ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গণনা
১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হবে:
$$\lfloor \frac{1000}{30}\rfloor =33$$

অর্থাৎ ৩০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে ৩৩টি।

ধাপ ২: যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
আমরা বের করবো ৩০ ও ১৬ এর ল.সা.গু (LCM):
$$\text{LCM}(30,16)=240$$
তাহলে ১ থেকে ১০০০ এর মধ্যে ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা:
$$\lfloor \frac{1000}{240}\rfloor =4$$
অর্থাৎ ৪টি সংখ্যা আছে যেগুলো ৩০ ও ১৬ উভয় দিয়েই বিভাজ্য।

ধাপ ৩: শুধু ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয়
$$33-4=\boxed{{\displaystyle 29}}$$

ব্যাখ্যাঃ মনে করি সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো $x$.

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে। এটিকে আমরা গাণিতিকভাবে এভাবে লিখতে পারি:

$x\equiv 1(\mathrm{mod}3)$
$x\equiv 2(\mathrm{mod}4)$
$x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$
$x\equiv 4(\mathrm{mod}6)$

লক্ষ করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক এবং অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য একই:

$3-1=2$
$4-2=2$
$5-3=2$
$6-4=2$

এর মানে হলো, যদি আমরা $x$-এর সাথে ২ যোগ করি, তাহলে সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $x+2$ সংখ্যাটি ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM)।

এখন আমরা ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর LCM বের করি:

৩ = ৩
৪ = $2^2$
৫ = ৫
৬ = $2\times 3$

LCM(৩, ৪, ৫, ৬) = $2^2\times 3\times 5=4\times 3\times 5=60$

সুতরাং, $x+2=60k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা। যেহেতু আমরা ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই আমরা $k=1$ ধরব।

$x+2=60\times 1$
$x+2=60$
$x=60-2$
$x=58$

অতএব, সেই পূর্ণ সংখ্যাটি হলো ৫৮।

ব্যাখ্যাঃ ধরি
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অংক x
" দশক " " y
$\therefore$ সংখ্যাটি $=x+10y$
প্রশ্নমতে
$10x+y=x+10y+54$
$\Rightarrow 10x-x+y-10y=54$
$9x-9y=54$
$\therefore x-y=6$ ...................... (i)
আবার, $x+y=12$ .........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই
$2x=18$
$\therefore x=9$
(i) এ x এর মান বসাই
$9-y=6$ $\therefore y=3$
$\therefore$ সংখ্যাটি $=x+10y=9+10\times 3=39$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলো যোগ করি: $$1.1+0.01+0.0011$$ ধাপে ধাপে যোগ করলে, $$1.1+0.01=1.11$$ $$1.11+0.0011=1.1111$$ সুতরাং, উত্তর: 1.1111 ✅

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো $x-1,x,x+1$। তাহলে তাদের গুণফল দেওয়া আছে, $$(x-1)\times x\times (x+1)=120$$ ### ধাপ ১: সমীকরণ গঠন $$x(x^2-1)=120$$ $$x^3-x=120$$ $$x^3=121$$ ### ধাপ ২: যথাযথ মান বের করা আমরা 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করি: $$(3-1)\times 3\times (3+1)=2\times 3\times 4=24\ne 120$$ $$(4-1)\times 4\times (4+1)=3\times 4\times 5=60\ne 120$$ $$(5-1)\times 5\times (5+1)=4\times 5\times 6=120$$ ### ধাপ ৩: যোগফল বের করা $$4+5+6=15$$ ✅ উত্তর: ১৫

ব্যাখ্যাঃ একটি সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করতে প্রথমে তার মৌলিক গুণনীয়কের মাধ্যেমে বিশ্লেষণ করি।
৭২ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাই: $$72=2^3\times 3^2$$ এখন, মোট ভাজক সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করি: $(a+1)(b+1)$, যেখানে $a$ এবং $b$ হল প্রদত্ত মৌলিক গুণকের মাধ্যেমে নির্দিষ্ট সংখ্যা।
এখানে $2^3$ এর ২ এর ঘাত $৩$, এবং $3^2$ এর ৩ এর ঘাত $২$। তাহলে মোট ভাজক সংখ্যা হবে: $$(3+1)(2+1)=4\times 3=12$$ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি $x$। প্রশ্নানুসারে: $$x-650=820-x$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$x-650=820-x$$ $$x+x=820+650$$ $$2x=1470$$ $$x=\frac{1470}{2}=735$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 735}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা $x$।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: $$3x+2x=90$$ অতএব, $$5x=90$$ $$x=\frac{90}{5}$$ $$x=18$$ অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৮। আপনার কি আরও কিছু জানতে ইচ্ছে আছে?

