প্রশ্নঃ Rahim is 12 years old. He is three times older than Karim. What will be the age of Rahim when he is two times older than Karim?
[ বিসিএস ২৮তম ]
ক. 15 years
খ. 16 years
গ. 17 years
ঘ. 18 years
উত্তরঃ 16 years
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং সে কারিমের থেকে তিনগুণ বড়। অর্থাৎ, কারিমের বয়স হবে: \[ \frac{১২}{৩} = ৪ \text{ বছর} \] এখন, প্রশ্নে বলা হচ্ছে, রাহিম তখন দুইগুণ বড় হবে কারিমের থেকে। তাহলে, সেই অবস্থায় রাহিমের বয়স হবে ২ গুণ কারিমের বয়সের। ধরা যাক, কিছু সময় পরে রাহিমের বয়স হবে x বছর এবং কারিমের বয়স হবে y বছর। আমরা জানি, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং কারিমের বয়স ৪ বছর। এখন, সময়ের সাথে তাদের বয়সে বৃদ্ধি হবে, এবং তাদের বয়সের পার্থক্য একটিই থাকবে। অতএব, রাহিমের বয়সের ও কারিমের বয়সের মধ্যে পার্থক্য থাকবে ৮ বছর। তাহলে, রাহিমের বয়স হবে: \[ x = 2y \] এবং, \[ x - y = ৮ \] এখন, প্রথম সমীকরণে x = 2y বসিয়ে দ্বিতীয় সমীকরণে দিয়ে সমাধান করি: \[ 2y - y = ৮ \] \[ y = ৮ \] তাহলে, কারিমের বয়স হবে ৮ বছর। আর রাহিমের বয়স হবে: \[ x = 2 \times ৮ = ১৬ \text{ বছর} \] ### উত্তর: রাহিমের বয়স হবে ১৬ বছর, যখন সে কারিমের থেকে দুইগুণ বড় হবে। ✅
Related MCQ
প্রশ্নঃ ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় কোনটি?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. ৩৬
খ. ১২৯৩
ক. ৩৬
খ. ৪৫
গ. ৪
ক. ৪৫
খ. ১২৯৩
গ. ৩৬
ঘ. ৪
উত্তরঃ ৩৬
ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যা $a$ এবং $b$-এর গুণোত্তর গড় হলো $\sqrt{ab}$.
এখানে, সংখ্যা দুটি হলো $১৮$ এবং $৭২$.
সুতরাং, এদের গুণোত্তর গড় হবে $\sqrt{১৮ \times ৭২}$.
আমরা লিখতে পারি, $১৮ = ২ \times ৯ = ২ \times ৩^২$ এবং $৭২ = ৮ \times ৯ = ২^৩ \times ৩^২$.
তাহলে, $১৮ \times ৭২ = (২ \times ৩^২) \times (২^৩ \times ৩^২) = ২^{১+৩} \times ৩^{২+২} = ২^৪ \times ৩^৪ = (২ \times ৩)^৪ = ৬^৪$.
অতএব, গুণোত্তর গড় = $\sqrt{৬^৪} = (৬^৪)^{১/২} = ৬^{৪ \times (১/২)} = ৬^২ = ৩৬$.
সুতরাং, ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় হলো ৩৬।
সঠিক উত্তর: গঃ ৩৬
এখানে, সংখ্যা দুটি হলো $১৮$ এবং $৭২$.
সুতরাং, এদের গুণোত্তর গড় হবে $\sqrt{১৮ \times ৭২}$.
আমরা লিখতে পারি, $১৮ = ২ \times ৯ = ২ \times ৩^২$ এবং $৭২ = ৮ \times ৯ = ২^৩ \times ৩^২$.
তাহলে, $১৮ \times ৭২ = (২ \times ৩^২) \times (২^৩ \times ৩^২) = ২^{১+৩} \times ৩^{২+২} = ২^৪ \times ৩^৪ = (২ \times ৩)^৪ = ৬^৪$.
অতএব, গুণোত্তর গড় = $\sqrt{৬^৪} = (৬^৪)^{১/২} = ৬^{৪ \times (১/২)} = ৬^২ = ৩৬$.
