ব্যাখ্যাঃ ১. প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ: যদি ২৭, ৪০, এবং ৬৫-কে একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, এবং ৫ ভাগশেষ থাকে, তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলোর থেকে তাদের ভাগশেষ বাদ দিই: \[ 27 - 3 = 24, \, 40 - 4 = 36, \, 65 - 5 = 60 \] ২. এই সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (GCD) নির্ণয়:
এখন ২৪, ৩৬, এবং ৬০-এর গ.সা.গু বের করতে হবে।

৩. গ.সা.গু বের করা:
২৪-এর গুণনীয়ক: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)
৩৬-এর গুণনীয়ক: \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\)
৬০-এর গুণনীয়ক: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\)

এই তিনটি সংখ্যার গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সর্বাধিক সাধারণ গুণনীয়ক হলো \(12\)।

৪. উত্তর:
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যা হলো \(12\)।

উত্তর: বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা ২৭, ৪০, ৬৫-কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে, তা হলো \(12\)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি সংখ্যা হলো \(a\) এবং \(b\)। আমাদের দেওয়া আছে:

১. ল.সা.গু (\(LCM\)) = ৮৪
২. গ.সা.গু (\(GCD\)) = ১৪
৩. \(a = \frac{2}{3}b\)।

ল.সা.গু এবং গ.সা.গু সূত্র: \[ LCM \times GCD = a \times b \] এখানে \(a = \frac{2}{3}b\) বসিয়ে পাই: \[ 84 \times 14 = \left(\frac{2}{3}b\right) \times b \] \[ 1176 = \frac{2}{3}b^2 \] এখন \(b^2\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ b^2 = \frac{1176 \times 3}{2} = 1764 \] \[ b = \sqrt{1764} = 42 \] তাহলে, \(b = 42\)। এখন \(a = \frac{2}{3}b\): \[ a = \frac{2}{3} \times 42 = 28 \] ছোট সংখ্যাটি:
ছোট সংখ্যাটি হলো \(28\)।


উত্তর: ছোট সংখ্যাটি \(28\)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য \(২৪\), \(৩৬\), এবং \(৪৮\)-এর ল.সা.গু (LCM) বের করব।

ধাপ ১: সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু বের করা
২৪, ৩৬, এবং ৪৮-এর মৌলিক গুণনীয়ক নির্ণয় করি:
- \(২৪ = 2^3 \times 3\)
- \(৩৬ = 2^2 \times 3^2\)
- \(৪৮ = 2^4 \times 3\)

ল.সা.গু হলো প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সর্বাধিক ঘাতের গুণফল: \[ LCM = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 \] ধাপ ২: \(৩\) যোগ করলে সংখ্যাটি \(২৪\), \(৩৬\), এবং \(৪৮\) দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে
ধরি, লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো \(x\)। প্রশ্ন অনুসারে: \[ x + 3 = 144 \] তাহলে: \[ x = 144 - 3 = 141 \] উত্তর: লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো \(141\)।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ১: ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয়

প্রথমে ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয় করি।

- ৮ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^3 \)
- ১০ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2 \times 5 \)
- ১২ এর মৌলিক উৎপাদক: \( 2^2 \times 3 \)

LCM হবে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল: \[ \text{LCM} = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \] ধাপ ২: LCM কে পূর্ণবর্গ সংখ্যায় পরিণত করা

১২০ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, কারণ এর মৌলিক উৎপাদকগুলির ঘাত সমান নয়। পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

১২০ এর মৌলিক উৎপাদক: \[ 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \] প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা করতে হলে:
- ২ এর ঘাত ৩ থেকে ৪ করতে হবে (পরবর্তী জোড় সংখ্যা)
- ৩ এর ঘাত ১ থেকে ২ করতে হবে
- ৫ এর ঘাত ১ থেকে ২ করতে হবে

সুতরাং, পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে: \[ 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = 3600 \] সুতরাং, স্কুলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন ছাত্র আছে। \[ \boxed{3600} \]

ব্যাখ্যাঃ এখানে সমস্যাটি এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করার, যা ৫, ৮, এবং ২০-এর গুণিতক এবং প্রতিবার ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৪। ধাপে ধাপে সমাধান করা যাক:

