ব্যাখ্যাঃ ধরি:

• জয়নুলের গতি = \( x \) কি.মি./ঘন্টা
  
• রনির গতি = \( y \) কি.মি./ঘন্টা
  

প্রথম শর্ত অনুযায়ী:
জয়নুলের সময় রনির সময়ের থেকে ২ ঘণ্টা বেশি ছিল:
\[
\frac{30}{x} = \frac{30}{y} + 2
\]

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী:
যদি জয়নুল তার গতি দ্বিগুণ করত, তবে তার সময় রনির সময়ের থেকে ১ ঘণ্টা কম লাগত:
\[
\frac{30}{2x} = \frac{30}{y} - 1
\]
\[
\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 2
\]
\[
\frac{30}{2x} - \frac{30}{y} = -1
\]
\[
\frac{15}{x} - \frac{30}{y} = -1
\]

প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বাদ দিলে পাই:
\[
\left( \frac{30}{x} - \frac{15}{x} \right) = 3
\]
\[
\frac{15}{x} = 3
\]
\[
x = 5
\]

চূড়ান্ত উত্তর:

জয়নুলের গতি ছিল ৫ কি.মি./ঘন্টা।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে বলা হয়েছে:

* ৫০ মিনিট আগে সময় ছিল ৪টা ৪৫ মিনিট।
তাহলে এখন সময়:
$$
৪:৪৫ + ৫০ \text{ মিনিট} = ৫:৩৫
$$
এখন প্রশ্ন:
৬টা বাজতে আর কতক্ষণ বাকি?
$$
৬:০০ - ৫:৩৫ = ২৫ \text{ মিনিট}
$$

উত্তর: ২৫ মিনিট

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: দেওয়া তথ্য বিশ্লেষণ - উজানে (Upstream) গতি = 1 mph - ভাটিতে (Downstream) গতি = 4 mph - উজানে এবং ভাটিতে যাত্রার সমান দূরত্ব = 4 মাইল আমাদের গড় গতি (Average Speed) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ২: গড় গতি নির্ণয়ের সূত্র গড় গতি (Average Speed) নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র: \[ \text{Average Speed} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}} \] ### ধাপ ৩: মোট দূরত্ব নির্ণয় - উজানের দূরত্ব = 4 মাইল - ভাটির দূরত্ব = 4 মাইল - মোট দূরত্ব = \( 4 + 4 = 8 \) মাইল ### ধাপ ৪: মোট সময় নির্ণয় - উজানে সময় = \( \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতি}} = \frac{4}{1} = 4 \) ঘণ্টা - ভাটিতে সময় = \( \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতি}} = \frac{4}{4} = 1 \) ঘণ্টা - মোট সময় = \( 4 + 1 = 5 \) ঘণ্টা ### ধাপ ৫: গড় গতি নির্ণয় \[ \text{Average Speed} = \frac{8 \text{ মাইল}}{5 \text{ ঘণ্টা}} = 1.6 \text{ mph} \] ### উত্তর: গড় গতি হবে 1.6 mph ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা মোট ভ্রমণের গড়বেগ নির্ণয় করব।

### ধাপ ১: তথ্য বিশ্লেষণ - স্রোতের অনুকূলে: - দূরত্ব = ৫ মাইল - সময় = ২ ঘণ্টা - গতি = \( \frac{5}{2} = 2.5 \) মাইল/ঘণ্টা

- স্রোতের প্রতিকূলে: - দূরত্ব = ৫ মাইল (কারণ মাঝি ফিরে এসেছে) - সময় = ৪ ঘণ্টা - গতি = \( \frac{5}{4} = 1.25 \) মাইল/ঘণ্টা

### ধাপ ২: গড়বেগ নির্ণয়
গড়বেগের সূত্র:
\[ \text{গড়বেগ} = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} \] \[ = \frac{5 + 5}{2 + 4} \] \[ = \frac{10}{6} = 1\frac{2}{3} \text{ মাইল/ঘণ্টা} \] ### উত্তর: \(1\frac{2}{3}\) মাইল/ঘণ্টা (প্রায়)

