ব্যাখ্যাঃ সরলরেখার সমীকরণ হলো সেই সমীকরণ যা লেখচিত্রে একটি সরলরেখা তৈরি করে। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো $$ax + by + c = 0$$, যেখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b উভয়ই শূন্য নয়।

এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:

কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2 = 2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

খঃ $$x^2 + y = 1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y = 1 - x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x = y$$অথবা$$2x - y = 0$$। এটি $$ax + by + c = 0$$আকারের, যেখানে$$a = 2$$, $$b = -1$$এবং$$c = 0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।

ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy = 1$$অথবা$$y = \frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা $m$.

আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m}$$.

প্রশ্নানুসারে, প্রতিটি কোণের পরিমাণ $১৬৮^\circ$.

সুতরাং, $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m} = 168^\circ$$

উভয় পক্ষকে $m$ দিয়ে গুণ করে পাই,
$$(m-2) \times 180 = 168m$$

$$180m - 360 = 168m$$

$$180m - 168m = 360$$

$$12m = 360$$

$$m = \frac{360}{12}$$

$$m = 30$$

সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা ৩০টি।
উত্তর: ৩০

ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের মধ্যে পিথাগোরাসের সম্পর্ক বিদ্যমান।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $L$ মিটার এবং প্রস্থ $W$ মিটার।
দেওয়া আছে:
প্রস্থ ($W$) = 10 মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য ($D$) = 15 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: $L^2 + W^2 = D^2$

মানগুলো বসিয়ে পাই:
$L^2 + 10^2 = 15^2$
$L^2 + 100 = 225$
$L^2 = 225 - 100$
$L^2 = 125$
$L = \sqrt{125}$
$L = \sqrt{25 \times 5}$
$L = 5\sqrt{5}$ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = $L \times W$
ক্ষেত্রফল = $5\sqrt{5} \times 10$
ক্ষেত্রফল = $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যাঃ

দুটি সমান্তরাল রেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করে না (০টি বিন্দুতে ছেদ করে)।

সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞাই হলো যে তারা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না বা স্পর্শ করে না।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সরল রেখার দৈর্ঘ্য \( L \)।

এখন, এই রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: \[ L^2 \]

যদি রেখার এক চতুর্থাংশ অর্থাৎ \( \frac{L}{4} \) এর ওপর বর্গ অঙ্কিত হয়, তবে সেই বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: \[ \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16} \]

তাহলে, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার এক চতুর্থাংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের: \[ \frac{L^2}{\frac{L^2}{16}} = 16 \]
অর্থাৎ, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গের ক্ষেত্রফলের ১৬ গুণ।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রটির মূল দৈর্ঘ্য \( L \) এবং প্রস্থ \( W \)।

মুল ক্ষেত্রফল হলো: \[ A_1 = L \times W \] দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য হবে: \[ L' = L \times (১ + ০.২০) = ১.২০L \] প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে নতুন প্রস্থ হবে: \[ W' = W \times (১ - ০.১০) = ০.৯০W \] নতুন ক্ষেত্রফল হবে: \[ A_2 = L' \times W' = ১.২০L \times ০.৯০W = ১.০৮LW \] এখন, ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন নির্ণয় করি: \[ \Delta A = A_2 - A_1 = ১.০৮LW - LW = ০.০৮LW \] ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের শতকরা হার: \[ \text{Percentage Change} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times ১০০ \] \[ = \left( \frac{০.০৮LW}{LW} \right) \times ১০০ \] \[ = ০.০৮ \times ১০০ \] \[ = ৮ \% \] অতএব, ক্ষেত্রফলের শতকরা ৮% বৃদ্ধি হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\((x-y, 3) = (0, x+2y)\)

এখন দুই পৃষ্ঠার সমান উপাদান তুলনা করে সমাধান করি।
১. প্রথম উপাদান থেকে পাই: \[ x - y = 0 \] তাহলে, \[ x = y \] ২. দ্বিতীয় উপাদান থেকে পাই: \[ 3 = x + 2y \] \(x = y\) হলে, সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \(y\) বসাই: \[ 3 = y + 2y \] \[ 3 = 3y \] \[ y = 1 \] ৩. \(y = 1\) হলে, \(x = y\) থেকে: \[ x = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \((x, y) = (1, 1)\)