সুতরাং, ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় হলো ৩৬।
সঠিক উত্তর: গঃ ৩৬
প্রশ্নঃ 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70। এদের মধ্যে 60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 65.5
খ. 62.5
ক. 62.5
খ. 65.5
গ. 60.5
ক. 55.5
খ. 60.5
গ. 65.5
ঘ. 62.5
উত্তরঃ 62.5
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = 70
মোট প্রাপ্ত নম্বর = $100 \times 70 = 7000$
ছাত্রীর সংখ্যা = 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর = 75
ছাত্রীদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $60 \times 75 = 4500$
ছাত্রের সংখ্যা = $100 - 60 = 40$ জন
ছাত্রদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $7000 - 4500 = 2500$
ছাত্রদের গড় নম্বর = $\frac{2500}{40} = 62.5$
সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর 62.5।
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = 70
মোট প্রাপ্ত নম্বর = $100 \times 70 = 7000$
ছাত্রীর সংখ্যা = 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর = 75
ছাত্রীদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $60 \times 75 = 4500$
ছাত্রের সংখ্যা = $100 - 60 = 40$ জন
ছাত্রদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $7000 - 4500 = 2500$
ছাত্রদের গড় নম্বর = $\frac{2500}{40} = 62.5$
সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর 62.5।
ক. ৩২ বছর
খ. ৩০ বছর
ক. ২৫ বছর
খ. ৩০ বছর
গ. ৩২ বছর
ক. ২৫ বছর
খ. ৩০ বছর
গ. ২৮ বছর
ঘ. ৩২ বছর
উত্তরঃ ৩০ বছর
ব্যাখ্যাঃ
তিন সদস্যের মোট বয়স: $২৪ \times ৩ = ৭২$ বছর।
অন্য দুজন সদস্যের সর্বনিম্ন বয়স হতে পারে ২১ বছর করে।
অন্য দুজন সদস্যের বয়সের সমষ্টি: $২১ + ২১ = ৪২$ বছর।
সুতরাং, তৃতীয় সদস্যের সর্বোচ্চ বয়স হবে: $৭২ - ৪২ = ৩০$ বছর।
তিন সদস্যের মোট বয়স: $২৪ \times ৩ = ৭২$ বছর।
অন্য দুজন সদস্যের সর্বনিম্ন বয়স হতে পারে ২১ বছর করে।
অন্য দুজন সদস্যের বয়সের সমষ্টি: $২১ + ২১ = ৪২$ বছর।
সুতরাং, তৃতীয় সদস্যের সর্বোচ্চ বয়স হবে: $৭২ - ৪২ = ৩০$ বছর।
প্রশ্নঃ $$m$$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $$x$$ এবং $$n$$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $$ y$$ হলে সব সংখ্যার গড় কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. $$\frac{x+y}{m+n}$$
খ. $$\frac{mx+ny}{m+n}$$
ক. $$\frac{mx+ny}{m+n}$$
খ. $$\frac{x+y}{mn}$$
গ. $$\frac{mx+ny}{mn}$$
ক. $$\frac{x+y}{mn}$$
খ. $$\frac{x+y}{m+n}$$
গ. $$\frac{mx+ny}{m+n}$$
ঘ. $$\frac{mx+ny}{mn}$$
উত্তরঃ $$\frac{mx+ny}{m+n}$$
ব্যাখ্যাঃ
$m$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= m \times x = mx$
$n$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= n \times y = ny$
সব সংখ্যার মোট যোগফল $= (mx + ny)$
মোট সংখ্যা $= (m + n)$
সুতরাং, সব সংখ্যার গড়
$= \frac{সব সংখ্যার মোট যোগফল}{মোট সংখ্যা}$
$= \frac{mx + ny}{m+n}$
$m$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= m \times x = mx$
$n$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= n \times y = ny$
সব সংখ্যার মোট যোগফল $= (mx + ny)$
মোট সংখ্যা $= (m + n)$
সুতরাং, সব সংখ্যার গড়
$= \frac{সব সংখ্যার মোট যোগফল}{মোট সংখ্যা}$
$= \frac{mx + ny}{m+n}$
প্রশ্নঃ পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত?
