ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে, $1+{\tan }^2\theta =4$.

প্রথম ধাপে, ${\tan }^2\theta$ এর মান বের করি:
${\tan }^2\theta =4-1$
${\tan }^2\theta =3$

দ্বিতীয় ধাপে, $\tan \theta$ এর মান বের করি:
$\tan \theta =\pm \sqrt{3}$

যেহেতু $\theta <{90}^{\circ }$, $\theta$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। প্রথম চতুর্ভাগে $\tan \theta$ এর মান ধনাত্মক হয়। সুতরাং, আমরা কেবল ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করব:
$\tan \theta =\sqrt{3}$

তৃতীয় ধাপে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি যে $\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$.

সুতরাং, $\theta ={60}^{\circ }$.

অতএব, $\theta ={60}^{\circ }$.

ব্যাখ্যাঃ মনে করি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $a=k$, $b=2\sqrt{2}k$, এবং $c=3k$, যেখানে $k$ একটি ধ্রুব সংখ্যা এবং $k>0$.

ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c=3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.

কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k{)}^2=(k{)}^2+(2\sqrt{2}k{)}^2-2(k)(2\sqrt{2}k)\cos C$$$$9k^2=k^2+8k^2-4\sqrt{2}{k}^2\cos C$$$$9k^2=9k^2-4\sqrt{2}{k}^2\cos C$$
$$0=-4\sqrt{2}{k}^2\cos C$$

যেহেতু $k\ne 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C=0$$

আমরা জানি যে $\cos {90}^{\circ }=0$.

সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C={90}^{\circ }$.

অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।

সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে ${90}^{\circ }$ পাওয়া যায়।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $${\sec }^{2}A-{\tan }^{2}A=1$$

এই সূত্রটিকে আমরা $(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$ এর মতো করে লিখতে পারি:
$$(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1$$

আমাদের দেওয়া আছে, $$\sec A+\tan A=\frac{5}{2}$$
সুতরাং, $$\frac{5}{2}(\sec A-\tan A)=1$$
$$\sec A-\tan A=\frac{1}{\frac{5}{2}}$$
$$\sec A-\tan A=\frac{2}{5}$$
সুতরাং, $$\sec A-\tan A=\frac{2}{5}$$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে যে, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\mathrm{\angle }B={90}^{\circ }$।
এবং, $AC=2AB$।

আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

আমরা জানি, $\sin (\theta )=\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

$\mathrm{\angle }C$ এর সাপেক্ষে,
লম্ব = $AB$
অতিভুজ = $AC$

তাহলে, $\sin (\mathrm{\angle }C)=\frac{AB}{AC}$

দেওয়া আছে $AC=2AB$।
সুতরাং, $\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$

তাহলে, $\sin (\mathrm{\angle }C)=\frac{1}{2}$

আমরা জানি যে, $\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$।

অতএব, $\mathrm{\angle }C={30}^{\circ }$।

ব্যাখ্যাঃ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, দুইটি বাহু সমান এবং 90° কোণে অবস্থান করে। যদি এই ত্রিভুজের অতিভুজ $12$ সেমি হয়, তবে আমরা প্রথমে প্রতিটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব। ### ধাপ ১: বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় পাইথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: $$h^2=a^2+a^2$$ যেখানে, - $h=12$ সেমি (অতিভুজ) - $a$ = প্রতিটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য $${12}^2=2a^2$$ $$144=2a^2$$ $$a^2=72$$ $$a=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ সেমি}$$ ### ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, $$A=\frac{1}{2}\times \text{ভূমি}\times \text{উচ্চতা}$$ $$A=\frac{1}{2}\times (6\sqrt{2})\times (6\sqrt{2})$$ $$A=\frac{1}{2}\times 72$$ $$A=36\text{ বর্গ সেমি}$$ ### চূড়ান্ত উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করব। প্রদত্ত: - খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 48 মিটার - খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে ধরি: - খুঁটিটি $x$ মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে - ভাঙ্গার পর খুঁটির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য = $48-x$ মিটার সমাধান: খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে, তাই আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই যেখানে: - লম্ব = $x$ মিটার (খুঁটির ভাঙ্গা অংশের উচ্চতা) - অতিভুজ = $48-x$ মিটার (ভাঙ্গার পর খুঁটির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য) - কোণ = 30° ত্রিকোণমিতি অনুযায়ী, $$\sin (30°)=\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$$ $$\sin (30°)=\frac{x}{48-x}$$ আমরা জানি, $$\sin (30°)=\frac{1}{2}$$ সুতরাং, $$\frac{1}{2}=\frac{x}{48-x}$$ এই সমীকরণটি সমাধান করলে: $$2x=48-x$$ $$2x+x=48$$ $$3x=48$$ $$x=\frac{48}{3}=16$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 16\text{ মিটার}}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত ব্যবহার করে গাছের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি।
বাঁশের ক্ষেত্রে:
উচ্চতা = ৬ ফুট, ছায়া = ৪ ফুট
অতএব, ছায়ার অনুপাত = $\frac{৬}{৪}=১.৫$

গাছের ক্ষেত্রে:
ছায়ার দৈর্ঘ্য = ৬৪ ফুট
তাহলে গাছের উচ্চতা হবে: $$\text{উচ্চতা}=৬৪\times ১.৫=৯৬\text{ ফুট}$$ সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হবে ৯৬ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।

ধরি, খুঁটিটির যে অংশটি মাটি থেকে ভেঙ্গেছে তার উচ্চতা $h_1$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি ভূমিতে যে দূরত্বে স্পর্শ করেছে, সেই দূরত্ব $d$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি (যেটি উপরের দিকে ছিল) অতিভুজ হিসাবে কাজ করবে, ধরি এর দৈর্ঘ্য $h_2$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$h_2^2=h_1^2+d^2$
$h_2^2=5^2+5^2$
$h_2^2=25+25$
$h_2^2=50$
$h_2=\sqrt{50}$
$h_2=\sqrt{25\times 2}$
$h_2=5\sqrt{2}$ মিটার

খুঁটিটির মোট উচ্চতা = ভাঙ্গা অংশের উপরের অংশ ($h_2$) + মাটির উপরের অংশ ($h_1$)
মোট উচ্চতা = $h_1+h_2$
মোট উচ্চতা = $5+5\sqrt{2}$ মিটার।

অতএব, খুঁটিটির উচ্চতা হল $(5+5\sqrt{2})$ মিটার।