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, ঘরটির প্রস্থ x মিটার।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য ৩x মিটার।

ঘরটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩x × x = ৩x² বর্গমিটার।

প্রতি বর্গমিটার কার্পেট ঢাকতে খরচ ৯.৫০ টাকা।
সুতরাং, ৩x² বর্গমিটার কার্পেট ঢাকতে খরচ ৯.৫০ × ৩x² টাকা।

প্রশ্নমতে, ৯.৫০ × ৩x² = ১৮২৪
বা, ২৮.৫x² = ১৮২৪
বা, x² = ১৮২৪/২৮.৫ = ৬৪
বা, x = √৬৪ = ৮

সুতরাং, ঘরটির প্রস্থ ৮ মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য ৩ × ৮ = ২৪ মিটার।

অতএব, ঘরটির দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ঘন্টার কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘুরে।

তাহলে, ৫ টা পর্যন্ত ঘরের কাঁটার ঘূর্ণন: \[ 5 \times 30^\circ = 150^\circ \] এখন, ১০ মিনিটের জন্য অতিরিক্ত ঘূর্ণন হিসাব করি।
যেহেতু ১ ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘোরে, তাই ১০ মিনিটে: \[ \frac{30^\circ}{60} \times 10 = 5^\circ \] তাহলে, মোট ঘূর্ণন: \[ 150^\circ + 5^\circ = 155^\circ \] সুতরাং, ৫ টা ১০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটাটি ১৫৫ ডিগ্রি ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ ত্রিভুজ গঠনের নিয়ম হলো: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। যদি এই শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

আমরা প্রতিটি বিকল্প যাচাই করি:

* কঃ ২, ৪, ৫
* ২ + ৪ = ৬ > ৫ (সঠিক)
* ২ + ৫ = ৭ > ৪ (সঠিক)
* ৪ + ৫ = ৯ > ২ (সঠিক)
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

* খঃ ৪, ৫, ৬
* ৪ + ৫ = ৯ > ৬ (সঠিক)
* ৪ + ৬ = ১০ > ৫ (সঠিক)
* ৫ + ৬ = ১১ > ৪ (সঠিক)
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

* গঃ ২, ৪, ৭
* ২ + ৪ = ৬, যা ৭ এর চেয়ে ছোট নয় ($6 \ngtr 7$) (ভুল)
* এখানেই শর্ত ভঙ্গ হয়েছে।
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

* ঘঃ ৩, ৪, ৬
* ৩ + ৪ = ৭ > ৬ (সঠিক)
* ৩ + ৬ = ৯ > ৪ (সঠিক)
* ৪ + ৬ = ১০ > ৩ (সঠিক)
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

সুতরাং, ২, ৪, ৭ বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার।

প্রশ্নানুযায়ী:
ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার কম।
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য = $(x - 1)$ মিটার।

অতিভূজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার বেশি।
সুতরাং, অতিভূজের দৈর্ঘ্য = $(x + 1)$ মিটার।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(লম্ব)$^২$ + (ভূমি)$^২$ = (অতিভুজ)$^২$

মান বসিয়ে পাই:
$x^২ + (x - 1)^২ = (x + 1)^২$

বাম পক্ষ:
$x^২ + (x^২ - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^২)$
$x^২ + x^২ - 2x + 1$
$2x^২ - 2x + 1$

ডান পক্ষ:
$(x^২ + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^২)$
$x^২ + 2x + 1$

এখন সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x^২ - 2x + 1 = x^২ + 2x + 1$

$2x^২ - x^২ - 2x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^২ - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

এখানে দুটি সমাধান সম্ভব:
১. $x = 0$
২. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

দৈর্ঘ্য কখনও শূন্য হতে পারে না, তাই $x = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, $x = 4$ মিটার।

