প্রশ্নঃ $y$ অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলো হতে $3y = 4x - 10$ রেখার লম্ব দূরত্ব 4 একক, তাদের স্থানাঙ্ক কত হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
ক. (10, 0), (0, 10/3)
খ. (0, -10), (0, 10/3)
গ. (-10, 0), (10/3, 0)
ঘ. (10, -1), (10/3, -1)
উত্তরঃ (0, -10), (0, 10/3)
Related MCQ
প্রশ্নঃ একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ২ সে মি এবং উচ্চতা ৬ সে মি হলে, উহার তলগুলির মোট ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. ১৬π বর্গ সেমি
খ. ৩২π বর্গ সেমি
গ. ৩৬π বর্গ সেমি
ঘ. ৪৮π বর্গ সেমি
উত্তরঃ ৩২π বর্গ সেমি
ব্যাখ্যাঃ সিলিন্ডারের তলগুলির মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: \[ \text{মোট ক্ষেত্রফল} = 2\pi r^2 + 2\pi rh \]
যেখানে,
- ( r = 2 ) সেমি (ব্যাসার্ধ),
- ( h = 6 ) সেমি (উচ্চতা)।
ক. সমকোণী
খ. সূক্ষ্মকোণী
গ. স্থুলকোণী
ঘ. সমদ্বিবাহু সমকোণী
উত্তরঃ সমকোণী
ব্যাখ্যাঃ
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২° হলে, তৃতীয় কোণটির পরিমাণ হবে:
১৮০° - (২৮° + ৬২°) = ১৮০° - ৯০° = ৯০°
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০°, তাই ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
ক. 8π বর্গসেমি
খ. 6π বর্গসেমি
গ. 4π বর্গসেমি
ঘ. 2$$\sqrt{2}$$ π বর্গসেমি
উত্তরঃ 8π বর্গসেমি
ব্যাখ্যাঃ ৪ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, প্রথমে আমাদের বৃত্তটির ব্যাসার্ধ বের করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(d\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ যেখানে \(a\) হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।
এখানে, \(a = 4\) সেমি। সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য: $$d = 4\sqrt{2} \text{ সেমি}$$ যেহেতু বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান, বৃত্তের ব্যাস \(D = 4\sqrt{2}\) সেমি।
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) হবে ব্যাসের অর্ধেক: $$r = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ সেমি}$$ এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$A = \pi r^2$$ এখানে, \(r = 2\sqrt{2}\) সেমি। সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল: $$A = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi (4 \times 2) = 8\pi \text{ বর্গ সেমি}$$
বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(d\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ যেখানে \(a\) হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।
এখানে, \(a = 4\) সেমি। সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য: $$d = 4\sqrt{2} \text{ সেমি}$$ যেহেতু বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান, বৃত্তের ব্যাস \(D = 4\sqrt{2}\) সেমি।
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) হবে ব্যাসের অর্ধেক: $$r = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ সেমি}$$ এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$A = \pi r^2$$ এখানে, \(r = 2\sqrt{2}\) সেমি। সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল: $$A = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi (4 \times 2) = 8\pi \text{ বর্গ সেমি}$$
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$
খ. x² + y = 1
গ. $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$
ঘ. $$x=\frac{1}{y}$$
উত্তরঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$
ব্যাখ্যাঃ সরলরেখার সমীকরণ হলো সেই সমীকরণ যা লেখচিত্রে একটি সরলরেখা তৈরি করে। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো $$ax + by + c = 0$$, যেখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b উভয়ই শূন্য নয়।
এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:
কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2 = 2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
খঃ $$x^2 + y = 1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y = 1 - x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x = y$$অথবা$$2x - y = 0$$। এটি $$ax + by + c = 0$$আকারের, যেখানে$$a = 2$$, $$b = -1$$এবং$$c = 0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy = 1$$অথবা$$y = \frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।
এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:
কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2 = 2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
খঃ $$x^2 + y = 1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y = 1 - x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x = y$$অথবা$$2x - y = 0$$। এটি $$ax + by + c = 0$$আকারের, যেখানে$$a = 2$$, $$b = -1$$এবং$$c = 0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy = 1$$অথবা$$y = \frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।
প্রশ্নঃ যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. 30°
খ. 45°
গ. 60°
ঘ. 0°
উত্তরঃ 60°
ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে, $1 + \tan^2\theta = 4$.
প্রথম ধাপে, $\tan^2\theta$ এর মান বের করি:
$\tan^2\theta = 4 - 1$
$\tan^2\theta = 3$
দ্বিতীয় ধাপে, $\tan\theta$ এর মান বের করি:
$\tan\theta = \pm\sqrt{3}$
যেহেতু $\theta < 90^\circ$, $\theta$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। প্রথম চতুর্ভাগে $\tan\theta$ এর মান ধনাত্মক হয়। সুতরাং, আমরা কেবল ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করব:
$\tan\theta = \sqrt{3}$
তৃতীয় ধাপে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি যে $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
সুতরাং, $\theta = 60^\circ$.
অতএব, $\theta = 60^\circ$.
প্রথম ধাপে, $\tan^2\theta$ এর মান বের করি:
$\tan^2\theta = 4 - 1$
$\tan^2\theta = 3$
দ্বিতীয় ধাপে, $\tan\theta$ এর মান বের করি:
$\tan\theta = \pm\sqrt{3}$
যেহেতু $\theta < 90^\circ$, $\theta$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। প্রথম চতুর্ভাগে $\tan\theta$ এর মান ধনাত্মক হয়। সুতরাং, আমরা কেবল ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করব:
$\tan\theta = \sqrt{3}$
তৃতীয় ধাপে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি যে $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
সুতরাং, $\theta = 60^\circ$.
অতএব, $\theta = 60^\circ$.
প্রশ্নঃ একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. 4π
খ. 3π
গ. 2π
ঘ. π
উত্তরঃ 2π
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হল:
$$s = r\theta$$
যেখানে $s$ হল বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং $\theta$ হল কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (রেডিয়ানে)।
আমাদের দেওয়া আছে:
কেন্দ্রের কোণ, $\theta = 60^\circ$
বৃত্তের ব্যাস = 12 cm
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{12}{2} = 6$ cm
প্রথমে, কোণটিকে রেডিয়ানে পরিবর্তন করতে হবে:
$$\theta (\text{রেডিয়ান}) = \theta (\text{ডিগ্রী}) \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
$$\theta = 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ রেডিয়ান}$$
এখন, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
$$s = r\theta = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi \text{ cm}$$
সুতরাং, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $2\pi$ cm।
$$s = r\theta$$
যেখানে $s$ হল বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং $\theta$ হল কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (রেডিয়ানে)।
আমাদের দেওয়া আছে:
কেন্দ্রের কোণ, $\theta = 60^\circ$
বৃত্তের ব্যাস = 12 cm
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{12}{2} = 6$ cm
প্রথমে, কোণটিকে রেডিয়ানে পরিবর্তন করতে হবে:
$$\theta (\text{রেডিয়ান}) = \theta (\text{ডিগ্রী}) \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
$$\theta = 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ রেডিয়ান}$$
এখন, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
$$s = r\theta = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi \text{ cm}$$
সুতরাং, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $2\pi$ cm।
প্রশ্নঃ একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $$1:2\sqrt{2}:3$$ হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
[ বিসিএস ৪৫তম ]
ক. 30°
খ. 60°
গ. 80°
ঘ. 90°
উত্তরঃ 90°
ব্যাখ্যাঃ মনে করি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $a = k$, $b = 2\sqrt{2}k$, এবং $c = 3k$, যেখানে $k$ একটি ধ্রুব সংখ্যা এবং $k > 0$.
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c = 3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.
কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k)^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2 - 2(k)(2\sqrt{2}k) \cos C$$$$9k^2 = k^2 + 8k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$$$9k^2 = 9k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
$$0 = -4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
যেহেতু $k \neq 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C = 0$$
আমরা জানি যে $\cos 90^\circ = 0$.
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C = 90^\circ$.
অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।
সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $90^\circ$ পাওয়া যায়।
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c = 3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.
কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k)^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2 - 2(k)(2\sqrt{2}k) \cos C$$$$9k^2 = k^2 + 8k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$$$9k^2 = 9k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
$$0 = -4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
যেহেতু $k \neq 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C = 0$$
আমরা জানি যে $\cos 90^\circ = 0$.
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C = 90^\circ$.
অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।
সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $90^\circ$ পাওয়া যায়।
প্রশ্নঃ ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC। যদি E এবং F AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE =?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. ১৩২°
খ. ১৮০°
গ. ১০৮°
ঘ. ১৬০°
উত্তরঃ ১৩২°
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ত্রিভুজ ABC-এর কোণের মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি। ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ করা যাক।
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত তথ্য:
- ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে AB = AC।
- ∠B = ৪৮°।
- EF || BC, অর্থাৎ EF ও BC সমান্তরাল।
১ম ধাপ: ∠A নির্ণয় করা
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুই সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হয়।
\[
∠B = ∠C = ৪৮°
\]
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০°, তাই—
\[
∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (48° + 48°) = ৮৪°
\]
২য় ধাপ: ∠AFE নির্ণয় করা
EF || BC থাকার কারণে ∠AFE এবং ∠B পরস্পর সমকোণ (Corresponding Angles)।
\[
∠AFE = ∠B = ৪৮°
\]
৩য় ধাপ: ∠A + ∠AFE নির্ণয় করা
\[
∠A + ∠AFE = ৮৪° + ৪৮° = ১৩২°
\]
সঠিক উত্তর: \(132^\circ\)
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত তথ্য:
- ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে AB = AC।
- ∠B = ৪৮°।
- EF || BC, অর্থাৎ EF ও BC সমান্তরাল।
১ম ধাপ: ∠A নির্ণয় করা
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুই সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হয়।
\[
∠B = ∠C = ৪৮°
\]
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০°, তাই—
\[
∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (48° + 48°) = ৮৪°
\]
২য় ধাপ: ∠AFE নির্ণয় করা
EF || BC থাকার কারণে ∠AFE এবং ∠B পরস্পর সমকোণ (Corresponding Angles)।
\[
∠AFE = ∠B = ৪৮°
\]
৩য় ধাপ: ∠A + ∠AFE নির্ণয় করা
\[
∠A + ∠AFE = ৮৪° + ৪৮° = ১৩২°
\]
সঠিক উত্তর: \(132^\circ\)
ক. ৩০
খ. ২০
গ. ১৮
ঘ. ১০
উত্তরঃ ৩০
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা $m$.
আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m}$$.
প্রশ্নানুসারে, প্রতিটি কোণের পরিমাণ $১৬৮^\circ$.
সুতরাং, $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m} = 168^\circ$$
উভয় পক্ষকে $m$ দিয়ে গুণ করে পাই,
$$(m-2) \times 180 = 168m$$
$$180m - 360 = 168m$$
$$180m - 168m = 360$$
$$12m = 360$$
$$m = \frac{360}{12}$$
$$m = 30$$
সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা ৩০টি।
উত্তর: ৩০
আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m}$$.
প্রশ্নানুসারে, প্রতিটি কোণের পরিমাণ $১৬৮^\circ$.
সুতরাং, $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m} = 168^\circ$$
উভয় পক্ষকে $m$ দিয়ে গুণ করে পাই,
$$(m-2) \times 180 = 168m$$
$$180m - 360 = 168m$$
$$180m - 168m = 360$$
$$12m = 360$$
$$m = \frac{360}{12}$$
$$m = 30$$
সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা ৩০টি।
উত্তর: ৩০
প্রশ্নঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. $$\sqrt{২}$$
খ. $$\sqrt{৩}$$
গ. ২
ঘ. ৩
উত্তরঃ $$\sqrt{৩}$$
ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে, তার উচ্চতা $(x)$ হলো $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a = 2$ সে.মি.।
সুতরাং, উচ্চতা $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2$ সে.মি.
$x = \sqrt{3}$ সে.মি.
অতএব, $x$ এর মান $\sqrt{3}$.
$\\~\\$
উত্তর: $\sqrt{3}$ সে.মি.
এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a = 2$ সে.মি.।
সুতরাং, উচ্চতা $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2$ সে.মি.
$x = \sqrt{3}$ সে.মি.
অতএব, $x$ এর মান $\sqrt{3}$.
$\\~\\$
উত্তর: $\sqrt{3}$ সে.মি.
প্রশ্নঃ একটি দেয়ালঘড়িতে যখন ৩টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা যদি পূর্বদিকে থাকে তবে মিনিটের কাঁটা কোন দিকে থাকবে?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
ক. উত্তর
খ. পশ্চিম
গ. দক্ষিণ
ঘ. পূর্ব
উত্তরঃ উত্তর
ব্যাখ্যাঃ
যখন একটি দেয়ালঘড়িতে ৩টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটাটি সরাসরি ৩-এর দিকে মুখ করে থাকে এবং মিনিটের কাঁটাটি সরাসরি ১২-এর দিকে মুখ করে থাকে।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, ঘণ্টার কাঁটা যদি পূর্ব দিকে থাকে। সাধারণত, ঘড়ির উপরের দিক উত্তর, নিচের দিক দক্ষিণ, ডান দিক পূর্ব এবং বাম দিক পশ্চিম দিক নির্দেশ করে।
যেহেতু ঘণ্টার কাঁটা ৩-এর দিকে এবং সেটিকে পূর্ব দিক বলা হচ্ছে, তাহলে ঘড়ির ১২-এর দিকটি হবে পূর্বের ৯০ ডিগ্রি উত্তরে, অর্থাৎ উত্তর দিক।
অতএব, মিনিটের কাঁটাটি ১২-এর দিকে থাকার কারণে সেটি উত্তর দিকে থাকবে।
ক. ৩০°
খ. ৬০°
গ. ৯০°
ঘ. ১২০°
উত্তরঃ ৬০°
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল হয়:
$$
180^\circ
$$
ধরি, কোণটির মান = $x^\circ$
তাহলে এর সম্পূরক কোণ হবে $180^\circ - x^\circ$
প্রশ্ন অনুযায়ী:
> কোণটির মান = সম্পূরক কোণের অর্ধেক
অর্থাৎ:
$$
x = \frac{1}{2}(180 - x)
$$
$$
x = \frac{180 - x}{2}
$$
$$
2x = 180 - x
$$
$$
2x + x = 180
\Rightarrow 3x = 180
\Rightarrow x = \frac{180}{3} = \boxed{60^\circ}
$$
$$
180^\circ
$$
ধরি, কোণটির মান = $x^\circ$
তাহলে এর সম্পূরক কোণ হবে $180^\circ - x^\circ$
প্রশ্ন অনুযায়ী:
> কোণটির মান = সম্পূরক কোণের অর্ধেক
অর্থাৎ:
$$
x = \frac{1}{2}(180 - x)
$$
$$
x = \frac{180 - x}{2}
$$
$$
2x = 180 - x
$$
$$
2x + x = 180
\Rightarrow 3x = 180
\Rightarrow x = \frac{180}{3} = \boxed{60^\circ}
$$
ছবিটি দেখে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও:
প্রশ্নঃ O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
[ বিসিএস ৪৩তম ]
ক. 54°
খ. 72°
গ. 108°
ঘ. 126°
উত্তরঃ 126°
ব্যাখ্যাঃ
দেওয়া আছে কেন্দ্রস্থ কোণ=108° আমরা জানি, পরিধস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অতএব পরিধস্থ কোণ=108/2 =54° অতএব ∠A=54° ∠A+∠C=180° 54+∠C=180° [x=∠C ধরে ] OR,∠C =180-54 =126° অতএব x=126°
ক. ৪
খ. ৮
গ. ১২
ঘ. ১৬
উত্তরঃ ১৬
ব্যাখ্যাঃ মনে করি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাস $d$ এবং নতুন ব্যাস $d'$। প্রশ্নানুসারে, নতুন ব্যাস প্রাথমিক ব্যাসের চারগুণ, অর্থাৎ $d' = 4d$.