ব্যাখ্যাঃ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করতে হবে।

### ধাপ ১: প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
১২ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ১২ হলো প্রথম ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।

### ধাপ ২: শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়
৯৬ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৪, এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না। তাই ৯৬ হলো শেষ ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা।
### ধাপ ৩: সমান্তর ধারা ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো গণনা
এখানে সমান্তর ধারার প্রথম পদ ($a$) = ১২, সাধারণ অন্তর ($d$) = ৪, এবং শেষ পদ ($l$) = ৯৬।

সমান্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: $$n=\frac{l-a}{d}+1$$ মান বসিয়ে: $$n=\frac{96-12}{4}+1$$ $$n=\frac{84}{4}+1$$ $$n=21+1$$ $$n=22$$ উত্তর: ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ) মোট ২২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের একটি লঘিষ্ঠ সংখ্যা $x$ বের করতে হবে, যাতে $x+3$ সংখ্যাটি ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

### ধাপ ১: ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) বের করা প্রথমে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর LCM বের করব।

- ২৪ এর মৌলিক উৎপাদক: $2^3\times 3$
- ৩৬ এর মৌলিক উৎপাদক: $2^2\times 3^2$
- ৪৮ এর মৌলিক উৎপাদক: $2^4\times 3$

LCM হলো সর্বোচ্চ ঘাতের মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল: $$\text{LCM}=2^4\times 3^2=16\times 9=144$$ ### ধাপ ২: $x+3=144$
যেহেতু $x+3$ কে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে, তাই: $$x+3=144$$ ### ধাপ ৩: $x$ এর মান বের করা $$x=144-3=141$$ উত্তর: লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো ১৪১।

ব্যাখ্যাঃ

বালকের সংখ্যা + 4 = বালিকার সংখ্যা

=> b + 4 = g

∴ b = g - 4

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

- ১০টি সংখ্যার যোগফল = ৪৬২
- প্রথম ৪টির গড় = ৫২
- শেষের ৫টির গড় = ৩৮

প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল হবে: $$৫২\times ৪=২০৮$$ শেষের ৫টি সংখ্যার যোগফল হবে: $$৩৮\times ৫=১৯০$$ এখন, প্রথম ৪টি সংখ্যা + পঞ্চম সংখ্যা + শেষের ৫টি সংখ্যা = মোট যোগফল $$২০৮+x+১৯০=৪৬২$$ $$x=৪৬২-(২০৮+১৯০)$$ $$x=৪৬২-৩৯৮$$ $$x=৬৪$$ সুতরাং, পঞ্চম সংখ্যাটি ৬৪।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি সংখ্যাটি $x$।

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে যত বড়, অর্থাৎ $x-৫৬০$, তা ৮০০ থেকে তত ছোট, অর্থাৎ $৮০০-x$।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$x-৫৬০=৮০০-x$$
$$x+x=৮০০+৫৬০$$
$$২x=১৩৬০$$
$$x=\frac{১৩৬০}{২}$$
$$x=৬৮০$$

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৬৮০।

ব্যাখ্যাঃ ১. প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ: যদি ২৭, ৪০, এবং ৬৫-কে একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, এবং ৫ ভাগশেষ থাকে, তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলোর থেকে তাদের ভাগশেষ বাদ দিই: $$27-3=24,40-4=36,65-5=60$$ ২. এই সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (GCD) নির্ণয়:
এখন ২৪, ৩৬, এবং ৬০-এর গ.সা.গু বের করতে হবে।

৩. গ.সা.গু বের করা:
২৪-এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,6,8,12,24$
৩৬-এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$
৬০-এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$

এই তিনটি সংখ্যার গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সর্বাধিক সাধারণ গুণনীয়ক হলো $12$।

৪. উত্তর:
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যা হলো $12$।

উত্তর: বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা ২৭, ৪০, ৬৫-কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে, তা হলো $12$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি সংখ্যা হলো $a$ এবং $b$। আমাদের দেওয়া আছে:

১. ল.সা.গু ($LCM$) = ৮৪
২. গ.সা.গু ($GCD$) = ১৪
৩. $a=\frac{2}{3}b$।

ল.সা.গু এবং গ.সা.গু সূত্র: $$LCM\times GCD=a\times b$$ এখানে $a=\frac{2}{3}b$ বসিয়ে পাই: $$84\times 14=\left(\frac{2}{3}b\right)\times b$$ $$1176=\frac{2}{3}{b}^2$$ এখন $b^2$-এর মান নির্ণয় করি: $$b^2=\frac{1176\times 3}{2}=1764$$ $$b=\sqrt{1764}=42$$ তাহলে, $b=42$। এখন $a=\frac{2}{3}b$: $$a=\frac{2}{3}\times 42=28$$ ছোট সংখ্যাটি:
ছোট সংখ্যাটি হলো $28$।


উত্তর: ছোট সংখ্যাটি $28$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য $২৪$, $৩৬$, এবং $৪৮$-এর ল.সা.গু (LCM) বের করব।

ধাপ ১: সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু বের করা
২৪, ৩৬, এবং ৪৮-এর মৌলিক গুণনীয়ক নির্ণয় করি:
- $২৪=2^3\times 3$
- $৩৬=2^2\times 3^2$
- $৪৮=2^4\times 3$

ল.সা.গু হলো প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সর্বাধিক ঘাতের গুণফল: $$LCM=2^4\times 3^2=16\times 9=144$$ ধাপ ২: $৩$ যোগ করলে সংখ্যাটি $২৪$, $৩৬$, এবং $৪৮$ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে
ধরি, লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো $x$। প্রশ্ন অনুসারে: $$x+3=144$$ তাহলে: $$x=144-3=141$$ উত্তর: লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো $141$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, তিনটি পরপর সংখ্যা হলো $x-1$, $x$, এবং $x+1$।

প্রশ্ন অনুসারে: $$(x-1)\cdot x\cdot (x+1)=120$$ এখন গুণফল সরল করি: $$x(x^2-1)=120$$ $$x^3-x=120$$ এখন $x$-এর মান অনুমান করে বের করি। $x=5$ বসিয়ে দেখি: $$5^3-5=125-5=120$$ তাহলে $x=5$।

তিনটি সংখ্যা হলো: $$x-1=4,x=5,x+1=6$$ এখন তাদের যোগফল: $$4+5+6=15$$ উত্তর: তিনটি সংখ্যার যোগফল হলো $15$।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি হলো $x$। প্রশ্ন অনুযায়ী: $$x-৭৪২=৮৩০-x$$ এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: $$x+x=৭৪২+৮৩০$$ $$2x=১৫৭২$$ $$x=\frac{১৫৭২}{২}=৭৮৬$$ অতএব, সংখ্যাটি হলো ৭৮৬।

ব্যাখ্যাঃ

৩, ৫ ও ৬ এর ল, সা, গু = ৩ x ১ x ৫ x ২ = ৩০

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০ + ১ = ৩১

ব্যাখ্যাঃ ধরি, রহিম ইংরেজিতে পেয়েছে $x$ নম্বর।
তাহলে গণিতে তিনি পেয়েছেন $x+১৪$ নম্বর।
এখন, মোট নম্বর দেওয়া আছে $১৮০$।
সুতরাং, সমীকরণ হবে: $$x+(x+১৪)=১৮০$$ $$২x+১৪=১৮০$$ $$২x=১৮০-১৪$$ $$২x=১৬৬$$ $$x=\frac{১৬৬}{২}=৮৩$$ তাহলে, গণিতে রহিম পেয়েছেন: $$x+১৪=৮৩+১৪=৯৭$$ উত্তর: গণিতে রহিম পেয়েছে ৯৭ নম্বর।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক,
ভাজ্য = $x$
ভাজক = $0.5$
ভাগফল = $\frac{x}{0.5}$

প্রশ্ন অনুসারে,
ভাজক = ভাগফল × ১০
অর্থাৎ, $$0.5=\left(\frac{x}{0.5}\right)\times 10$$ এখন, $x$ নির্ণয় করি: $$0.5=\frac{10x}{0.5}$$ দুইপাশে $0.5$ গুণ করলে: $$0.5\times 0.5=10x$$ $$0.25=10x$$ এখন, $x$ বের করি: $$x=\frac{0.25}{10}=0.025$$ সুতরাং, ভাজ্য হবে ০.০২৫।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুসারে, যদি ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে। অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যার থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, সেটি সেই সংখ্যার গুণিতক হবে।

প্রথমে, সংশোধিত সংখ্যাগুলি বের করি: $$27-3=24,40-4=36,65-5=60$$ এখন, ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু (GCD) নির্ণয় করতে হবে, কারণ সেই গসাগু হলো সেই সর্বাধিক সংখ্যা যা দিয়ে তিনটি সংশোধিত সংখ্যা পুরোপুরি বিভাজ্য।

প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি: $$24=2^3\times 3$$ $$36=2^2\times 3^2$$ $$60=2^2\times 3\times 5$$ এখন, সকল সংখ্যায় সাধারণ গুণনীয়ক হলো $2^2\times 3$, যার মান: $$4\times 3=12$$ সুতরাং, ১২

ব্যাখ্যাঃ ধরি, শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা $n$।

প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দিয়েছে, অর্থাৎ প্রত্যেকে $n-1$ টাকা দিয়েছে।

তাহলে মোট চাঁদার হিসাব হবে: $$n\times (n-1)=420$$ $$n^2-n=420$$ $$n^2-n-420=0$$ $$n^2-n-420=0$$ $$(n-21)(n+20)=0$$ এখানে দুটি সম্ভাব্য মান $n=21$ অথবা $n=-20$।
যেহেতু ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ধনাত্মক হবে, তাই $n=21$।

সুতরাং, শ্রেণিতে মোট ২১ জন ছাত্র-ছাত্রী ছিল।