লম্বের দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার।
ভূমির দৈর্ঘ্য = $x - 1 = 4 - 1 = 3$ মিটার।
অতিভূজের দৈর্ঘ্য = $x + 1 = 4 + 1 = 5$ মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য হলো ৫ মিটার।

উত্তর: ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩।

মনে করি, কোণ তিনটি হলো $x$, $2x$ এবং $3x$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
সুতরাং, $x + 2x + 3x = 180^\circ$
$6x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{6}$
$x = 30^\circ$

এখন, কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করি:
প্রথম কোণ = $x = 30^\circ$
দ্বিতীয় কোণ = $2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$
তৃতীয় কোণ = $3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ $90^\circ$, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

উত্তর: ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যাঃ একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘোরে।

১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
অর্থাৎ, ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে ১২ বার।

তাহলে, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{১২}{৬০}$ বার = $\frac{১}{৫}$ বার।

আমরা জানি, চাকা ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।

সুতরাং, ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে:
$= (\frac{১}{৫} \times ৫)$ বার
$= ১$ বার

এখন, ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।

উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে $360^\circ$ ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তাকার বাগানের বর্তমান দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
বর্তমান প্রস্থ = ১০০ মিটার

বর্তমান ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = ১৫০ মিটার $\times$ ১০০ মিটার = ১৫০০০ বর্গমিটার।

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি:
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন দৈর্ঘ্য হবে = ১৫০ + (১৫০ এর ২০%)
= ১৫০ + $(\frac{২০}{১০০} \times ১৫০)$
= ১৫০ + $(২ \times ১৫)$
= ১৫০ + ৩০
= ১৮০ মিটার

প্রস্থ বৃদ্ধি:
প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন প্রস্থ হবে = ১০০ + (১০০ এর ১০%)
= ১০০ + $(\frac{১০}{১০০} \times ১০০)$
= ১০০ + ১০
= ১১০ মিটার

নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল = নতুন দৈর্ঘ্য $\times$ নতুন প্রস্থ = ১৮০ মিটার $\times$ ১১০ মিটার
= ১৯৬০০ বর্গমিটার

উত্তর: নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল ১৯৬০০ বর্গমিটার হবে।

ব্যাখ্যাঃ ৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ হলো ৫০ ডিগ্রী।

কারণ, দুটি কোণের সমষ্টি $৯০^\circ$ হলে তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
$৯০^\circ - ৪০^\circ = ৫০^\circ$

ব্যাখ্যাঃ যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫, ও ৩ হয়, তাহলে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। কারণ, এই বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসরণ করে ($3^২ + 4^২ = 9 + 16 = 25 = 5^২$)।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{১}{২} \times ভূমি \times উচ্চতা$।
এখানে, ভূমি ও উচ্চতা হলো সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি, অর্থাৎ ৩ ও ৪।

ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times ৩ \times ৪$
= $\frac{১}{২} \times ১২$
= ৬ বর্গ একক

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গ একক।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে, PQ রেখাংশকে R বিন্দুতে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করা হয়েছে যে:
PQ : PR = PR : QR

ধরি, PR = $x$ এবং QR = $y$।
তাহলে, PQ = PR + QR = $x+y$।

এই মানগুলো সমানুপাতে বসিয়ে পাই:
$(x+y) : x = x : y$

বা, $\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$
$y(x+y) = x^2$
$xy + y^2 = x^2$
$x^2 - xy - y^2 = 0$

এই সমীকরণটিকে $y^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} - 1 = 0$

ধরি, $\frac{x}{y} = k$।
$k^2 - k - 1 = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে $k$ এর মান পাই:
$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

যেহেতু PR > QR, তাই $\frac{PR}{QR} = \frac{x}{y} = k$ এর মান ধনাত্মক হবে।
$k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx \frac{3.236}{2} \approx 1.618$

সুতরাং, অনুপাতটি হলো $PR : QR = k : 1 = 1.618 : 1$।

সঠিক উত্তর: গঃ 1.618 : 1