ব্যাখ্যাঃ ধরুন প্রথম নলটি পৃথকভাবে \( x \) মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে এবং দ্বিতীয় নলটি পৃথকভাবে \( y \) মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।

প্রথম অবস্থায়, দুটি নল একসঙ্গে চৌবাচ্চাটি ৮ মিনিটে পূর্ণ করে।
অতএব, \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \quad \text{(1)} \] নল দুটি খুলে দেয়ার ৪ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দেয়, অতএব, ৪ মিনিটে চৌবাচ্চার ভরাট অংশ: \[ \frac{4}{x} + \frac{4}{y} \] এরপর, দ্বিতীয় নলটি আরও ৬ মিনিট চালু ছিল এবং চৌবাচ্চার অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ করেছে। অতএব, অবশিষ্ট অংশ: \[ 1 - \left( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} \right) = \frac{6}{y} \] \[ 1 = \frac{4}{x} + \frac{10}{y} \quad \text{(2)} \] এখন সমীকরণ (1) এবং (2) থেকে \( x \) এবং \( y \) এর মান বের করতে হবে।

সমীকরণ (1) কে আরও সহজ করা যাক: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{y} \] \[ x = \frac{8y}{y - 8} \] এখন সমীকরণ (2) এ \( x \) এর মান স্থানান্তর করি: \[ 1 = \frac{4}{\frac{8y}{y - 8}} + \frac{10}{y} \] \[ 1 = \frac{4(y - 8)}{8y} + \frac{10}{y} \] \[ 1 = \frac{4y - 32}{8y} + \frac{10}{y} \] \[ 1 = \frac{4y - 32 + 80}{8y} \] \[ 1 = \frac{4y + 48}{8y} \] \[ 8y = 4y + 48 \] \[ 4y = 48 \] \[ y = 12 \] অতএব, দ্বিতীয় নলটি ১২ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে। প্রথম নলটির জন্য: \[ x = \frac{8 \times 12}{12 - 8} \] \[ x = \frac{96}{4} \] \[ x = 24 \] অতএব, প্রথম নলটি ২৪ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে এবং দ্বিতীয় নলটি ১২ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।

ব্যাখ্যাঃ

ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম এর দূরত্ব ৩০০ কি.মি.। ট্রেনটি সকাল ৭টায় ছেড়ে গিয়ে বিকেল ৩টায় পৌঁছেছে। তাহলে, ট্রেনটি মোট সময় নিয়েছে ৮ ঘণ্টা।

এখন, গড় গতিবেগ বের করার সূত্রটি হলো:

গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব / মোট সময়

এখানে, মোট দূরত্ব ৩০০ কি.মি. এবং মোট সময় ৮ ঘণ্টা। সুতরাং:

গড় গতিবেগ = ৩০০ কি.মি. / ৮ ঘণ্টা = ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

অতএব, ট্রেনটির গড় গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় ৩৭.৫ কি.মি.।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন প্রথম পাইপটি ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার \(\frac{১}{৫}\) অংশ ভর্তি করে এবং দ্বিতীয় পাইপটি ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার \(\frac{১}{৩}\) অংশ ভর্তি করে।

এখন, দুটি পাইপ একসঙ্গে ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার যে অংশ ভর্তি করে: \[ \frac{১}{৫} + \frac{১}{৩} = \frac{৩ + ৫}{১৫} = \frac{৮}{১৫} \] অতএব, দুটি পাইপ একসঙ্গে ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার \(\frac{৮}{১৫}\) অংশ ভর্তি করে।

এখন, চৌবাচ্চার \(\frac{২}{৩}\) অংশ ভর্তি করতে: \[ \frac{২}{৩} = \frac{২ \times ৫}{৩ \times ৫} = \frac{১০}{১৫} \] তাহলে, চৌবাচ্চার \(\frac{২}{৩}\) অংশ ভর্তি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{১০}{১৫} \div \frac{৮}{১৫} = \frac{১০}{৮} = \frac{৫}{৪} \text{ ঘণ্টা} \] অতএব, দুটি পাইপ একসঙ্গে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির \(\frac{২}{৩}\) অংশ ভর্তি করতে \(\frac{৫}{৪}\) ঘণ্টা (অর্থাৎ ১ ঘন্টা ১৫ মিনিট) সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন করিম একঘন্টা ধরে হাঁটেছে, এবং এসময়ে তিনি \(3\) মাইল অতিক্রম করেছেন। এখন রহিম রওয়ানা দিলেন এবং রহিম ও করিম একে অপরের দিকে হাঁটছেন।