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল $A = \pi r^2$, যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। যেহেতু ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ ($d = 2r$), তাই ব্যাসার্ধ $r = \frac{d}{2}$.
প্রাথমিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \frac{d}{2}$, সুতরাং প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi \frac{d^2}{4}$.
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r' = \frac{d'}{2} = \frac{4d}{2} = 2d$, সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল $A' = \pi (2d)^2 = \pi (4d^2) = 16 \pi \frac{d^2}{4} = 16A$.
অতএব, বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল $A = \pi r^2$, যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। যেহেতু ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ ($d = 2r$), তাই ব্যাসার্ধ $r = \frac{d}{2}$.
প্রাথমিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \frac{d}{2}$, সুতরাং প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi \frac{d^2}{4}$.
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r' = \frac{d'}{2} = \frac{4d}{2} = 2d$, সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল $A' = \pi (2d)^2 = \pi (4d^2) = 16 \pi \frac{d^2}{4} = 16A$.
অতএব, বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
প্রশ্নঃ $$ secA + tanA = \frac{5}{2}$$ হলে, $$ secA-tanA = ?$$
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. $$\frac{1}{2}$$
খ. $$\frac{1}{5}$$
গ. $$\frac{2}{5}$$
ঘ. $$\frac{5}{2}$$
উত্তরঃ $$\frac{2}{5}$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$\sec^2 A - \tan^2 A = 1$$
এই সূত্রটিকে আমরা \((a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)\) এর মতো করে লিখতে পারি:
$$(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$$
আমাদের দেওয়া আছে, $$\sec A + \tan A = \frac{5}{2}$$
সুতরাং, $$\frac{5}{2} (\sec A - \tan A) = 1$$
$$\sec A - \tan A = \frac{1}{\frac{5}{2}}$$
$$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$
সুতরাং, $$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$
এই সূত্রটিকে আমরা \((a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)\) এর মতো করে লিখতে পারি:
$$(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$$
আমাদের দেওয়া আছে, $$\sec A + \tan A = \frac{5}{2}$$
সুতরাং, $$\frac{5}{2} (\sec A - \tan A) = 1$$
$$\sec A - \tan A = \frac{1}{\frac{5}{2}}$$
$$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$
সুতরাং, $$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. ১.৫ মিটার
খ. ২.৫ মিটার
গ. ৩ মিটার
ঘ. ৩.৫ মিটার
উত্তরঃ ২.৫ মিটার
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।
সুতরাং, ৮০০০ লিটার = $\frac{৮০০০}{১০০০}$ ঘনমিটার = ৮ ঘনমিটার।
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ দেওয়া আছে ১.২৫ মিটার। মনে করি চৌবাচ্চার গভীরতা $h$ মিটার।
চৌবাচ্চার আয়তনের সূত্র হল: দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
সুতরাং, ২.৫৬ মিটার × ১.২৫ মিটার × $h$ মিটার = ৮ ঘনমিটার
৩.২ × $h$ = ৮
$h = \frac{৮}{৩.২}$
$h = \frac{৮০}{৩২}$
$h = ২.৫$
অতএব, চৌবাচ্চাটির গভীরতা ২.৫ মিটার।
সুতরাং, ৮০০০ লিটার = $\frac{৮০০০}{১০০০}$ ঘনমিটার = ৮ ঘনমিটার।
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ দেওয়া আছে ১.২৫ মিটার। মনে করি চৌবাচ্চার গভীরতা $h$ মিটার।
চৌবাচ্চার আয়তনের সূত্র হল: দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
সুতরাং, ২.৫৬ মিটার × ১.২৫ মিটার × $h$ মিটার = ৮ ঘনমিটার
৩.২ × $h$ = ৮
$h = \frac{৮}{৩.২}$
$h = \frac{৮০}{৩২}$
$h = ২.৫$
অতএব, চৌবাচ্চাটির গভীরতা ২.৫ মিটার।
প্রশ্নঃ এক বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত হবে?
[ বিসিএস ৪২তম ]
ক. $$1:2$$
খ. $$5:2$$
গ. $$2:1$$
ঘ. $$4:1$$
উত্তরঃ $$4:1$$
ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $b$.
প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a$
প্রশ্নানুসারে, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, $a = 4b$
প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{b^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$
বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = $\frac{\text{প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}}{\text{দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}} = \frac{a\sqrt{2}}{b\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$
আমরা জানি, $a = 4b$, সুতরাং $\frac{a}{b} = \frac{4b}{b} = 4$
অতএব, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত হবে $4:1$.
প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a$
প্রশ্নানুসারে, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, $a = 4b$
প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{b^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$
বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = $\frac{\text{প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}}{\text{দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}} = \frac{a\sqrt{2}}{b\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$
আমরা জানি, $a = 4b$, সুতরাং $\frac{a}{b} = \frac{4b}{b} = 4$
অতএব, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত হবে $4:1$.
প্রশ্নঃ △ABC এর ∠A=40° এবং ∠B=80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA=?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. ১১০º
খ. ১০০º
গ. ৯০º
ঘ. ৮০º
উত্তরঃ ১১০º
ব্যাখ্যাঃ ত্রিভুজ ABC এ, আমরা জানি যে তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। সুতরাং,
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$$$40^\circ + 80^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$120^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$$$$\angle C = 60^\circ$$
CD হল ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং,
$$\angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$$
এখন, ত্রিভুজ ADC এ, আমরা জানি যে তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। সুতরাং,
$$\angle CDA + \angle DAC + \angle ACD = 180^\circ$$$$\angle CDA + 40^\circ + 30^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA + 70^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA = 180^\circ - 70^\circ$$$$\angle CDA = 110^\circ$$
সুতরাং, ∠CDA = ১১০°।
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$$$40^\circ + 80^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$120^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$$$$\angle C = 60^\circ$$
CD হল ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং,
$$\angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$$
এখন, ত্রিভুজ ADC এ, আমরা জানি যে তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। সুতরাং,
$$\angle CDA + \angle DAC + \angle ACD = 180^\circ$$$$\angle CDA + 40^\circ + 30^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA + 70^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA = 180^\circ - 70^\circ$$$$\angle CDA = 110^\circ$$
সুতরাং, ∠CDA = ১১০°।
প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. ৫%
খ. ১০%
গ. ২০%
ঘ. ২৫%
উত্তরঃ ৫%
ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য = \( l \) একক এবং প্রস্থ = \( w \) একক।
তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, \( A_1 = l \times w \)।
দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে:
নতুন দৈর্ঘ্য, \( l_{\text{নতুন}} = l + 0.05l = 1.05l \)।
প্রস্থ অপরিবর্তিত থাকায় (\( w \)), নতুন ক্ষেত্রফল, \( A_2 = 1.05l \times w = 1.05(l \times w) = 1.05A_1 \)।
ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি:
\( \Delta A = A_2 - A_1 = 1.05A_1 - A_1 = 0.05A_1 \)।
শতকরা বৃদ্ধি:
\[
\text{শতকরা বৃদ্ধি} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.05A_1}{A_1} \right) \times 100\% = 5\%
\]
উত্তর:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(5\%\) বৃদ্ধি পাবে।
তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, \( A_1 = l \times w \)।
দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে:
নতুন দৈর্ঘ্য, \( l_{\text{নতুন}} = l + 0.05l = 1.05l \)।
প্রস্থ অপরিবর্তিত থাকায় (\( w \)), নতুন ক্ষেত্রফল, \( A_2 = 1.05l \times w = 1.05(l \times w) = 1.05A_1 \)।
ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি:
\( \Delta A = A_2 - A_1 = 1.05A_1 - A_1 = 0.05A_1 \)।
শতকরা বৃদ্ধি:
\[
\text{শতকরা বৃদ্ধি} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.05A_1}{A_1} \right) \times 100\% = 5\%
\]
উত্তর:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(5\%\) বৃদ্ধি পাবে।
প্রশ্নঃ ৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল-
[ বিসিএস ৪১তম ]
ক. $$২১\sqrt{৩}$$ বর্গ সে.মি.