১. LCM নির্ণয়:
প্রথমে, \(৫\), \(৮\), এবং \(২০\)-এর লঘিষ্ঠ গুণিতক (LCM) বের করি। \(৮ = 2^3\), \(২০ = 2^2 \times 5\)।
সুতরাং, \[ \text{LCM} = 2^3 \times 5 = ৪০ \] ২. শর্ত যোগ করা:
আমরা একটি সংখ্যা \(৪০\)-এর গুণিতক খুঁজছি, যা প্রতিটি ভাগে অবশিষ্ট রাখে \(৪\)। তাই সংখ্যা হবে: \[ \text{সংখ্যা} = ৪০k + ৪ \] যেখানে \(k\) হল একটি পূর্ণসংখ্যা।
৩. নিম্নতম সংখ্যা নির্ধারণ:
\(k = ১\) হলে, \[ \text{সংখ্যা} = ৪০ \times ১ + ৪ = ৪৪ \] সুতরাং, ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা হবে ৪৪।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এমন একটি সংখ্যার খোঁজ করব যা \(৯\), \(১৫\), এবং \(২৫\)-এর লঘিষ্ঠ গুণিতক (LCM)-এর গুণিতক এবং \(১৯৭\)-এর সাথে যোগ করার পর তা প্রাপ্ত হবে।

১. LCM নির্ণয় করা: \(৯ = 3^2\), \(১৫ = 3 \times 5\), \(২৫ = 5^2\)। তাহলে, \[ \text{LCM} = 3^2 \times 5^2 = ৯ \times ২৫ = ২২৫ \] ২. ১৯৭-এর সাথে \(২২৫\)-এর গুণিতক যোগ করা: ধরি, \(১৯৭ + x\) সংখ্যাটি \(২২৫\) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অতএব, \[ ১৯৭ + x = ২২৫k \; (\text{যেখানে } k \text{ একটি পূর্ণসংখ্যা}) \] \[ x = ২২৫k - ১৯৭ \] ৩. কমপক্ষে \(x\) নির্ণয় করা: \(k = ১\) হলে: \[ x = ২২৫ \times ১ - ১৯৭ = ২২৫ - ১৯৭ = ২৮ \] সুতরাং, \(১৯৭\)-এর সাথে ২৮ যোগ করলে সংখ্যাটি \(৯\), \(১৫\), এবং \(২৫\)-এর দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

ব্যাখ্যাঃ

৩, ৫ ও ৬ এর ল, সা, গু = ৩ x ১ x ৫ x ২ = ৩০

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০ + ১ = ৩১

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুসারে, যদি ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে। অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যার থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, সেটি সেই সংখ্যার গুণিতক হবে।

প্রথমে, সংশোধিত সংখ্যাগুলি বের করি: \[ 27 - 3 = 24, \quad 40 - 4 = 36, \quad 65 - 5 = 60 \] এখন, ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু (GCD) নির্ণয় করতে হবে, কারণ সেই গসাগু হলো সেই সর্বাধিক সংখ্যা যা দিয়ে তিনটি সংশোধিত সংখ্যা পুরোপুরি বিভাজ্য।

প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি: \[ 24 = 2^3 \times 3 \] \[ 36 = 2^2 \times 3^2 \] \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \] এখন, সকল সংখ্যায় সাধারণ গুণনীয়ক হলো \( 2^2 \times 3 \), যার মান: \[ 4 \times 3 = 12 \] সুতরাং, ১২

ব্যাখ্যাঃ

৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর লসাগু = ৮৪০

ঘণ্টাগুলো ৮৪০সেকেন্ড পর একত্রে বাজবে।

অতএব নির্নেয় সময় ৮৪০ সেকেন্ড বা ১৪ মিনিট

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $5x$ এবং $6x$।
যেহেতু সংখ্যা দুটির গ.সা.গু ৪, তাই $x = 4$।

তাহলে সংখ্যা দুটি হলো:
প্রথম সংখ্যা = $5 \times 4 = 20$
দ্বিতীয় সংখ্যা = $6 \times 4 = 24$

