ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে, $1 + \tan^2\theta = 4$.

প্রথম ধাপে, $\tan^2\theta$ এর মান বের করি:
$\tan^2\theta = 4 - 1$
$\tan^2\theta = 3$

দ্বিতীয় ধাপে, $\tan\theta$ এর মান বের করি:
$\tan\theta = \pm\sqrt{3}$

যেহেতু $\theta < 90^\circ$, $\theta$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। প্রথম চতুর্ভাগে $\tan\theta$ এর মান ধনাত্মক হয়। সুতরাং, আমরা কেবল ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করব:
$\tan\theta = \sqrt{3}$

তৃতীয় ধাপে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি যে $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

সুতরাং, $\theta = 60^\circ$.

অতএব, $\theta = 60^\circ$.

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$\sec^2 A - \tan^2 A = 1$$

এই সূত্রটিকে আমরা \((a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)\) এর মতো করে লিখতে পারি:
$$(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$$

আমাদের দেওয়া আছে, $$\sec A + \tan A = \frac{5}{2}$$
সুতরাং, $$\frac{5}{2} (\sec A - \tan A) = 1$$
$$\sec A - \tan A = \frac{1}{\frac{5}{2}}$$
$$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$
সুতরাং, $$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, মিনারের উচ্চতা = \(x\) মিটার
পাশের চিত্রানুযায়ী,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
⇒ \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{20} \)
⇒ \( x = \frac{20}{\sqrt{3}} \)

অতএব, মিনারের উচ্চতা = \( \frac{20}{\sqrt{3}} \) মিটার।