ব্যাখ্যাঃ ধরি:

• জয়নুলের গতি = $x$ কি.মি./ঘন্টা
  
• রনির গতি = $y$ কি.মি./ঘন্টা
  

প্রথম শর্ত অনুযায়ী:
জয়নুলের সময় রনির সময়ের থেকে ২ ঘণ্টা বেশি ছিল:
$$\frac{30}{x}=\frac{30}{y}+2$$

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী:
যদি জয়নুল তার গতি দ্বিগুণ করত, তবে তার সময় রনির সময়ের থেকে ১ ঘণ্টা কম লাগত:
$$\frac{30}{2x}=\frac{30}{y}-1$$
$$\frac{30}{x}-\frac{30}{y}=2$$
$$\frac{30}{2x}-\frac{30}{y}=-1$$
$$\frac{15}{x}-\frac{30}{y}=-1$$

প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বাদ দিলে পাই:
$$(\frac{30}{x}-\frac{15}{x})=3$$
$$\frac{15}{x}=3$$
$$x=5$$

চূড়ান্ত উত্তর:

জয়নুলের গতি ছিল ৫ কি.মি./ঘন্টা।

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: দেওয়া তথ্য বিশ্লেষণ - উজানে (Upstream) গতি = 1 mph - ভাটিতে (Downstream) গতি = 4 mph - উজানে এবং ভাটিতে যাত্রার সমান দূরত্ব = 4 মাইল আমাদের গড় গতি (Average Speed) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ২: গড় গতি নির্ণয়ের সূত্র গড় গতি (Average Speed) নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র: $$\text{Average Speed}=\frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}}$$ ### ধাপ ৩: মোট দূরত্ব নির্ণয় - উজানের দূরত্ব = 4 মাইল - ভাটির দূরত্ব = 4 মাইল - মোট দূরত্ব = $4+4=8$ মাইল ### ধাপ ৪: মোট সময় নির্ণয় - উজানে সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতি}}=\frac{4}{1}=4$ ঘণ্টা - ভাটিতে সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতি}}=\frac{4}{4}=1$ ঘণ্টা - মোট সময় = $4+1=5$ ঘণ্টা ### ধাপ ৫: গড় গতি নির্ণয় $$\text{Average Speed}=\frac{8\text{ মাইল}}{5\text{ ঘণ্টা}}=1.6\text{ mph}$$ ### উত্তর: গড় গতি হবে 1.6 mph ✅

ব্যাখ্যাঃ ধরুন প্রথম নলটি পৃথকভাবে $x$ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে এবং দ্বিতীয় নলটি পৃথকভাবে $y$ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।

প্রথম অবস্থায়, দুটি নল একসঙ্গে চৌবাচ্চাটি ৮ মিনিটে পূর্ণ করে।
অতএব, $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\text{(1)}$$ নল দুটি খুলে দেয়ার ৪ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দেয়, অতএব, ৪ মিনিটে চৌবাচ্চার ভরাট অংশ: $$\frac{4}{x}+\frac{4}{y}$$ এরপর, দ্বিতীয় নলটি আরও ৬ মিনিট চালু ছিল এবং চৌবাচ্চার অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ করেছে। অতএব, অবশিষ্ট অংশ: $$1-(\frac{4}{x}+\frac{4}{y})=\frac{6}{y}$$ $$1=\frac{4}{x}+\frac{10}{y}\text{(2)}$$ এখন সমীকরণ (1) এবং (2) থেকে $x$ এবং $y$ এর মান বের করতে হবে।

সমীকরণ (1) কে আরও সহজ করা যাক: $$\frac{1}{x}=\frac{1}{8}-\frac{1}{y}$$ $$x=\frac{8y}{y-8}$$ এখন সমীকরণ (2) এ $x$ এর মান স্থানান্তর করি: $$1=\frac{4}{\frac{8y}{y-8}}+\frac{10}{y}$$ $$1=\frac{4(y-8)}{8y}+\frac{10}{y}$$ $$1=\frac{4y-32}{8y}+\frac{10}{y}$$ $$1=\frac{4y-32+80}{8y}$$ $$1=\frac{4y+48}{8y}$$ $$8y=4y+48$$ $$4y=48$$ $$y=12$$ অতএব, দ্বিতীয় নলটি ১২ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে। প্রথম নলটির জন্য: $$x=\frac{8\times 12}{12-8}$$ $$x=\frac{96}{4}$$ $$x=24$$ অতএব, প্রথম নলটি ২৪ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে এবং দ্বিতীয় নলটি ১২ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে।

ব্যাখ্যাঃ

ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম এর দূরত্ব ৩০০ কি.মি.। ট্রেনটি সকাল ৭টায় ছেড়ে গিয়ে বিকেল ৩টায় পৌঁছেছে। তাহলে, ট্রেনটি মোট সময় নিয়েছে ৮ ঘণ্টা।

এখন, গড় গতিবেগ বের করার সূত্রটি হলো:

গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব / মোট সময়

এখানে, মোট দূরত্ব ৩০০ কি.মি. এবং মোট সময় ৮ ঘণ্টা। সুতরাং:

গড় গতিবেগ = ৩০০ কি.মি. / ৮ ঘণ্টা = ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

অতএব, ট্রেনটির গড় গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় ৩৭.৫ কি.মি.।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন প্রথম পাইপটি ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার $\frac{১}{৫}$ অংশ ভর্তি করে এবং দ্বিতীয় পাইপটি ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার $\frac{১}{৩}$ অংশ ভর্তি করে।

এখন, দুটি পাইপ একসঙ্গে ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার যে অংশ ভর্তি করে: $$\frac{১}{৫}+\frac{১}{৩}=\frac{৩+৫}{১৫}=\frac{৮}{১৫}$$ অতএব, দুটি পাইপ একসঙ্গে ১ ঘন্টায় চৌবাচ্চার $\frac{৮}{১৫}$ অংশ ভর্তি করে।

এখন, চৌবাচ্চার $\frac{২}{৩}$ অংশ ভর্তি করতে: $$\frac{২}{৩}=\frac{২\times ৫}{৩\times ৫}=\frac{১০}{১৫}$$ তাহলে, চৌবাচ্চার $\frac{২}{৩}$ অংশ ভর্তি করতে সময় লাগবে: $$\frac{১০}{১৫}÷\frac{৮}{১৫}=\frac{১০}{৮}=\frac{৫}{৪}\text{ ঘণ্টা}$$ অতএব, দুটি পাইপ একসঙ্গে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির $\frac{২}{৩}$ অংশ ভর্তি করতে $\frac{৫}{৪}$ ঘণ্টা (অর্থাৎ ১ ঘন্টা ১৫ মিনিট) সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন করিম একঘন্টা ধরে হাঁটেছে, এবং এসময়ে তিনি $3$ মাইল অতিক্রম করেছেন। এখন রহিম রওয়ানা দিলেন এবং রহিম ও করিম একে অপরের দিকে হাঁটছেন।

এখন দুইজনের মোট চলার গতি: $$3+4=7\text{ মাইল প্রতি ঘন্টা}$$ অতএব, করিম ও রহিমের মিলিত দূরত্ব ঢাকার দিকে যেতে হবে $45-3=42$ মাইল। $$42\text{ মাইল}=7\text{ মাইল প্রতি ঘন্টা}\times t\text{ ঘন্টা}$$ $$t=\frac{42}{7}$$ $$t=6\text{ ঘণ্টা}$$ এই ৬ ঘন্টার মধ্যে রহিম ৪ মাইল প্রতি ঘন্টা বেগে হাঁটছেন, অর্থাৎ: $$6\text{ ঘণ্টা}\times 4\text{ মাইল প্রতি ঘন্টা}=24\text{ মাইল}$$ অতএব, রহিম করিমের সাথে দেখা হওয়ার সময় পর্যন্ত ২৪ মাইল হেঁটেছেন।

ব্যাখ্যাঃ

এক স্টেশন থেকে যাত্রা শুরু করে অপর স্টেশন পর্যন্ত প্রতি ঘণ্টায় একটি ট্রেন মোট ৫টি ট্রেনের দেখা পাবে এবং পথে ৫টি ট্রেন আগে থেকে ছিল । ∴ মোট ট্রেন = (৫ + ৫) = ১০ টি।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ৬টার জন্য ঘণ্টাধ্বনি বাজানোর সময় বিবেচনা করি। ৬ বার ঘণ্টাধ্বনি বাজানো মানে, ৫টি বিরতি আছে:

$$\text{প্রতি বিরতি = }\frac{৫\text{ সেকেন্ড}}{৫\text{ বিরতি}}=১\text{ সেকেন্ড/বিরতি}$$ এখন, ১২টা বাজানোর সময়, ১২টি ঘণ্টাধ্বনি বাজানো হবে, যা মানে ১১টি বিরতি। প্রতিটি বিরতি ১ সেকেন্ড হবে।

তাহলে, ১২টা বাজানোর জন্য মোট সময় হবে: $$১১\text{ বিরতি}\times ১\text{ সেকেন্ড/বিরতি}=১১\text{ সেকেন্ড}$$ অতএব, ঘড়িতে ১২টা বাজানোর জন্য ১১ সেকেন্ড সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, একটি লোক $m$ মাইল দূরত্ব উত্তর দিকে প্রতি মাইল ২ মিনিটে অতিক্রম করে এবং খাড়া দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ২ মাইল হিসেবে।

প্রথমে উত্তর দিকে যাত্রার সময় এবং গতিবেগ নির্ণয় করি:
উত্তর দিকে যাত্রার সময়: $$t_1=m\times ২\text{ মিনিট/মাইল}$$ $$t_1=২m\text{ মিনিট}$$ দক্ষিণ দিকে ফেরার সময়: $$t_2=m\text{ মাইল}÷২\text{ মাইল/মিনিট}$$ $$t_2=\frac{m}{2}\text{ মিনিট}$$ মোট সময়: $$t_{\text{মোট}}=t_1+t_2$$ $$t_{\text{মোট}}=২m+\frac{m}{2}$$ $$t_{\text{মোট}}=\frac{4m}{2}+\frac{m}{2}$$ $$t_{\text{মোট}}=\frac{5m}{2}\text{ মিনিট}$$ এখন, এই সময়কে ঘণ্টায় রূপান্তর করি: $$t_{\text{মোট}}=\frac{5m}{2}÷৬০$$ $$t_{\text{মোট}}=\frac{5m}{120}$$ $$t_{\text{মোট}}=\frac{m}{24}\text{ ঘণ্টা}$$ মোট দূরত্ব: $$d_{\text{মোট}}=m\text{ মাইল}+m\text{ মাইল}$$ $$d_{\text{মোট}}=2m\text{ মাইল}$$ গড় গতিবেগ (গাড়ির সবমোট মাইল \text{ মোট সময়}): $$v_{\text{গড়}}=\frac{d_{\text{মোট}}}{t_{\text{মোট}}}$$ $$v_{\text{গড়}}=\frac{2m}{\frac{m}{24}}$$ $$v_{\text{গড়}}=2m\times \frac{24}{m}$$ $$v_{\text{গড়}}=48\text{ মাইল/ঘণ্টা}$$ অতএব, লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় ৪৮ মাইল।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, রাজশাহীর দূরত্ব x কি.মি.

∴ ক এর সময় লাগে $\frac{x}{১০}$ ঘণ্টা = ৬x মিনিট
খ এর সময় লাগে $\frac{x}{১৫}$ ঘণ্টা = ৪x মিনিট

সময়ের ব্যবধান (১০:১০ - ৯:৪০) মিনিট বা ৩০ মিনিট
প্রশ্নমতে, ৬x - ৩০ = ৪x
বা, ২x = ৩০
∴ x = ১৫

∴ দূরত্ব ১৫ কি.মি.

