ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যা $a$ এবং $b$-এর গুণোত্তর গড় হলো $\sqrt{ab}$.

এখানে, সংখ্যা দুটি হলো $১৮$ এবং $৭২$.

সুতরাং, এদের গুণোত্তর গড় হবে $\sqrt{১৮\times ৭২}$.

আমরা লিখতে পারি, $১৮=২\times ৯=২\times {৩}^{২}$ এবং $৭২=৮\times ৯={২}^{৩}\times {৩}^{২}$.

তাহলে, $১৮\times ৭২=(২\times {৩}^{২})\times ({২}^{৩}\times {৩}^{২})={২}^{১+৩}\times {৩}^{২+২}={২}^{৪}\times {৩}^{৪}=(২\times ৩{)}^{৪}={৬}^{৪}$.

অতএব, গুণোত্তর গড় = $\sqrt{{৬}^{৪}}=({৬}^{৪}{)}^{১/২}={৬}^{৪\times (১/২)}={৬}^{২}=৩৬$.

সুতরাং, ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় হলো ৩৬।

সঠিক উত্তর: গঃ ৩৬

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = 70
মোট প্রাপ্ত নম্বর = $100\times 70=7000$

ছাত্রীর সংখ্যা = 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর = 75
ছাত্রীদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $60\times 75=4500$

ছাত্রের সংখ্যা = $100-60=40$ জন
ছাত্রদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $7000-4500=2500$
ছাত্রদের গড় নম্বর = $\frac{2500}{40}=62.5$

সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর 62.5।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং সে কারিমের থেকে তিনগুণ বড়। অর্থাৎ, কারিমের বয়স হবে: $$\frac{১২}{৩}=৪\text{ বছর}$$ এখন, প্রশ্নে বলা হচ্ছে, রাহিম তখন দুইগুণ বড় হবে কারিমের থেকে। তাহলে, সেই অবস্থায় রাহিমের বয়স হবে ২ গুণ কারিমের বয়সের। ধরা যাক, কিছু সময় পরে রাহিমের বয়স হবে x বছর এবং কারিমের বয়স হবে y বছর। আমরা জানি, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং কারিমের বয়স ৪ বছর। এখন, সময়ের সাথে তাদের বয়সে বৃদ্ধি হবে, এবং তাদের বয়সের পার্থক্য একটিই থাকবে। অতএব, রাহিমের বয়সের ও কারিমের বয়সের মধ্যে পার্থক্য থাকবে ৮ বছর। তাহলে, রাহিমের বয়স হবে: $$x=2y$$ এবং, $$x-y=৮$$ এখন, প্রথম সমীকরণে x = 2y বসিয়ে দ্বিতীয় সমীকরণে দিয়ে সমাধান করি: $$2y-y=৮$$ $$y=৮$$ তাহলে, কারিমের বয়স হবে ৮ বছর। আর রাহিমের বয়স হবে: $$x=2\times ৮=১৬\text{ বছর}$$ ### উত্তর: রাহিমের বয়স হবে ১৬ বছর, যখন সে কারিমের থেকে দুইগুণ বড় হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৩৭ বছর × ৩ = ১১১ বছর
আবার, পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৫ বছর × ২ = ৭০ বছর
এখন, মাতার বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: মাতার বয়স = ১১১ বছর - ৭০ বছর = ৪১ বছর
অতএব, মাতার বয়স ৪১ বছর।

ব্যাখ্যাঃ

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৪৫ বছর × ২ = ৯০ বছর আবার, পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৬ বছর × ৩ = ১০৮ বছর এখন, পুত্রের বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও মাতার মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: পুত্রের বয়স = ১০৮ বছর - ৯০ বছর = ১৮ বছর অতএব, পুত্রের বয়স ১৮ বছর।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে পারি। ধরি, প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো $M$, যার গড় $A$ এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো $N$, যার গড় $B$। প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $$MA$$ দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $$NB$$ তাহলে সবগুলো সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $$MA+NB$$ এখন সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে মোট সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সাথে ভাগ করি: $$\text{সবগুলো সংখ্যার গড়}=\frac{MA+NB}{M+N}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স $x$ বছর। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স হবে $x+5=12$ বছর। $$x=12-5$$ $$x=7\text{ বছর}$$ তাহলে, ছেলের বর্তমান বয়স ৭ বছর। তার স্ত্রী বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ, সুতরাং স্ত্রীর বর্তমান বয়স: $$4\times 7=28\text{ বছর}$$ যেহেতু ঐ ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়, সুতরাং তার বর্তমান বয়স: $$28+5=33\text{ বছর}$$ তাহলে, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স ৩৩ বছর।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুযায়ী:

