ব্যাখ্যাঃ ধরি, ডকের উচ্চতা $h$ ফুট।

যখন নৌকাটি ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা, ডক এবং পানির স্তর একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।

⇒ সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি হলো ডক থেকে নৌকার দূরত্ব, যা ১২ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব হলো ডকের উচ্চতা, যা $h$ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হলো দড়ির দৈর্ঘ্য।

প্রশ্নানুসারে, এই অবস্থায় দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা। সুতরাং, দড়ির দৈর্ঘ্য হবে $(2h + 3)$ ফুট।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
$$(\text{ভূমি})^2 + (\text{লম্ব})^2 = (\text{অতিভুজ})^2$$

এখানে ভূমি = ১২ ফুট, লম্ব = $h$ ফুট এবং অতিভুজ = $(2h + 3)$ ফুট।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$12^2 + h^2 = (2h + 3)^2$$$$144 + h^2 = (2h)^2 + 2 \cdot (2h) \cdot 3 + 3^2$$$$144 + h^2 = 4h^2 + 12h + 9$$

$$0 = 4h^2 - h^2 + 12h + 9 - 144$$
$$0 = 3h^2 + 12h - 135$$

$$0 = h^2 + 4h - 45$$

$$h^2 + 9h - 5h - 45 = 0$$$$h(h + 9) - 5(h + 9) = 0$$$$(h + 9)(h - 5) = 0$$

সুতরাং, $h + 9 = 0$ অথবা $h - 5 = 0$.

যদি $h + 9 = 0$, তাহলে $h = -9$. যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

যদি $h - 5 = 0$, তাহলে $h = 5$.

সুতরাং, ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।

উত্তর: ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা নৌকা ও স্রোতের বেগ ব্যবহার করব।

ধাপ ১: নৌকা ও স্রোতের বেগ
- নৌকার বেগ (স্থির জলে) = ১০ কিমি/ঘণ্টা
- স্রোতের বেগ = ৫ কিমি/ঘণ্টা
ধাপ ২: স্রোতের দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: \[ ১০ + ৫ = ১৫ \text{ কিমি/ঘণ্টা} \] ধাপ ৩: স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: \[ ১০ - ৫ = ৫ \text{ কিমি/ঘণ্টা} \] ধাপ ৪: সময় গণনা
দূরত্ব = ৪৫ কিমি

স্রোতের দিকে যেতে সময় লাগে: \[ \frac{৪৫}{১৫} = ৩ \text{ ঘণ্টা} \] স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসতে সময় লাগে: \[ \frac{৪৫}{৫} = ৯ \text{ ঘণ্টা} \] ধাপ ৫: মোট সময়
মোট সময় = স্রোতের দিকে যাওয়ার সময় + স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসার সময় \[ ৩ + ৯ = ১২ \text{ ঘণ্টা} \] ফলাফল নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে ১২ ঘণ্টা সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য নিচের সূত্র ব্যবহার করতে পারি: \[ \text{দূরত্ব} = \text{গতি} \times \text{সময়} \] প্রদত্ত:
- ট্রেনের গতি = \(100 \, \text{কি.মি./ঘণ্টা} = 100 \times 1000 = 100,000 \, \text{মিটার/ঘণ্টা}\)
- সময় = \(30 \, \text{মিনিট} = \frac{30}{60} = 0.5 \, \text{ঘণ্টা}\)

এখন সূত্রে মান বসাই: \[ \text{দূরত্ব} = 100,000 \times 0.5 = 50,000 \, \text{মিটার} \] অথবা: \[ \text{দূরত্ব} = 50 \, \text{কি.মি.} \] উত্তর: ট্রেনটি \(30\) মিনিটে \(50 \, \text{কি.মি.}\) দূরত্ব অতিক্রম করবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, নৌকার প্রকৃত গতি প্রতি ঘন্টায় \(7 \; \text{কি.মি}\) এবং নদীর স্রোতের গতি \(x \; \text{কি.মি/ঘন্টা}\)।
অনুকূলে যাত্রার জন্য মোট গতি হবে \((7 + x)\)।
এখন, সময় = দূরত্ব ÷ গতি প্রয়োগ করে, $$\frac{{33}}{{7 + x}} = 3 \; \text{ঘন্টা (১৮০ মিনিট)।}$$ সুতরাং, $$33 = 3(7 + x)$$ $$33 = 21 + 3x$$ $$3x = 33 - 21 = 12$$ $$x = \frac{12}{3} = 4 \; \text{কি.মি/ঘন্টা।}$$ ফিরে আসার সময়ে (প্রতিস্রোতে) গতি হবে \((7 - x) = (7 - 4) = 3 \; \text{কি.মি/ঘন্টা।}\)
সুতরাং, প্রতিস্রোতে সময় = \(\frac{{33}}{{3}} = 11 \; \text{ঘন্টা।}\)
সুতরাং, ফিরে আসার জন্য নৌকার সময় লাগবে ১১ ঘন্টা।

ব্যাখ্যাঃ ১. ট্রেনের গতিবেগ কিমি/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ডে রূপান্তর: \[ 72 \text{ কিমি/ঘণ্টা} = 72 \times \frac{1000 \text{ মিটার}}{3600 \text{ সেকেন্ড}} = 20 \text{ মিটার/সেকেন্ড} \] ২. মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব: ট্রেনটি সেতু পার হতে সময় নেয় ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড। \[ \text{মোট দূরত্ব} = \text{গতিবেগ} \times \text{সময়} = 20 \text{ মিটার/সেকেন্ড} \times 60 \text{ সেকেন্ড} = 1200 \text{ মিটার} \] ৩. সেতুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য \[ 1200 \text{ মিটার} = 700 \text{ মিটার} + \text{সেতুর দৈর্ঘ্য} \] \[ \text{সেতুর দৈর্ঘ্য} = 1200 - 700 = 500 \text{ মিটার} \] উত্তর: \[ \boxed{500} \]