[ বিসিএস ২৭তম ]
ক. ৩৮ বছর
খ. ৪১ বছর
ক. ৪১ বছর
খ. ৩৮ বছর
গ. ৪৮ বছর
ক. ৩৮ বছর
খ. ৪১ বছর
গ. ৪৫ বছর
ঘ. ৪৮ বছর
উত্তরঃ ৪১ বছর
ব্যাখ্যাঃ
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৩৭ বছর × ৩ = ১১১ বছর
আবার, পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৫ বছর × ২ = ৭০ বছর
এখন, মাতার বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: মাতার বয়স = ১১১ বছর - ৭০ বছর = ৪১ বছর
অতএব, মাতার বয়স ৪১ বছর।
প্রশ্নঃ পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স-
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ১৮ বছর
খ. ১৪ বছর
ক. ৯ বছর
খ. ১৫ বছর
গ. ১৮ বছর
ক. ৯ বছর
খ. ১৪ বছর
গ. ১৫ বছর
ঘ. ১৮ বছর
উত্তরঃ ১৮ বছর
ব্যাখ্যাঃ
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৪৫ বছর × ২ = ৯০ বছর আবার, পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৬ বছর × ৩ = ১০৮ বছর এখন, পুত্রের বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও মাতার মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: পুত্রের বয়স = ১০৮ বছর - ৯০ বছর = ১৮ বছর অতএব, পুত্রের বয়স ১৮ বছর।
ক. $$\frac{A+B}{2}$$
খ. $$\frac{AM+BN}{M+N}$$
ক. $$\frac{AM+BN}{M+N}$$
খ. $$\frac{A+B}{2}$$
গ. $$\frac{AM+BN}{A+B}$$
ক. $$\frac{A+B}{2}$$
খ. $$\frac{AM+BN}{2}$$
গ. $$\frac{AM+BN}{M+N}$$
ঘ. $$\frac{AM+BN}{A+B}$$
উত্তরঃ $$\frac{AM+BN}{M+N}$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে পারি। ধরি, প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো \( M \), যার গড় \( A \) এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো \( N \), যার গড় \( B \)। প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ MA \] দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ NB \] তাহলে সবগুলো সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ MA + NB \] এখন সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে মোট সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সাথে ভাগ করি: \[ \text{সবগুলো সংখ্যার গড়} = \frac{MA + NB}{M + N} \]
প্রশ্নঃ এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়। তার স্ত্রী বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১২ বছর হলে বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স কত?
[ বিসিএস ২২তম ]
ক. ২৮ বছর
খ. ৩৩ বছর
ক. ৬৫ বছর
খ. ৩৩ বছর
গ. ২৮ বছর
ক. ৬৫ বছর
খ. ২৮ বছর
গ. ৩৩ বছর
ঘ. ৫৩ বছর
উত্তরঃ ৩৩ বছর
ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স \( x \) বছর। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স হবে \( x + 5 = 12 \) বছর। \[ x = 12 - 5 \] \[ x = 7 \text{ বছর} \] তাহলে, ছেলের বর্তমান বয়স ৭ বছর। তার স্ত্রী বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ, সুতরাং স্ত্রীর বর্তমান বয়স: \[ 4 \times 7 = 28 \text{ বছর} \] যেহেতু ঐ ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়, সুতরাং তার বর্তমান বয়স: \[ 28 + 5 = 33 \text{ বছর} \] তাহলে, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স ৩৩ বছর।
প্রশ্নঃ পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
[ বিসিএস ২০তম ]
ক. ৩৬ এবং ৯ বছর
খ. ৩২ এবং ৭ বছর
ক. ৫৬ এবং ১৪ বছর
খ. ৩২ এবং ৭ বছর
গ. ৩৬ এবং ৯ বছর
ক. ৫৬ এবং ১৪ বছর
খ. ৩২ এবং ৭ বছর
গ. ৩৬ এবং ৯ বছর
ঘ. ৪০ এবং ১০ বছর
উত্তরঃ ৩৬ এবং ৯ বছর
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স \(x\) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x\) বছর।
৬ বছর পূর্বে, পুত্রের বয়স \(x - 6\) বছর এবং পিতার বয়স \(4x - 6\) বছর ছিল।
প্রশ্ন থেকে আমরা পাই: ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। অতএব, \[4x - 6 = 10(x - 6)\] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4x - 6 = 10x - 60 \] \[ 4x - 10x = -60 + 6 \] \[ -6x = -54 \] \[ x = 9 \] অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x = 4 \times 9 = 36\) বছর।
অর্থাৎ, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর।
৬ বছর পূর্বে, পুত্রের বয়স \(x - 6\) বছর এবং পিতার বয়স \(4x - 6\) বছর ছিল।
প্রশ্ন থেকে আমরা পাই: ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। অতএব, \[4x - 6 = 10(x - 6)\] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4x - 6 = 10x - 60 \] \[ 4x - 10x = -60 + 6 \] \[ -6x = -54 \] \[ x = 9 \] অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x = 4 \times 9 = 36\) বছর।
অর্থাৎ, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর।
প্রশ্নঃ $$x ~ও~ y$$ -এর মানের গড় $$৯$$ এবং $$z = ১২$$ হলে, $$x, y$$ এবং $$x$$ এর মানের গড় কত হবে?