এখন দুইজনের মোট চলার গতি: \[ 3 + 4 = 7 \text{ মাইল প্রতি ঘন্টা}\] অতএব, করিম ও রহিমের মিলিত দূরত্ব ঢাকার দিকে যেতে হবে \(45 - 3 = 42 \) মাইল। \[ 42 \text{ মাইল} = 7 \text{ মাইল প্রতি ঘন্টা} \times t \text{ ঘন্টা}\] \[t = \frac{42}{7}\] \[t = 6 \text{ ঘণ্টা}\] এই ৬ ঘন্টার মধ্যে রহিম ৪ মাইল প্রতি ঘন্টা বেগে হাঁটছেন, অর্থাৎ: \[ 6 \text{ ঘণ্টা} \times 4 \text{ মাইল প্রতি ঘন্টা} = 24 \text{ মাইল}\] অতএব, রহিম করিমের সাথে দেখা হওয়ার সময় পর্যন্ত ২৪ মাইল হেঁটেছেন।

ব্যাখ্যাঃ

এক স্টেশন থেকে যাত্রা শুরু করে অপর স্টেশন পর্যন্ত প্রতি ঘণ্টায় একটি ট্রেন মোট ৫টি ট্রেনের দেখা পাবে এবং পথে ৫টি ট্রেন আগে থেকে ছিল । ∴ মোট ট্রেন = (৫ + ৫) = ১০ টি।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা কাজের হার ব্যবহার করব।

ধরি:
- প্রথম ব্যক্তির কাজের হার = \( \frac{1}{12} \) (কাজ/দিন) - দ্বিতীয় ব্যক্তির কাজের হার = \( \frac{1}{x} \) (কাজ/দিন) - দুজনের একত্রে কাজের হার = \( \frac{1}{8} \) (কাজ/দিন)

দুজনের একত্রে কাজের হার হলো তাদের পৃথক কাজের হারের সমষ্টি। তাই: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \] এখন সমীকরণটি সমাধান করা যাক: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \] \[ x = 24 \] উত্তর: দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি ২৪ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, একটি লোক \( m \) মাইল দূরত্ব উত্তর দিকে প্রতি মাইল ২ মিনিটে অতিক্রম করে এবং খাড়া দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ২ মাইল হিসেবে।

প্রথমে উত্তর দিকে যাত্রার সময় এবং গতিবেগ নির্ণয় করি:
উত্তর দিকে যাত্রার সময়: \[ t_1 = m \times ২ \text{ মিনিট/মাইল} \] \[ t_1 = ২m \text{ মিনিট} \] দক্ষিণ দিকে ফেরার সময়: \[ t_2 = m \text{ মাইল} \div ২ \text{ মাইল/মিনিট} \] \[ t_2 = \frac{m}{2} \text{ মিনিট} \] মোট সময়: \[ t_{\text{মোট}} = t_1 + t_2 \] \[ t_{\text{মোট}} = ২m + \frac{m}{2} \] \[ t_{\text{মোট}} = \frac{4m}{2} + \frac{m}{2} \] \[ t_{\text{মোট}} = \frac{5m}{2} \text{ মিনিট} \] এখন, এই সময়কে ঘণ্টায় রূপান্তর করি: \[ t_{\text{মোট}} = \frac{5m}{2} \div ৬০ \] \[ t_{\text{মোট}} = \frac{5m}{120} \] \[ t_{\text{মোট}} = \frac{m}{24} \text{ ঘণ্টা} \] মোট দূরত্ব: \[ d_{\text{মোট}} = m \text{ মাইল} + m \text{ মাইল} \] \[ d_{\text{মোট}} = 2m \text{ মাইল} \] গড় গতিবেগ (গাড়ির সবমোট মাইল \text{ মোট সময়}): \[ v_{\text{গড়}} = \frac{d_{\text{মোট}}}{t_{\text{মোট}}} \] \[ v_{\text{গড়}} = \frac{2m}{\frac{m}{24}} \] \[ v_{\text{গড়}} = 2m \times \frac{24}{m} \] \[ v_{\text{গড়}} = 48 \text{ মাইল/ঘণ্টা} \] অতএব, লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় ৪৮ মাইল।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, রাজশাহীর দূরত্ব x কি.মি.

