ব্যাখ্যাঃ মনে করি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $a = k$, $b = 2\sqrt{2}k$, এবং $c = 3k$, যেখানে $k$ একটি ধ্রুব সংখ্যা এবং $k > 0$.

ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c = 3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.

কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k)^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2 - 2(k)(2\sqrt{2}k) \cos C$$$$9k^2 = k^2 + 8k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$$$9k^2 = 9k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
$$0 = -4\sqrt{2}k^2 \cos C$$

যেহেতু $k \neq 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C = 0$$

আমরা জানি যে $\cos 90^\circ = 0$.

সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C = 90^\circ$.

অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।

সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $90^\circ$ পাওয়া যায়।