খ. $$২৩\sqrt{২}$$ বর্গ সে.মি.
গ. $$২৫\sqrt{৩}$$ বর্গ সে.মি.
ঘ. $$২৭\sqrt{৩}$$ বর্গ সে.মি.
উত্তরঃ $$২৭\sqrt{৩}$$ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজ যদি কোনো বৃত্তে অঙ্কিত হয় (অর্থাৎ বৃত্তটি ত্রিভুজটির বহিবৃত্ত হয়), তাহলে ত্রিভুজটির প্রতিটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থান করে।
এই অবস্থায়, যদি ত্রিভুজটির বাহু $a$, এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$ হয়, তবে:
$$
a = \sqrt{3} \cdot R
$$
এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে:
$$
\text{Area} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2
$$
এখানে, $R = 6$ সেমি
$$
\text{Area} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 36 = 27\sqrt{3}
$$
এই অবস্থায়, যদি ত্রিভুজটির বাহু $a$, এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$ হয়, তবে:
$$
a = \sqrt{3} \cdot R
$$
এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে:
$$
\text{Area} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2
$$
এখানে, $R = 6$ সেমি
$$
\text{Area} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 36 = 27\sqrt{3}
$$
ছবিটি দেখে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও:
প্রশ্নঃ চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. 90°
খ. 55°
গ. 45°
ঘ. 35°
উত্তরঃ 35°
ব্যাখ্যাঃ
চিত্রে ∆ PQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এ খন, ∆ PQR- এর যেহেতু PQ= PR, তাই ∠PQR=∠PRQ ∴∠PQR=∠PRQ=55° আবার, ∠LRN=∠NRQ=90° ∴∠NRP=90°-∠PRQ =90-55° =35°
প্রশ্নঃ $$cos(\frac{nπ}{2})$$ অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. $$-1$$
খ. $$1$$
গ. $$\frac{1}{2}$$
ঘ. $$0$$
উত্তরঃ $$1$$
ব্যাখ্যাঃ ধারাটির চতুর্থ পদ
$\mathrm{= cos(\frac {4π}{2}) [∵n=4] =cos2π =cos360° [∵π=180]=1}$
$\mathrm{= cos(\frac {4π}{2}) [∵n=4] =cos2π =cos360° [∵π=180]=1}$
ক. ৭.২ সেমি
খ. ৭.৩ সেমি
গ. ৭ সেমি
ঘ. ৭.১ সেমি
উত্তরঃ ৭.২ সেমি
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_1 = 18$ সেমি
প্রথম আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_1 = 10$ সেমি
প্রথম আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_1 = L_1 \times W_1$
$A_1 = 18 \times 10$
$A_1 = 180$ বর্গ সেমি
দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_2 = 25$ সেমি
প্রশ্ন অনুযায়ী, ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
সুতরাং, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_2 = A_1 = 180$ বর্গ সেমি
ধরি, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_2$ সেমি।
আমরা জানি, $A_2 = L_2 \times W_2$
$180 = 25 \times W_2$
$W_2 = \frac{180}{25}$
$W_2 = 7.2$ সেমি
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $7.2$ সেমি হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_1 = 18$ সেমি
প্রথম আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_1 = 10$ সেমি
প্রথম আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_1 = L_1 \times W_1$
$A_1 = 18 \times 10$
$A_1 = 180$ বর্গ সেমি
দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_2 = 25$ সেমি
প্রশ্ন অনুযায়ী, ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
সুতরাং, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_2 = A_1 = 180$ বর্গ সেমি
ধরি, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_2$ সেমি।
আমরা জানি, $A_2 = L_2 \times W_2$
$180 = 25 \times W_2$
$W_2 = \frac{180}{25}$
$W_2 = 7.2$ সেমি
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $7.2$ সেমি হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
প্রশ্নঃ ঘড়িতে ৮ টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি হবে?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
ক. ৯০°
খ. ৯৫°
গ. ১০৫°
ঘ. ১১০°
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ যখন ঘড়িতে ঠিক ৮টা বাজে, তখন মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে।
একটি ঘড়ির ডায়াল ৩৬০ ডিগ্রিকে ১২টি ভাগে বিভক্ত করে।
প্রতিটি ভাগের মান = $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।
মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে আছে।
ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে আছে।
১২ থেকে ৮ পর্যন্ত মোট ঘরের সংখ্যা = $12 - 8 = 4$ ঘর।
অথবা, যদি ১২ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ৮ পর্যন্ত গণনা করি, তাহলে $8$টি ঘর।
যদি ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গণনা করি, তাহলে $12 - 8 = 4$ ঘর।
যেহেতু আমরা মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণটি চাই, তাই $4$ ঘরের দূরত্বটি নেব।
কোণের পরিমাণ = ঘরের সংখ্যা $\times$ প্রতি ঘরের মান
কোণের পরিমাণ = $4 \times 30^\circ$
কোণের পরিমাণ = $120^\circ$
সুতরাং, ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$ হবে।
একটি ঘড়ির ডায়াল ৩৬০ ডিগ্রিকে ১২টি ভাগে বিভক্ত করে।
প্রতিটি ভাগের মান = $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।
মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে আছে।
ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে আছে।
১২ থেকে ৮ পর্যন্ত মোট ঘরের সংখ্যা = $12 - 8 = 4$ ঘর।
অথবা, যদি ১২ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ৮ পর্যন্ত গণনা করি, তাহলে $8$টি ঘর।
যদি ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে গণনা করি, তাহলে $12 - 8 = 4$ ঘর।
যেহেতু আমরা মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম কোণটি চাই, তাই $4$ ঘরের দূরত্বটি নেব।
কোণের পরিমাণ = ঘরের সংখ্যা $\times$ প্রতি ঘরের মান
কোণের পরিমাণ = $4 \times 30^\circ$
কোণের পরিমাণ = $120^\circ$
সুতরাং, ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$ হবে।
প্রশ্নঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. $$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$$
খ. $$\frac{2}{3}a^2$$
গ. $$\frac{2}{\sqrt{3}}a^2$$
ঘ. $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
উত্তরঃ $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো:
ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গ একক।
ক. 60 °
খ. 45 °
গ. 30 °
ঘ. 25 °
উত্তরঃ 30 °
ব্যাখ্যাঃ পূরক কোণ (Complementary Angle): দুটি কোণের যোগফল $90^\circ$ হলে, একটিকে অন্যটির পূরক কোণ বলে।
মনে করি, কোণটির মান $x$ ডিগ্রি।
তাহলে, কোণটির পূরক কোণের মান হবে $(90 - x)$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।
অর্থাৎ, $x = \frac{1}{2} (90 - x)$
এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x = 90 - x$
$2x + x = 90$
$3x = 90$
$x = \frac{90}{3}$
$x = 30$
সুতরাং, কোণটির মান হলো $30^\circ$।
মনে করি, কোণটির মান $x$ ডিগ্রি।
তাহলে, কোণটির পূরক কোণের মান হবে $(90 - x)$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।
অর্থাৎ, $x = \frac{1}{2} (90 - x)$
এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x = 90 - x$
$2x + x = 90$
$3x = 90$
$x = \frac{90}{3}$
$x = 30$
সুতরাং, কোণটির মান হলো $30^\circ$।
প্রশ্নঃ ABC এ ∠B = 90° , যদি AC = 2 AB হয় তবে, ∠C এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
ক. 45°
খ. 22.5°
গ. 30°
ঘ. 60°
উত্তরঃ 30°
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে যে, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\angle B = 90^\circ$।
এবং, $AC = 2 AB$।
আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।
আমরা জানি, $\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\angle C$ এর সাপেক্ষে,
লম্ব = $AB$
অতিভুজ = $AC$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{AB}{AC}$
দেওয়া আছে $AC = 2 AB$।
সুতরাং, $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$
আমরা জানি যে, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$।
অতএব, $\angle C = 30^\circ$।
এবং, $AC = 2 AB$।
আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।
আমরা জানি, $\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\angle C$ এর সাপেক্ষে,
লম্ব = $AB$
অতিভুজ = $AC$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{AB}{AC}$
দেওয়া আছে $AC = 2 AB$।
সুতরাং, $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$
আমরা জানি যে, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$।
অতএব, $\angle C = 30^\circ$।
ক. ১৭ কি. মি.