∴ ক এর সময় লাগে \(\frac{x}{১০}\) ঘণ্টা = ৬x মিনিট
খ এর সময় লাগে \(\frac{x}{১৫}\) ঘণ্টা = ৪x মিনিট

সময়ের ব্যবধান (১০:১০ - ৯:৪০) মিনিট বা ৩০ মিনিট
প্রশ্নমতে, ৬x - ৩০ = ৪x
বা, ২x = ৩০
∴ x = ১৫

∴ দূরত্ব ১৫ কি.মি.

ব্যাখ্যাঃ ধরি, চাকাটি প্রতি মিনিটে \(90\) বার ঘোরে।

ধাপ ১: প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়
এক মিনিটে \(60\) সেকেন্ড থাকে।
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে: \[ \frac{90}{60} = 1.5 \, \text{বার} \] ধাপ ২: একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে \(360^\circ\)
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি \(1.5\) বার ঘুরলে মোট ঘূর্ণন হবে: \[ 1.5 \times 360^\circ = 540^\circ \] উত্তর: ১ সেকেন্ডে চাকাটি \(540^\circ\) ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে, চাকার মোট ঘূর্ণনের পরিধি সমান হবে গাড়িটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব। চাকার পরিধি নির্ণয়ের জন্য সূত্র ব্যবহার করি: \[ \text{চাকার পরিধি} = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট ঘূর্ণন সংখ্যা}} \] প্রদত্ত:
- মোট দূরত্ব = \(10 \, \text{কি.মি.} = 10,000 \, \text{মিটার}\)
- মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = \(2000\)

তাহলে, চাকার পরিধি: \[ \text{পরিধি} = \frac{10,000}{2000} = 5 \, \text{মিটার} \] উত্তর: চাকার পরিধি \(5 \, \text{মিটার}\)।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা চাকা প্রতি মিনিটে কত ডিগ্রী ঘোরে তা নির্ণয় করব, এবং তারপর ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘোরে তা বের করব।

ধাপ ১: প্রতি মিনিটে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরে
একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে চাকাটি ৩৬০° ঘোরে।
প্রতি মিনিটে চাকাটি ১২ বার ঘোরে।
সুতরাং, প্রতি মিনিটে চাকাটি ঘোরে: \[ ১২ \times ৩৬০° = ৪৩২০° \] ধাপ ২: প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘোরে
প্রতি মিনিটে \(৬০\) সেকেন্ড থাকে।
প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: \[ \frac{৪৩২০}{৬০} = ৭২° \] ধাপ ৩: ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: \[ ৭২° \times ৫ = ৩৬০° \] উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে ৩৬০° (একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন) ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, কোনো চাকাই যখন ঘোরে, তখন চাকা ঘোরার সংখ্যা এবং চাকার পরিধি থেকে মোট দূরত্ব নির্ণয় করা যায়।

ধরি, গাড়িটি \( x \) মিটার পথ অতিক্রম করেছে।
⇒ সামনের চাকার পরিধি = ৩ মিটার
⇒ পিছনের চাকার পরিধি = ৪ মিটার

তাহলে, সামনের চাকা ঘুরবে: \[ \frac{x}{3} \] পিছনের চাকা ঘুরবে: \[ \frac{x}{4} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে: \[ \frac{x}{3} = \frac{x}{4} + 100 \] \[ 4x = 3x + 1200 \] \[ 4x - 3x = 1200 \] \[ x = 1200 \] সুতরাং, গাড়িটি ১২০০ মিটার পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে।