ বছর।

ব্যাখ্যাঃ গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সূত্র: $$\text{গড়}=\frac{\text{সংখ্যাগুলোর যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}}$$ প্রথমে, ৬, ৮ ও ১০ এর গড়: $$\frac{6+8+10}{3}=\frac{24}{3}=8$$ এখন, ৭, ৯ ও $x$ এর গড়ও ৮ হবে: $$\frac{7+9+x}{3}=8$$ $$7+9+x=8\times 3$$ $$16+x=24$$ $$x=24-16=8$$ সুতরাং, $x$ এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, পুত্রের বয়স $x$ বছর।

প্রশ্নানুযায়ী, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি।
সুতরাং, পিতার বয়স $=2x+2$ বছর।

দেওয়া আছে, পিতার বয়স ৬২ বছর।
তাহলে, $2x+2=62$
$2x=62-2$
$2x=60$
$x=\frac{60}{2}$
$x=30$

অতএব, পুত্রের বয়স ৩০ বছর।

উত্তর: পুত্রের বয়স ৩০ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ১০ টি সংখ্যার যোগফল ৩৮০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় ৪০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার মোট যোগফল = $4\times 40=160$

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ৩০।
শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $5\times 30=150$

প্রথম ৪টি সংখ্যা এবং শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $160+150=310$

মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল থেকে প্রথম ৪টি এবং শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল বাদ দিলে ৫ম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

৫ম সংখ্যাটি = মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল - (প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল + শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল)
৫ম সংখ্যাটি = $380-310=70$

সুতরাং, ৫ম সংখ্যাটি হলো ৭০।

ব্যাখ্যাঃ পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3x$ বছর।

5 বছর পূর্বে,
পুত্রের বয়স ছিল $x-5$ বছর।
পিতার বয়স ছিল $3x-5$ বছর।

প্রশ্নানুসারে,
$3x-5=4(x-5)$
$3x-5=4x-20$
$4x-3x=20-5$
$x=15$

অতএব,
পুত্রের বর্তমান বয়স 15 বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3\times 15=45$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ

লাবিব+রামিম+জিদান = ৩x ……..১

লাবিব + রামিম + শাফিন = ৩(x - 5) …….২

বিয়োগ করে (১-২),

জিদান- শাফিন = ৩x - ৩x + ১৫

বা, জিদান -২০ = ১৫

বা, জিদান = ৩৫

সুতরাং, জিদানের বয়স ৩৫ বছর।