খ. ১৫ কি. মি.
গ. ১৪ কি. মি.
ঘ. ১৩ কি. মি.
উত্তরঃ ১৩ কি. মি.
ব্যাখ্যাঃ
A অবস্থান থেকে দূরত্ব $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{(১২)^২ + (৫)^২}$
$= \sqrt{১৪৪ + ২৫}$
$= \sqrt{১৬৯}$
$\therefore AC = ১৩$ কি. মি.
A অবস্থান থেকে দূরত্ব $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{(১২)^২ + (৫)^২}$
$= \sqrt{১৪৪ + ২৫}$
$= \sqrt{১৬৯}$
$\therefore AC = ১৩$ কি. মি.
ক. সমবাহু
খ. সমদ্বিবাহু
গ. সমকোণী
ঘ. স্থূলকোণী
উত্তরঃ সমকোণী
ব্যাখ্যাঃ এই বাহুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে তা জানতে, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean theorem) প্রয়োগ করে দেখতে পারি যে এটি সমকোণী ত্রিভুজ কিনা।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজের বর্গ (সবচেয়ে বড় বাহু) অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান হয়।
এখানে বাহুগুলো হলো 17 সে.মি., 15 সে.মি., এবং 8 সে.মি.।
সবচেয়ে বড় বাহুটি হলো 17 সে.মি.।
আমরা পরীক্ষা করি: $8^2 + 15^2$ এবং $17^2$
$8^2 = 64$
$15^2 = 225$
$17^2 = 289$
এখন যোগফল দেখি:
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
যেহেতু $8^2 + 15^2 = 17^2$ (অর্থাৎ $289 = 289$), এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।
অতএব, 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজের বর্গ (সবচেয়ে বড় বাহু) অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান হয়।
এখানে বাহুগুলো হলো 17 সে.মি., 15 সে.মি., এবং 8 সে.মি.।
সবচেয়ে বড় বাহুটি হলো 17 সে.মি.।
আমরা পরীক্ষা করি: $8^2 + 15^2$ এবং $17^2$
$8^2 = 64$
$15^2 = 225$
$17^2 = 289$
এখন যোগফল দেখি:
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
যেহেতু $8^2 + 15^2 = 17^2$ (অর্থাৎ $289 = 289$), এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।
অতএব, 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. $$35\sqrt{5}$$
খ. $$40\sqrt{5}$$
গ. $$45\sqrt{5}$$
ঘ. $$50\sqrt{5}$$
উত্তরঃ $$50\sqrt{5}$$
ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের মধ্যে পিথাগোরাসের সম্পর্ক বিদ্যমান।
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $L$ মিটার এবং প্রস্থ $W$ মিটার।
দেওয়া আছে:
প্রস্থ ($W$) = 10 মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য ($D$) = 15 মিটার
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: $L^2 + W^2 = D^2$
মানগুলো বসিয়ে পাই:
$L^2 + 10^2 = 15^2$
$L^2 + 100 = 225$
$L^2 = 225 - 100$
$L^2 = 125$
$L = \sqrt{125}$
$L = \sqrt{25 \times 5}$
$L = 5\sqrt{5}$ মিটার
এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = $L \times W$
ক্ষেত্রফল = $5\sqrt{5} \times 10$
ক্ষেত্রফল = $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার।
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $L$ মিটার এবং প্রস্থ $W$ মিটার।
দেওয়া আছে:
প্রস্থ ($W$) = 10 মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য ($D$) = 15 মিটার
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: $L^2 + W^2 = D^2$
মানগুলো বসিয়ে পাই:
$L^2 + 10^2 = 15^2$
$L^2 + 100 = 225$
$L^2 = 225 - 100$
$L^2 = 125$
$L = \sqrt{125}$
$L = \sqrt{25 \times 5}$
$L = 5\sqrt{5}$ মিটার
এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = $L \times W$
ক্ষেত্রফল = $5\sqrt{5} \times 10$
ক্ষেত্রফল = $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার।
প্রশ্নঃ 13 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে. মি.?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. 3
খ. 4
গ. 5
ঘ. 6
উত্তরঃ 5
ব্যাখ্যাঃ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করি।
প্রদত্ত তথ্য:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ১৩ সে.মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = ২৪ সে.মি.
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, কেন্দ্র $O$ এবং জ্যা $AB$। $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব।
তাহলে, $AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২$ সে.মি.।
এখন, $OAC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $OA$ হলো অতিভুজ (ব্যাসার্ধ), $AC$ একটি বাহু এবং $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
মানগুলো বসিয়ে পাই:
$১৩^২ = OC^2 + ১২^২$
$১৬৯ = OC^2 + ১৪৪$
$OC^2 = ১৬৯ - ১৪৪$
$OC^2 = ২৫$
$OC = \sqrt{২৫}$
$OC = ৫$ সে.মি.
সুতরাং, কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব হলো ৫ সে.মি.।
প্রদত্ত তথ্য:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ১৩ সে.মি.
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = ২৪ সে.মি.
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, কেন্দ্র $O$ এবং জ্যা $AB$। $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব।
তাহলে, $AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{২৪}{২} = ১২$ সে.মি.।
এখন, $OAC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $OA$ হলো অতিভুজ (ব্যাসার্ধ), $AC$ একটি বাহু এবং $OC$ হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
মানগুলো বসিয়ে পাই:
$১৩^২ = OC^2 + ১২^২$
$১৬৯ = OC^2 + ১৪৪$
$OC^2 = ১৬৯ - ১৪৪$
$OC^2 = ২৫$
$OC = \sqrt{২৫}$
$OC = ৫$ সে.মি.
সুতরাং, কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব হলো ৫ সে.মি.।
ক. ১০%
খ. ২০%
গ. ৩৬%
ঘ. ৪০%
উত্তরঃ ৩৬%
ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ছিল $r$।
তাহলে, প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A_1 = \pi r^2$।
ব্যাসার্ধ ২০% কমে গেলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে:
$r' = r - (r \times \frac{20}{100})$
$r' = r - \frac{20r}{100}$
$r' = r - \frac{r}{5}$
$r' = \frac{5r - r}{5}$
$r' = \frac{4r}{5}$
এখন, নতুন ক্ষেত্রফল $A_2$ নির্ণয় করি:
$A_2 = \pi (r')^2$
$A_2 = \pi \left(\frac{4r}{5}\right)^2$
$A_2 = \pi \left(\frac{16r^2}{25}\right)$
$A_2 = \frac{16}{25} \pi r^2$
ক্ষেত্রফল কমেছে = $A_1 - A_2$
$= \pi r^2 - \frac{16}{25} \pi r^2$
$= \pi r^2 \left(1 - \frac{16}{25}\right)$
$= \pi r^2 \left(\frac{25 - 16}{25}\right)$
$= \pi r^2 \left(\frac{9}{25}\right)$
শতকরা কমার হার = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল কমেছে}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{9}{25} \pi r^2}{\pi r^2} \times 100\%$
$= \frac{9}{25} \times 100\%$
$= 9 \times 4\%$
$= 36\%$
সুতরাং, উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% কমবে।
তাহলে, প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A_1 = \pi r^2$।
ব্যাসার্ধ ২০% কমে গেলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে:
$r' = r - (r \times \frac{20}{100})$
$r' = r - \frac{20r}{100}$
$r' = r - \frac{r}{5}$
$r' = \frac{5r - r}{5}$
$r' = \frac{4r}{5}$
এখন, নতুন ক্ষেত্রফল $A_2$ নির্ণয় করি:
$A_2 = \pi (r')^2$
$A_2 = \pi \left(\frac{4r}{5}\right)^2$
$A_2 = \pi \left(\frac{16r^2}{25}\right)$
$A_2 = \frac{16}{25} \pi r^2$
ক্ষেত্রফল কমেছে = $A_1 - A_2$
$= \pi r^2 - \frac{16}{25} \pi r^2$
$= \pi r^2 \left(1 - \frac{16}{25}\right)$
$= \pi r^2 \left(\frac{25 - 16}{25}\right)$
$= \pi r^2 \left(\frac{9}{25}\right)$
শতকরা কমার হার = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল কমেছে}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{9}{25} \pi r^2}{\pi r^2} \times 100\%$
$= \frac{9}{25} \times 100\%$
$= 9 \times 4\%$
$= 36\%$
সুতরাং, উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% কমবে।
ছবিটি দেখে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও:
ক. 68°
খ. 34°
গ. 45°
ঘ. 39°
উত্তরঃ 34°
ব্যাখ্যাঃ চিত্র অনুসারে,
আমরা জানি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলো সমান হয়। সুতরাং, ∆BOC ত্রিভুজে, OB এবং OC উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই OB = OC।
যেহেতু ∆BOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) এবং OB = OC, তাই এদের বিপরীত কোণগুলোও সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠OBC = ∠OCB।
ধরা যাক, ∠OCB = ∠x। তাহলে, ∠OBC = ∠x।
এখন, ∆BOC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
∠y + ∠x + ∠x = 180°
112° + 2∠x = 180°
এখন ∠x-এর মান নির্ণয় করি:
2∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = $\frac{68°}{2}$
∠x = 34°
সুতরাং, ∠x এর মান হলো 34°।
- O হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
- AC হলো একটি ব্যাস (কারণ O কেন্দ্র AC রেখার উপর অবস্থিত এবং A ও C বৃত্তের পরিধির উপর)।
- ∆ABC হলো বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি ত্রিভুজ।
- ∠y = ∠BOC = 112°।
- ∠x = ∠OCB বা ∠BCA।
আমরা জানি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধগুলো সমান হয়। সুতরাং, ∆BOC ত্রিভুজে, OB এবং OC উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তাই OB = OC।
যেহেতু ∆BOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) এবং OB = OC, তাই এদের বিপরীত কোণগুলোও সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠OBC = ∠OCB।
ধরা যাক, ∠OCB = ∠x। তাহলে, ∠OBC = ∠x।
এখন, ∆BOC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
∠y + ∠x + ∠x = 180°
112° + 2∠x = 180°
এখন ∠x-এর মান নির্ণয় করি:
2∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = $\frac{68°}{2}$
∠x = 34°
সুতরাং, ∠x এর মান হলো 34°।
প্রশ্নঃ একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $$4\sqrt{2}$$ একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. 24
খ. 8
গ. 16
ঘ. 32
উত্তরঃ 16
ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:
ধরি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো = $a\sqrt{2}$ একক।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4\sqrt{2}$ একক।
তাহলে,
$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$a = 4$ একক।
এখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)$^২$ = $a^2$
ক্ষেত্রফল = $(4)^2$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল = $16$ বর্গ একক।
সুতরাং, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো ১৬ বর্গ একক।
ধরি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো = $a\sqrt{2}$ একক।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4\sqrt{2}$ একক।
তাহলে,
$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$a = 4$ একক।
এখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)$^২$ = $a^2$
ক্ষেত্রফল = $(4)^2$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল = $16$ বর্গ একক।
সুতরাং, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো ১৬ বর্গ একক।
প্রশ্নঃ ∆ABC এ ∠A = 40°, ∠B=70°, হলে ∆ABC কি ধরনের ত্রিভুজ?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. সমকোণী
খ. স্থুলকোণী
গ. সমদ্বিবাহু
ঘ. সমবাহু
উত্তরঃ সমদ্বিবাহু
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। এখানে, ∠A = 40° ∠B = 70°
তাহলে, ∠C = 180° - (∠A + ∠B) ∠C = 180° - (40° + 70°) ∠C = 180° - 110° ∠C = 70°
এখন, আমরা ত্রিভুজের তিনটি কোণ পেয়েছি: ∠A = 40° ∠B = 70° ∠C = 70°
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি কোণ সমান (∠B = ∠C = 70°), তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)। (কারণ, যে ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান, তার বিপরীত বাহুগুলোও সমান হয়।)
এছাড়াও, যেহেতু এর কোনো কোণই ৯০° এর বেশি নয়, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজও বটে। তবে কোণের সমান হওয়ার বৈশিষ্ট্যের কারণে এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হিসেবেই পরিচিতি লাভ করে।
প্রশ্নঃ দুটি সমান্তরাল রেখা কটি বিন্দুতে ছেদ করে?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. ৪
খ. ২
গ. ৮
ঘ. ১৬
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ
দুটি সমান্তরাল রেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করে না (০টি বিন্দুতে ছেদ করে)।
সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞাই হলো যে তারা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না বা স্পর্শ করে না।
ক. 4π - 8
খ. 4π + 8
গ. 2π - 4
ঘ. 2π + 4
উত্তরঃ 4π - 8
ব্যাখ্যাঃ এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ২ সে. মি.।
১. বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $ \pi r^2 $।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (২)^২ = ৪\pi$ বর্গ সে.মি.।
২. বৃত্তের অন্তঃস্থ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
যদি একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তের অন্তঃস্থ হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাস (Diameter) হবে বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (Diagonal)।
বৃত্তের ব্যাস ($D$) = $২ \times r = ২ \times ২ = ৪$ সে.মি.।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = ৪ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সে.মি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = $ \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $।
আমরা জানি $d = 4$ সে.মি.।
সুতরাং, $a\sqrt{2} = 4$
$a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $ সে.মি.।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 $ বর্গ সে.মি.।
৩. আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে যা থাকে।
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = বৃত্তের ক্ষেত্রফল - বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $4\pi - 8 $ বর্গ সে.মি.।
সুতরাং, আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো $(4\pi - 8)$ বর্গ সে.মি.।
১. বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $ \pi r^2 $।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (২)^২ = ৪\pi$ বর্গ সে.মি.।
২. বৃত্তের অন্তঃস্থ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
যদি একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তের অন্তঃস্থ হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাস (Diameter) হবে বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (Diagonal)।
বৃত্তের ব্যাস ($D$) = $২ \times r = ২ \times ২ = ৪$ সে.মি.।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = ৪ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সে.মি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = $ \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $।
আমরা জানি $d = 4$ সে.মি.।
সুতরাং, $a\sqrt{2} = 4$
$a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $ সে.মি.।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 $ বর্গ সে.মি.।
৩. আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে যা থাকে।
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = বৃত্তের ক্ষেত্রফল - বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $4\pi - 8 $ বর্গ সে.মি.।
সুতরাং, আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো $(4\pi - 8)$ বর্গ সে.মি.।
ক. ২২৫ বর্গমিটার
খ. ১৪৪ বর্গমিটার
গ. ১৬৯ বর্গমিটার
ঘ. ১৯৬ বর্গমিটার
উত্তরঃ ১৯৬ বর্গমিটার
ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ক মিটার এবং প্রস্থ খ মিটার।
প্রথম শর্তানুযায়ী,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ক × খ = ১৯২ বর্গমিটার ... (১)
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
(ক - ৪) × (খ + ৪) = ১৯২ বর্গমিটার
বা, কখ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
সমীকরণ (১) থেকে কখ এর মান বসিয়ে পাই,
১৯২ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
বা, ৪ক - ৪খ = ১৬
বা, ৪(ক - খ) = ১৬
বা, ক - খ = $\frac{১৬}{৪}$
$\therefore$ ক - খ = ৪
বা, ক = খ + ৪ ... (২)
এখন, সমীকরণ (১) এ ক এর মান বসিয়ে পাই,
(খ + ৪) × খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ - ১৯২ = ০
বা, খ² + ১৬খ - ১২খ - ১৯২ = ০
বা, খ(খ + ১৬) - ১২(খ + ১৬) = ০
বা, (খ + ১৬)(খ - ১২) = ০
যেহেতু প্রস্থের মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই খ = ১২।
প্রস্থ (খ) = ১২ মিটার
সমীকরণ (২) এ খ এর মান বসিয়ে পাই,
দৈর্ঘ্য (ক) = ১২ + ৪ = ১৬ মিটার।
এখন, আয়তাকার কক্ষটির পরিসীমা নির্ণয় করি:
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১৬ + ১২)
= ২ × ২৮
= ৫৬ মিটার।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা আয়তাকার কক্ষের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা = ৫৬ মিটার।
বর্গাকার কক্ষের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{পরিসীমা}{৪} = \frac{৫৬}{৪}$ = ১৪ মিটার।
বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (১৪)²
= ১৪ × ১৪
= ১৯৬ বর্গমিটার।
সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল হবে ১৯৬ বর্গমিটার।
প্রথম শর্তানুযায়ী,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ক × খ = ১৯২ বর্গমিটার ... (১)
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
(ক - ৪) × (খ + ৪) = ১৯২ বর্গমিটার
বা, কখ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
সমীকরণ (১) থেকে কখ এর মান বসিয়ে পাই,
১৯২ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
বা, ৪ক - ৪খ = ১৬
বা, ৪(ক - খ) = ১৬
বা, ক - খ = $\frac{১৬}{৪}$
$\therefore$ ক - খ = ৪
বা, ক = খ + ৪ ... (২)
এখন, সমীকরণ (১) এ ক এর মান বসিয়ে পাই,
(খ + ৪) × খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ - ১৯২ = ০
বা, খ² + ১৬খ - ১২খ - ১৯২ = ০
বা, খ(খ + ১৬) - ১২(খ + ১৬) = ০
বা, (খ + ১৬)(খ - ১২) = ০
যেহেতু প্রস্থের মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই খ = ১২।
প্রস্থ (খ) = ১২ মিটার
সমীকরণ (২) এ খ এর মান বসিয়ে পাই,
দৈর্ঘ্য (ক) = ১২ + ৪ = ১৬ মিটার।
এখন, আয়তাকার কক্ষটির পরিসীমা নির্ণয় করি:
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১৬ + ১২)
= ২ × ২৮
= ৫৬ মিটার।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা আয়তাকার কক্ষের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা = ৫৬ মিটার।
বর্গাকার কক্ষের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{পরিসীমা}{৪} = \frac{৫৬}{৪}$ = ১৪ মিটার।
বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (১৪)²
= ১৪ × ১৪
= ১৯৬ বর্গমিটার।
সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল হবে ১৯৬ বর্গমিটার।
প্রশ্নঃ একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. ৬৬ সেন্টিমিটার
খ. ৪২ সেন্টিমিটার
গ. ২১ সেন্টিমিটার
ঘ. ২২ সেন্টিমিটার
উত্তরঃ ৪২ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যাঃ একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো তার ব্যাস।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r$ এবং ব্যাস $d$।
বৃত্তের পরিধি = $2 \pi r$
প্রশ্নানুযায়ী,
$2 \pi r = ১৩২$
$2 \times \frac{২২}{৭} \times r = ১৩২$
$\frac{৪৪}{৭} \times r = ১৩২$
$r = \frac{১৩২ \times ৭}{৪৪}$
$r = ৩ \times ৭$
$r = ২১$ সেমি।
যেহেতু বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস, তাই
ব্যাস, $d = ২r$
$d = ২ \times ২১$
$d = ৪২$ সেমি।
সুতরাং, বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হলো ৪২ সেন্টিমিটার।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r$ এবং ব্যাস $d$।
বৃত্তের পরিধি = $2 \pi r$
প্রশ্নানুযায়ী,
$2 \pi r = ১৩২$
$2 \times \frac{২২}{৭} \times r = ১৩২$
$\frac{৪৪}{৭} \times r = ১৩২$
$r = \frac{১৩২ \times ৭}{৪৪}$
$r = ৩ \times ৭$
$r = ২১$ সেমি।
যেহেতু বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস, তাই
ব্যাস, $d = ২r$
$d = ২ \times ২১$
$d = ৪২$ সেমি।
সুতরাং, বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হলো ৪২ সেন্টিমিটার।
প্রশ্নঃ একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি -
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. ৪ সমকোণ
খ. ৬ সমকোণ
গ. ৮ সমকোণ
ঘ. ১০ সমকোণ
উত্তরঃ ৬ সমকোণ
ব্যাখ্যাঃ একটি পঞ্চভুজের পাঁচটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $540^\circ$ (পাঁচশো চল্লিশ ডিগ্রি), যা ৬ সমকোণের সমান।
কারণ,
১ সমকোণ = $90^\circ$
$540 \div 90 = ৬$
কারণ,
১ সমকোণ = $90^\circ$
$540 \div 90 = ৬$
ক. ১৫০°
খ. ৬০°
গ. ৯০°
ঘ. ১২০°
উত্তরঃ ১২০°
ব্যাখ্যাঃ
একটি ঘড়ির সম্পূর্ণ বৃত্ত $360^\circ$। ঘড়িতে ১২টি ঘণ্টা থাকায় প্রতিটি ঘণ্টার ঘরের মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$360^\circ \div 12 = 30^\circ$
ঠিক ৮টার সময়, মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে। ১২ এবং ৮-এর মধ্যে ঘরের পার্থক্য হলো:
$১২ - ৮ = ৪$ টি ঘর।
সুতরাং, কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$৪ \times ৩০^\circ = ১২০^\circ$
একটি ঘড়ির সম্পূর্ণ বৃত্ত $360^\circ$। ঘড়িতে ১২টি ঘণ্টা থাকায় প্রতিটি ঘণ্টার ঘরের মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$360^\circ \div 12 = 30^\circ$
ঠিক ৮টার সময়, মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে এবং ঘণ্টার কাঁটা ৮-এর ঘরে থাকে। ১২ এবং ৮-এর মধ্যে ঘরের পার্থক্য হলো:
$১২ - ৮ = ৪$ টি ঘর।
সুতরাং, কাঁটা দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
$৪ \times ৩০^\circ = ১২০^\circ$
প্রশ্নঃ বিষমবাহু ∆ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত ∆ABD এর ক্ষেত্রফল $$x$$ বর্গমিটার। ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ৩৪তম ]
ক. $$x^2$$ বর্গমিটার
খ. 2x বর্গমিটার
গ. $$(\frac{x}{2})^2$$ বর্গমিটার
ঘ. $$(\frac{\sqrt{x}}{3})^3$$ বর্গমিটার
উত্তরঃ 2x বর্গমিটার
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজের মধ্যমা (median) ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে। এখানে, $AD$ হলো $\triangle ABC$-এর একটি মধ্যমা। সুতরাং, $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$ এর ক্ষেত্রফল সমান।
$\text{Area}(\triangle ABD) = \text{Area}(\triangle ACD) = x$ বর্গমিটার
$\triangle ABC$-এর মোট ক্ষেত্রফল = $\text{Area}(\triangle ABD) + \text{Area}(\triangle ACD)$
$= x + x$
$= 2x$ বর্গমিটার।
ত্রিভুজের মধ্যমা (median) ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে। এখানে, $AD$ হলো $\triangle ABC$-এর একটি মধ্যমা। সুতরাং, $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$ এর ক্ষেত্রফল সমান।
$\text{Area}(\triangle ABD) = \text{Area}(\triangle ACD) = x$ বর্গমিটার
$\triangle ABC$-এর মোট ক্ষেত্রফল = $\text{Area}(\triangle ABD) + \text{Area}(\triangle ACD)$
$= x + x$
$= 2x$ বর্গমিটার।
প্রশ্নঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. ১০ সে. মি.
খ. ৮ সে. মি.
গ. ৪ সে. মি.
ঘ. ৬ সে. মি
উত্তরঃ ১০ সে. মি.
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি হলো $x$ সে.মি.।
প্রশ্ন অনুযায়ী,
লম্ব = $(x-২)$ সে.মি.
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
$(লম্ব)^২ + (ভূমি)^২ = (অতিভুজ)^২$
$\implies (x-২)^২ + x^২ = (x+২)^২$
$\implies x^২ - ৪x + ৪ + x^২ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - ৪x + ৪ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - x^২ - ৪x - ৪x + ৪ - ৪ = ০$
$\implies x^২ - ৮x = ০$
$\implies x(x-৮) = ০$
এখানে, $x = ০$ হতে পারে না, কারণ ভূমির দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না।
তাহলে, $x-৮ = ০$
$\implies x = ৮$
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ৮ সে.মি.।
এখন অতিভুজের দৈর্ঘ্য:
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
$= (৮+২)$ সে.মি.
$= ১০$ সে.মি.
প্রশ্ন অনুযায়ী,
লম্ব = $(x-২)$ সে.মি.
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
$(লম্ব)^২ + (ভূমি)^২ = (অতিভুজ)^২$
$\implies (x-২)^২ + x^২ = (x+২)^২$
$\implies x^২ - ৪x + ৪ + x^২ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - ৪x + ৪ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - x^২ - ৪x - ৪x + ৪ - ৪ = ০$
$\implies x^২ - ৮x = ০$
$\implies x(x-৮) = ০$
এখানে, $x = ০$ হতে পারে না, কারণ ভূমির দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না।
তাহলে, $x-৮ = ০$
$\implies x = ৮$
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ৮ সে.মি.।
এখন অতিভুজের দৈর্ঘ্য:
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
$= (৮+২)$ সে.মি.
$= ১০$ সে.মি.
ক. ২৬৪০টি
খ. ১৩২০টি
গ. ৩৬০০টি
ঘ. ৫২৪০টি
উত্তরঃ ২৬৪০টি
ব্যাখ্যাঃ
বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
=(৫৫ সে:মি: x৪৮ সে:মি:x৩০ সে:মি:)/(৫ সে:মি:× ৪সে:মি:× ১.৫ সে:মি:)
=২৬৪০
ক. ৯৮ ব.সে.মি.
খ. ৪৯ ব.সে.মি.
গ. ১৯৬ ব.সে.মি.
ঘ. ১৪৬ ব.সে.মি.
উত্তরঃ ৯৮ ব.সে.মি.
ব্যাখ্যাঃ
যখন একটি বর্গক্ষেত্র কোনো বৃত্তের মধ্যে অঙ্কিত হয়, তখন বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ (diagonal) বৃত্তটির ব্যাসের (diameter) সমান হয়।
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r$ = ৭ সে.মি.
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস, $d = ২ \times r = ২ \times ৭ = ১৪$ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, $d$ = ১৪ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{d^2}{2}$
ক্ষেত্রফল = $\frac{(১৪)^2}{2}$ = $\frac{১৯৬}{2}$ = ৯৮ বর্গ সে.মি.
যখন একটি বর্গক্ষেত্র কোনো বৃত্তের মধ্যে অঙ্কিত হয়, তখন বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ (diagonal) বৃত্তটির ব্যাসের (diameter) সমান হয়।
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r$ = ৭ সে.মি.
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস, $d = ২ \times r = ২ \times ৭ = ১৪$ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, $d$ = ১৪ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{d^2}{2}$
ক্ষেত্রফল = $\frac{(১৪)^2}{2}$ = $\frac{১৯৬}{2}$ = ৯৮ বর্গ সে.মি.
ক. ৩ গুণ
খ. ৯ গুণ
গ. ১২গুণ
ঘ. ১৬ গুণ
উত্তরঃ ৯ গুণ
ব্যাখ্যাঃ কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসের বর্গের সমানুপাতিক। এর অর্থ হলো, ব্যাসকে যতগুণ বৃদ্ধি করা হবে, ক্ষেত্রফল তার বর্গের সমান গুণ বৃদ্ধি পাবে।
যদি ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়, তাহলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $(৩)^২ = ৯$ গুণ।
উদাহরণ:
যদি মূল ব্যাস $d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_1 = \pi(\frac{d}{2})^2$
যদি নতুন ব্যাস $3d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_2 = \pi(\frac{3d}{2})^2 = \pi(\frac{9d^2}{4}) = 9 \times \pi(\frac{d^2}{4}) = 9A_1$
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পায়।
যদি ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়, তাহলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $(৩)^২ = ৯$ গুণ।
উদাহরণ:
যদি মূল ব্যাস $d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_1 = \pi(\frac{d}{2})^2$
যদি নতুন ব্যাস $3d$ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে $A_2 = \pi(\frac{3d}{2})^2 = \pi(\frac{9d^2}{4}) = 9 \times \pi(\frac{d^2}{4}) = 9A_1$
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পায়।
ক. ১৮০°
খ. ১৫০°
গ. ২৭০°
ঘ. ৩৬০°
উত্তরঃ ৩৬০°
ব্যাখ্যাঃ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি হলো ১৮০°। আবার, প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ এবং তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়।
সুতরাং, তিনটি অন্তঃস্থ ও তিনটি বহিঃস্থ কোণের মোট সমষ্টি হবে $৩ \times ১৮০° = ৫৪০°$।
এখন, বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বের করতে মোট সমষ্টি থেকে অন্তঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বাদ দিতে হবে:
$৫৪০° - ১৮০° = ৩৬০°$।
সুতরাং, তিনটি অন্তঃস্থ ও তিনটি বহিঃস্থ কোণের মোট সমষ্টি হবে $৩ \times ১৮০° = ৫৪০°$।
এখন, বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বের করতে মোট সমষ্টি থেকে অন্তঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি বাদ দিতে হবে:
$৫৪০° - ১৮০° = ৩৬০°$।
ক. 6
খ. 8
গ. 12
ঘ. 24
উত্তরঃ 12
ব্যাখ্যাঃ একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো $\frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
এখানে, কর্ণদ্বয় হলো $d_1 = 4$ সেমি এবং $d_2 = 6$ সেমি।
ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$
$= \frac{1}{2} \times 4 \times 6$
$= \frac{1}{2} \times 24$
$= 12$ বর্গ সেমি।
এখানে, কর্ণদ্বয় হলো $d_1 = 4$ সেমি এবং $d_2 = 6$ সেমি।
ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$
$= \frac{1}{2} \times 4 \times 6$
$= \frac{1}{2} \times 24$
$= 12$ বর্গ সেমি।
প্রশ্নঃ একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
ক. ২৪ সে.মি
খ. ১৮ সে.মি
গ. ৩৬ সে.মি
ঘ. ১২ সে.মি
উত্তরঃ ২৪ সে.মি
ব্যাখ্যাঃ
১. রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= $\frac{১}{২}$ × ৮ × ৯
= ৪ × ৯
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
২. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
প্রশ্ন অনুযায়ী, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৩৬}$ = ৬ সে.মি.
৩. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৬
= ২৪ সে.মি.
১. রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= $\frac{১}{২}$ × ৮ × ৯
= ৪ × ৯
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
২. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
প্রশ্ন অনুযায়ী, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৩৬}$ = ৬ সে.মি.
৩. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৬
= ২৪ সে.মি.
প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. 30 মিটার
খ. 40 মিটার
গ. 50 মিটার
ঘ. 60 মিটার
উত্তরঃ 50 মিটার
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $x$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ।
$1250 = (2x) \times x$
$1250 = 2x^2$
$x^2 = \frac{1250}{2}$
$x^2 = 625$
$x = \sqrt{625}$
$x = 25$ মিটার।
সুতরাং, প্রস্থ হলো ২৫ মিটার।
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $2x = 2 \times 25 = 50$ মিটার।
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $x$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ।
$1250 = (2x) \times x$
$1250 = 2x^2$
$x^2 = \frac{1250}{2}$
$x^2 = 625$
$x = \sqrt{625}$
$x = 25$ মিটার।
সুতরাং, প্রস্থ হলো ২৫ মিটার।
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $2x = 2 \times 25 = 50$ মিটার।