[ বিসিএস ২০তম ]
ক. ৯
খ. ১০
ক. ৬
খ. ১০
গ. ১২
ক. ৬
খ. ৯
গ. ১০
ঘ. ১২
উত্তরঃ ১০
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুযায়ী:
\(x\) এবং \(y\) এর মানের গড় \(৯\)।
\(z = ১২\)।
গড় বের করার সূত্র: \[ \text{গড়} = \frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{উপাদানের সংখ্যা}} \] প্রথমে, \(x\) এবং \(y\) এর মোট যোগফল বের করি: \[ \frac{x+y}{2} = 9 \] \[ x+y = 9 \times 2 = 18 \] এখন, \(x\), \(y\) এবং \(z\) এর মানের গড় বের করি: \[ \text{গড়} = \frac{x + y + z}{3} \] \[ = \frac{18 + 12}{3} \] \[ = \frac{30}{3} \] \[ = 10 \] তাহলে, \(x\), \(y\) এবং \(z\) এর মানের গড় হবে ১০।
\(x\) এবং \(y\) এর মানের গড় \(৯\)।
\(z = ১২\)।
গড় বের করার সূত্র: \[ \text{গড়} = \frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{উপাদানের সংখ্যা}} \] প্রথমে, \(x\) এবং \(y\) এর মোট যোগফল বের করি: \[ \frac{x+y}{2} = 9 \] \[ x+y = 9 \times 2 = 18 \] এখন, \(x\), \(y\) এবং \(z\) এর মানের গড় বের করি: \[ \text{গড়} = \frac{x + y + z}{3} \] \[ = \frac{18 + 12}{3} \] \[ = \frac{30}{3} \] \[ = 10 \] তাহলে, \(x\), \(y\) এবং \(z\) এর মানের গড় হবে ১০।
ক. ১০
খ. ৮
ক. ৫
খ. ৮
গ. ৬
ক. ৫
খ. ৮
গ. ৬
ঘ. ১০
উত্তরঃ ৮
ব্যাখ্যাঃ ধরি সেই সংখ্যাটি \( x \)।
৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড়: \[ \frac{৬ + ৮ + ১০}{৩} = \frac{২৪}{৩} = ৮ \] এখন, \(৭, ৯\) এবং \( x \) এর গাণিতিক গড় বের করি: \[ \frac{৭ + ৯ + x}{৩} = ৮ \] অতএব, \[ ৭ + ৯ + x = ২৪ \] \[ ১৬ + x = ২৪ \] \[ x = ২৪ - ১৬ \] \[ x = ৮ \] অতএব, \( x \) এর মান ৮।
৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড়: \[ \frac{৬ + ৮ + ১০}{৩} = \frac{২৪}{৩} = ৮ \] এখন, \(৭, ৯\) এবং \( x \) এর গাণিতিক গড় বের করি: \[ \frac{৭ + ৯ + x}{৩} = ৮ \] অতএব, \[ ৭ + ৯ + x = ২৪ \] \[ ১৬ + x = ২৪ \] \[ x = ২৪ - ১৬ \] \[ x = ৮ \] অতএব, \( x \) এর মান ৮।
প্রশ্নঃ পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ১ হলে, পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ৯
খ. ৬
ক. ৬
খ. ৫
গ. ৯
ক. ৯
খ. ৫
গ. ৬
ঘ. ৮
উত্তরঃ ৬
ব্যাখ্যাঃ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হলো:
ধাপ ১: বর্তমান বয়সের যোগফল নির্ণয়
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। তাই তাদের বয়সের যোগফল: \[ \text{যোগফল} = ৩০ \times ২ = ৬০ \text{ বছর} \] ধাপ ২: ৬ বছর পরের বয়সের অনুপাত
৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৫ : ১। ধরি, ৬ বছর পর পুত্রের বয়স \(x\) বছর। তাহলে পিতার বয়স হবে \(5x\) বছর।
ধাপ ৩: বর্তমান বয়সের সমীকরণ ৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের যোগফল: \[ 5x + x = ৬০ + ১২ = ৭২ \text{ বছর} \] \[ 6x = ৭২ \Rightarrow x = ১২ \text{ বছর} \] ধাপ ৪: পুত্রের বর্তমান বয়স
পুত্রের বর্তমান বয়স: \[ ১২ - ৬ = ৬ \text{ বছর} \] উত্তর: পুত্রের বর্তমান বয়স হলো: \[ \boxed{৬ \text{ বছর}} \]
ধাপ ১: বর্তমান বয়সের যোগফল নির্ণয়
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। তাই তাদের বয়সের যোগফল: \[ \text{যোগফল} = ৩০ \times ২ = ৬০ \text{ বছর} \] ধাপ ২: ৬ বছর পরের বয়সের অনুপাত
৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৫ : ১। ধরি, ৬ বছর পর পুত্রের বয়স \(x\) বছর। তাহলে পিতার বয়স হবে \(5x\) বছর।
ধাপ ৩: বর্তমান বয়সের সমীকরণ ৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের যোগফল: \[ 5x + x = ৬০ + ১২ = ৭২ \text{ বছর} \] \[ 6x = ৭২ \Rightarrow x = ১২ \text{ বছর} \] ধাপ ৪: পুত্রের বর্তমান বয়স
পুত্রের বর্তমান বয়স: \[ ১২ - ৬ = ৬ \text{ বছর} \] উত্তর: পুত্রের বর্তমান বয়স হলো: \[ \boxed{৬ \text{ বছর}} \]
প্রশ্নঃ ৩ ভাইয়ের বয়সের গড় ১৬ বছর । তাদের বাবসহ তাদের বয়সের গড় ২৫ বছর । তাদের বাবার বয়স কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]
ক. ৫২
খ. ৪৫
ক. ৫২
খ. ৪৫
গ. ৪২
ক. ৪২
খ. ৫২
গ. ৪১
ঘ. ৪৫
উত্তরঃ ৫২
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে তিন ভাইয়ের মোট বয়স:
গড় বয়স = ১৬ বছর, ভাইয়ের সংখ্যা = ৩
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: \[ 3 \times 16 = 48 \text{ বছর} \] বাবা সহ চারজনের মোট বয়স:
গড় বয়স = ২৫ বছর, মোট ব্যক্তি = ৪
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: \[ 4 \times 25 = 100 \text{ বছর} \] বাবার বয়স: \[ 100 - 48 = 52 \text{ বছর} \] সুতরাং, বাবার বয়স ৫২ বছর।
গড় বয়স = ১৬ বছর, ভাইয়ের সংখ্যা = ৩
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: \[ 3 \times 16 = 48 \text{ বছর} \] বাবা সহ চারজনের মোট বয়স:
গড় বয়স = ২৫ বছর, মোট ব্যক্তি = ৪
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: \[ 4 \times 25 = 100 \text{ বছর} \] বাবার বয়স: \[ 100 - 48 = 52 \text{ বছর} \] সুতরাং, বাবার বয়স ৫২ বছর।
প্রশ্নঃ পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ। ৫ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
ক. ৩৬, ১২
খ. ৪৫, ১৫
ক. ৪৫, ১৫
খ. ৪৮, ১৬
গ. ২৪, ৮
ক. ৪৫, ১৫
খ. ৩৬, ১২
গ. ৪৮, ১৬
ঘ. ২৪, ৮
উত্তরঃ ৪৫, ১৫
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স \( x \) বছর।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স \( 3x \) বছর।
৫ বছর আগে:
⇒ পুত্রের বয়স ছিল \( x - 5 \) বছর।
⇒ পিতার বয়স ছিল \( 3x - 5 \) বছর।
প্রশ্ন অনুযায়ী, ৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, অর্থাৎ: \[ 3x - 5 = 4(x - 5) \] \[ 3x - 5 = 4x - 20 \] \[ 3x - 4x = -20 + 5 \] \[ - x = -15 \] \[ x = 15 \] সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স \( 15 \) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \( 3 \times 15 = 45 \) বছর।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স \( 3x \) বছর।
৫ বছর আগে:
⇒ পুত্রের বয়স ছিল \( x - 5 \) বছর।
⇒ পিতার বয়স ছিল \( 3x - 5 \) বছর।
প্রশ্ন অনুযায়ী, ৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, অর্থাৎ: \[ 3x - 5 = 4(x - 5) \] \[ 3x - 5 = 4x - 20 \] \[ 3x - 4x = -20 + 5 \] \[ - x = -15 \] \[ x = 15 \] সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স \( 15 \) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \( 3 \times 15 = 45 \) বছর।
প্রশ্নঃ কোন শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। ৪ জন নতুন ছাত্র ভর্তি হওয়াতে বয়সের গড় ৪ মাস কমে গেল। নতুন ৪ জন ছাত্রের বয়সের গড় কত বছর?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ৮