$x$ এবং $y$ এর মানের গড় $৯$।
$z=১২$।

গড় বের করার সূত্র: $$\text{গড়}=\frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{উপাদানের সংখ্যা}}$$ প্রথমে, $x$ এবং $y$ এর মোট যোগফল বের করি: $$\frac{x+y}{2}=9$$ $$x+y=9\times 2=18$$ এখন, $x$, $y$ এবং $z$ এর মানের গড় বের করি: $$\text{গড়}=\frac{x+y+z}{3}$$ $$=\frac{18+12}{3}$$ $$=\frac{30}{3}$$ $$=10$$ তাহলে, $x$, $y$ এবং $z$ এর মানের গড় হবে ১০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি সেই সংখ্যাটি $x$।

৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড়: $$\frac{৬+৮+১০}{৩}=\frac{২৪}{৩}=৮$$ এখন, $৭,৯$ এবং $x$ এর গাণিতিক গড় বের করি: $$\frac{৭+৯+x}{৩}=৮$$ অতএব, $$৭+৯+x=২৪$$ $$১৬+x=২৪$$ $$x=২৪-১৬$$ $$x=৮$$ অতএব, $x$ এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে তিন ভাইয়ের মোট বয়স:
গড় বয়স = ১৬ বছর, ভাইয়ের সংখ্যা = ৩
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: $$3\times 16=48\text{ বছর}$$ বাবা সহ চারজনের মোট বয়স:
গড় বয়স = ২৫ বছর, মোট ব্যক্তি = ৪
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: $$4\times 25=100\text{ বছর}$$ বাবার বয়স: $$100-48=52\text{ বছর}$$ সুতরাং, বাবার বয়স ৫২ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স $3x$ বছর।

৫ বছর আগে:
⇒ পুত্রের বয়স ছিল $x-5$ বছর।
⇒ পিতার বয়স ছিল $3x-5$ বছর।

প্রশ্ন অনুযায়ী, ৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, অর্থাৎ: $$3x-5=4(x-5)$$ $$3x-5=4x-20$$ $$3x-4x=-20+5$$ $$-x=-15$$ $$x=15$$ সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স $15$ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স $3\times 15=45$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, শ্রেণীর ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স নির্ণয় করি: $$\text{মোট বয়স}=\text{গড়}\times \text{সংখ্যা}=12\times 20=240\text{ বছর}$$ ৪ জন নতুন ছাত্র ভর্তি হওয়ার পর, মোট ছাত্র হলো $20+4=24$।
নতুন গড় বয়স হলো ৪ মাস কম, অর্থাৎ: $$12-\frac{4}{12}=11.6667\approx 11\frac{2}{3}\text{ বছর}$$ এখন, নতুন মোট বয়স: $$\text{নতুন মোট বয়স}=24\times 11\frac{2}{3}=280\text{ বছর}$$ তাহলে, নতুন ছাত্রদের মোট বয়স: $$280-240=40\text{ বছর}$$ এখন, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স: $$\frac{40}{4}=10\text{ বছর}$$ সুতরাং, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স ১০ বছর।

ব্যাখ্যাঃ গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সূত্র: $$\text{গড়}=\frac{\text{সংখ্যাগুলোর যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}}$$ প্রথমে, ৬, ৮ ও ১০ এর গড়: $$\frac{6+8+10}{3}=\frac{24}{3}=8$$ এখন, ৭, ৯ ও $x$ এর গড়ও ৮ হবে: $$\frac{7+9+x}{3}=8$$ $$7+9+x=8\times 3$$ $$16+x=24$$ $$x=24-16=8$$ সুতরাং, $x$ এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, পুত্রের বয়স $x$ বছর।

প্রশ্নানুযায়ী, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি।
সুতরাং, পিতার বয়স $=2x+2$ বছর।

দেওয়া আছে, পিতার বয়স ৬২ বছর।
তাহলে, $2x+2=62$
$2x=62-2$
$2x=60$
$x=\frac{60}{2}$
$x=30$

অতএব, পুত্রের বয়স ৩০ বছর।

উত্তর: পুত্রের বয়স ৩০ বছর।