এখন, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
২০ এবং ২৪ এর ল.সা.গু:
২০ = $2 \times 2 \times 5$
২৪ = $2 \times 2 \times 2 \times 3$

ল.সা.গু = $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120$

বিকল্প পদ্ধতি:
দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং তাদের গ.সা.গু দেওয়া থাকলে, ল.সা.গু নির্ণয়ের সূত্র হলো:
ল.সা.গু = অনুপাতের সংখ্যাগুলোর গুণফল $\times$ গ.সা.গু
ল.সা.গু = $(5 \times 6) \times 4$
ল.সা.গু = $30 \times 4$
ল.সা.গু = $120$

সুতরাং, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু হলো ১২০।

ব্যাখ্যাঃ চলুন, রাশিগুলোর গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয় করি।

প্রদত্ত রাশিগুলো হলো:

1. $4(a + b)$
   
2. $10(a – b)$
   
3. $12(a^2 – b^2)$
   

প্রথমে সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু বের করি:
4, 10, 12 এর গ.সা.গু:
4 = 2 $\times$ 2
10 = 2 $\times$ 5
12 = 2 $\times$ 2 $\times$ 3
সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু হল 2।

এখন বীজগাণিতিক অংশগুলো দেখি:
$a+b$
$a-b$
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

এই তিনটি বীজগাণিতিক রাশির মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই (অর্থাৎ, $a+b$ এবং $a-b$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই)।

অতএব, সম্পূর্ণ রাশিগুলোর গ.সা.গু হলো সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু এবং বীজগাণিতিক অংশের সাধারণ উৎপাদকগুলোর গুণফল।
এখানে, বীজগাণিতিক অংশের সাধারণ উৎপাদক শুধুমাত্র 1।

সুতরাং, $4(a + b)$, $10(a – b)$ এবং $12(a^2 – b^2)$ এর গ.সা.গু হল 2।

ব্যাখ্যাঃ যদি ধরে নেওয়া হয়, দুইটি দলের সদস্য সংখ্যা x এবং y হয়, তাহলে:
ল.সা.গু. (x, y) = ৯০
গ.সা.গু. (x, y) = ১৫

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু.
x y = ৯০ ১৫ = ১৩৫০

যেহেতু গ.সা.গু. ১৫, তাই সংখ্যা দুটি হবে ১৫a এবং ১৫b, যেখানে a ও b সহমৌলিক।
(১৫a) * (১৫b) = ১৩৫০
২২৫ a b = ১৩৫০
a * b = ১৩৫০ / ২২৫ = ৬

যেহেতু a ও b সহমৌলিক এবং তাদের গুণফল ৬, তাই সম্ভাব্য জোড়াগুলো হলো:

• ১ ও ৬
  
• ২ ও ৩
  

যদি (a,b) = (১,৬) হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি হলো:
১৫ * ১ = ১৫
১৫ * ৬ = ৯০
এই দুইটি দলের মোট সদস্য সংখ্যা = ১৫ + ৯০ = ১০৫ জন।

যদি (a,b) = (২,৩) হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি হলো:
১৫ * ২ = ৩০
১৫ * ৩ = ৪৫
এই দুইটি দলের মোট সদস্য সংখ্যা = ৩০ + ৪৫ = ৭৫ জন।

ব্যাখ্যাঃ রাশিগুলো হলো:
১. $18(x + y)^3 = 2 \times 3^2 \times (x+y)^3$
২. $24(x + y)^2 = 2^3 \times 3 \times (x+y)^2$
৩. $32(x^2 - y^2) = 2^5 \times (x-y)(x+y)$

গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য, সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিতে হয়।

সাধারণ সংখ্যা উৎপাদক:
১৮, ২৪, ৩২ এর গ.সা.গু. হলো ২।

সাধারণ বীজগাণিতিক উৎপাদক:
$(x+y)$ রাশিটি তিনটি রাশিতেই আছে। এর সর্বনিম্ন ঘাত হলো $(x+y)$।
$(x-y)$ রাশিটি কেবল তৃতীয় রাশিতে আছে, তাই এটি সাধারণ উৎপাদক নয়।

সুতরাং, গ.সা.গু. হলো $2(x+y)$।