খ. ১০
ক. ১০
খ. ৯
গ. ৮
ক. ১১
খ. ৮
গ. ৯
ঘ. ১০
উত্তরঃ ১০
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, শ্রেণীর ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স নির্ণয় করি: \[ \text{মোট বয়স} = \text{গড়} \times \text{সংখ্যা} = 12 \times 20 = 240 \text{ বছর} \] ৪ জন নতুন ছাত্র ভর্তি হওয়ার পর, মোট ছাত্র হলো \( 20 + 4 = 24 \)।
নতুন গড় বয়স হলো ৪ মাস কম, অর্থাৎ: \[ 12 - \frac{4}{12} = 11.6667 \approx 11\frac{2}{3} \text{ বছর} \] এখন, নতুন মোট বয়স: \[ \text{নতুন মোট বয়স} = 24 \times 11\frac{2}{3} = 280 \text{ বছর} \] তাহলে, নতুন ছাত্রদের মোট বয়স: \[ 280 - 240 = 40 \text{ বছর} \] এখন, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স: \[ \frac{40}{4} = 10 \text{ বছর} \] সুতরাং, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স ১০ বছর।
নতুন গড় বয়স হলো ৪ মাস কম, অর্থাৎ: \[ 12 - \frac{4}{12} = 11.6667 \approx 11\frac{2}{3} \text{ বছর} \] এখন, নতুন মোট বয়স: \[ \text{নতুন মোট বয়স} = 24 \times 11\frac{2}{3} = 280 \text{ বছর} \] তাহলে, নতুন ছাত্রদের মোট বয়স: \[ 280 - 240 = 40 \text{ বছর} \] এখন, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স: \[ \frac{40}{4} = 10 \text{ বছর} \] সুতরাং, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স ১০ বছর।
প্রশ্নঃ ৬,৮ ও ১০ এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ ও x এর গাণিতিক গড়ের সমান হলে x এর মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. ৭
খ. ৮
ক. ৬
খ. ৭
গ. ৮
ক. ৬
খ. ৫
গ. ৭
ঘ. ৮
উত্তরঃ ৮
ব্যাখ্যাঃ গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সূত্র: \[ \text{গড়} = \frac{\text{সংখ্যাগুলোর যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}} \] প্রথমে, ৬, ৮ ও ১০ এর গড়: \[ \frac{6 + 8 + 10}{3} = \frac{24}{3} = 8 \] এখন, ৭, ৯ ও \( x \) এর গড়ও ৮ হবে: \[ \frac{7 + 9 + x}{3} = 8 \] \[ 7 + 9 + x = 8 \times 3 \] \[ 16 + x = 24 \] \[ x = 24 - 16 = 8 \] সুতরাং, \( x \) এর মান ৮।
প্রশ্নঃ পিতার বয়স পুত্রের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশী। পিতার বয়স ৬২ বছর হলে পুত্রের বয়স কত বছর?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ৪০
খ. ৩০
ক. ২৫
খ. ৩৫
গ. ৩০
ক. ৩০
খ. ২৫
গ. ৪০
ঘ. ৩৫
উত্তরঃ ৩০
ব্যাখ্যাঃ মনে করি, পুত্রের বয়স $x$ বছর।
প্রশ্নানুযায়ী, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি।
সুতরাং, পিতার বয়স $= 2x + 2$ বছর।
দেওয়া আছে, পিতার বয়স ৬২ বছর।
তাহলে, $2x + 2 = 62$
$2x = 62 - 2$
$2x = 60$
$x = \frac{60}{2}$
$x = 30$
অতএব, পুত্রের বয়স ৩০ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ৩০ বছর।
প্রশ্নানুযায়ী, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি।
সুতরাং, পিতার বয়স $= 2x + 2$ বছর।
দেওয়া আছে, পিতার বয়স ৬২ বছর।
তাহলে, $2x + 2 = 62$
$2x = 62 - 2$
$2x = 60$
$x = \frac{60}{2}$
$x = 30$
অতএব, পুত্রের বয়স ৩০ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ৩০ বছর।
প্রশ্নঃ 10 টি সংখ্যার যোগফল 380। এদের প্রথম 4 টির গড় 40 এবং শেষ 5 টির গড় 30 হলে; ৫ম সংখ্যাটি কত?