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য নিচের সূত্র ব্যবহার করতে পারি: $$\text{দূরত্ব}=\text{গতি}\times \text{সময়}$$ প্রদত্ত:
- ট্রেনের গতি = $100\text{কি.মি./ঘণ্টা}=100\times 1000=100,000\text{মিটার/ঘণ্টা}$
- সময় = $30\text{মিনিট}=\frac{30}{60}=0.5\text{ঘণ্টা}$

এখন সূত্রে মান বসাই: $$\text{দূরত্ব}=100,000\times 0.5=50,000\text{মিটার}$$ অথবা: $$\text{দূরত্ব}=50\text{কি.মি.}$$ উত্তর: ট্রেনটি $30$ মিনিটে $50\text{কি.মি.}$ দূরত্ব অতিক্রম করবে।

ব্যাখ্যাঃ ১. ট্রেনের গতিবেগ কিমি/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ডে রূপান্তর: $$72\text{ কিমি/ঘণ্টা}=72\times \frac{1000\text{ মিটার}}{3600\text{ সেকেন্ড}}=20\text{ মিটার/সেকেন্ড}$$ ২. মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব: ট্রেনটি সেতু পার হতে সময় নেয় ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড। $$\text{মোট দূরত্ব}=\text{গতিবেগ}\times \text{সময়}=20\text{ মিটার/সেকেন্ড}\times 60\text{ সেকেন্ড}=1200\text{ মিটার}$$ ৩. সেতুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য $$1200\text{ মিটার}=700\text{ মিটার}+\text{সেতুর দৈর্ঘ্য}$$ $$\text{সেতুর দৈর্ঘ্য}=1200-700=500\text{ মিটার}$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 500}}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, যাত্রার এক পাশের দূরত্ব $d$ কিলোমিটার।
সময় নির্ণয়:
স্রোতের অনুকূলে যাওয়ার সময়: $\frac{d}{10}$ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ফেরার সময়: $\frac{d}{6}$ ঘণ্টা

মোট সময়: $$\frac{d}{10}+\frac{d}{6}=\frac{3d}{30}+\frac{5d}{30}=\frac{8d}{30}$$ মোট দূরত্ব: $$2d$$ গড় গতিবেগ: $$\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}}=\frac{2d}{\frac{8d}{30}}$$ $$=\frac{2d\times 30}{8d}$$ $$=\frac{60}{8}=7.5$$ সুতরাং, গড় গতিবেগ হবে ৭.৫ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে লক্ষণীয় যে ৫টি বিড়াল ৫টি ইঁদুর ধরতে ৫ মিনিট সময় নেয়। প্রতিটি বিড়াল স্বাধীনভাবে কাজ করছে, তাই ১টি বিড়াল ১টি ইঁদুর ধরতে ৫ মিনিট সময় নেয়।

এখন, যদি ১০০টি বিড়াল থাকে, তাহলে ১০০টি ইঁদুর ধরতে প্রতিটি বিড়ালের জন্য ৫ মিনিটই লাগবে।
কারণ, বিড়ালের সংখ্যা ও ইঁদুরের সংখ্যা অনুপাতে বেড়েছে, কিন্তু প্রত্যেক বিড়াল তাদের কাজ একই সময়ে শেষ করছে।

সুতরাং, ১০০টি বিড়াল ১০০টি ইঁদুর ধরতে ৫ মিনিট সময় নেবে!

ব্যাখ্যাঃ

৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর লসাগু = ৮৪০

ঘণ্টাগুলো ৮৪০সেকেন্ড পর একত্রে বাজবে।

অতএব নির্নেয় সময় ৮৪০ সেকেন্ড বা ১৪ মিনিট

ব্যাখ্যাঃ ৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রী লোক এবং ১ জন বালকের মোট সংখ্যা = $৬+৮+১=১৫$ জন।
তাদের বয়সের গড় = ৩৫ বছর।
সুতরাং, ১৫ জনের মোট বয়স = $১৫\times ৩৫=৫২৫$ বছর।

পুরুষদের সংখ্যা = ৬ জন।
পুরুষদের বয়সের গড় = ৪০ বছর।
পুরুষদের মোট বয়স = $৬\times ৪০=২৪০$ বছর।

স্ত্রীলোকদের সংখ্যা = ৮ জন।
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় = ৩৪ বছর।
স্ত্রীলোকদের মোট বয়স = $৮\times ৩৪=২৭২$ বছর।

পুরুষ এবং স্ত্রীলোকদের মোট বয়স = $২৪০+২৭২=৫১২$ বছর।

বালকের বয়স = (১৫ জনের মোট বয়স) - (পুরুষ এবং স্ত্রীলোকদের মোট বয়স)
= $৫২৫-৫১২$
= ১৩ বছর।

উত্তর: বালকের বয়স ১৩ বছর।