[ 18th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (15-03-2024) ]
ক. 60
খ. 70
ক. 60
খ. 70
গ. 80
ক. 50
খ. 60
গ. 70
ঘ. 80
উত্তরঃ 70
ব্যাখ্যাঃ ১০ টি সংখ্যার যোগফল ৩৮০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় ৪০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার মোট যোগফল = $4 \times 40 = 160$
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ৩০।
শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $5 \times 30 = 150$
প্রথম ৪টি সংখ্যা এবং শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $160 + 150 = 310$
মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল থেকে প্রথম ৪টি এবং শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল বাদ দিলে ৫ম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
৫ম সংখ্যাটি = মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল - (প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল + শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল)
৫ম সংখ্যাটি = $380 - 310 = 70$
সুতরাং, ৫ম সংখ্যাটি হলো ৭০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় ৪০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার মোট যোগফল = $4 \times 40 = 160$
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ৩০।
শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $5 \times 30 = 150$
প্রথম ৪টি সংখ্যা এবং শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $160 + 150 = 310$
মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল থেকে প্রথম ৪টি এবং শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল বাদ দিলে ৫ম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
৫ম সংখ্যাটি = মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল - (প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল + শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল)
৫ম সংখ্যাটি = $380 - 310 = 70$
সুতরাং, ৫ম সংখ্যাটি হলো ৭০।
প্রশ্নঃ পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। 5 বছর পূর্বে পিতার বয়স, পুত্রের বয়সের চারগুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
[ 18th ntrca (স্কুল সমপর্যায়-২) (15-03-2024) ]
ক. 45 ও 15
খ. 54 ও 18
ক. 45 ও 15
খ. 42 ও 14
গ. 39 ও 13
ক. 54 ও 18
খ. 42 ও 14
গ. 45 ও 15
ঘ. 39 ও 13
উত্তরঃ 45 ও 15
ব্যাখ্যাঃ পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3x$ বছর।
5 বছর পূর্বে,
পুত্রের বয়স ছিল $x-5$ বছর।
পিতার বয়স ছিল $3x-5$ বছর।
প্রশ্নানুসারে,
$3x-5 = 4(x-5)$
$3x-5 = 4x-20$
$4x-3x = 20-5$
$x = 15$
অতএব,
পুত্রের বর্তমান বয়স 15 বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3 \times 15 = 45$ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3x$ বছর।
5 বছর পূর্বে,
পুত্রের বয়স ছিল $x-5$ বছর।
পিতার বয়স ছিল $3x-5$ বছর।
প্রশ্নানুসারে,
$3x-5 = 4(x-5)$
$3x-5 = 4x-20$
$4x-3x = 20-5$
$x = 15$
অতএব,
পুত্রের বর্তমান বয়স 15 বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3 \times 15 = 45$ বছর।
প্রশ্নঃ লাবিব, রামিম ও জিদানের বয়সের গড় অপেক্ষা লাবিব, তামিম ও শাফিনের বয়সের গড় ৫ বছর কম। শাফিনের বয়স ২০ বছর হলে জিদানের বয়স কত?
[ 18th ntrca (স্কুল পর্যায়) (15-03-2024) ]
ক. ২৫ বছর
খ. ৩৫ বছর
ক. ২০ বছর
খ. ৩৫ বছর
গ. ২৫ বছর
ক. ২০ বছর
খ. ২৫ বছর
গ. ৩০ বছর
ঘ. ৩৫ বছর
উত্তরঃ ৩৫ বছর
ব্যাখ্যাঃ
লাবিব+রামিম+জিদান = ৩x ……..১
লাবিব + রামিম + শাফিন = ৩(x - 5) …….২
বিয়োগ করে (১-২),
জিদান- শাফিন = ৩x - ৩x + ১৫
বা, জিদান -২০ = ১৫
বা, জিদান = ৩৫
সুতরাং, জিদানের বয়স ৩৫ বছর।