ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে, $1 + \tan^2\theta = 4$.

প্রথম ধাপে, $\tan^2\theta$ এর মান বের করি:
$\tan^2\theta = 4 - 1$
$\tan^2\theta = 3$

দ্বিতীয় ধাপে, $\tan\theta$ এর মান বের করি:
$\tan\theta = \pm\sqrt{3}$

যেহেতু $\theta < 90^\circ$, $\theta$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। প্রথম চতুর্ভাগে $\tan\theta$ এর মান ধনাত্মক হয়। সুতরাং, আমরা কেবল ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করব:
$\tan\theta = \sqrt{3}$

তৃতীয় ধাপে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি যে $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

সুতরাং, $\theta = 60^\circ$.

অতএব, $\theta = 60^\circ$.

ব্যাখ্যাঃ মনে করি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $a = k$, $b = 2\sqrt{2}k$, এবং $c = 3k$, যেখানে $k$ একটি ধ্রুব সংখ্যা এবং $k > 0$.

ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c = 3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.

কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k)^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2 - 2(k)(2\sqrt{2}k) \cos C$$$$9k^2 = k^2 + 8k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$$$9k^2 = 9k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
$$0 = -4\sqrt{2}k^2 \cos C$$

যেহেতু $k \neq 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C = 0$$

আমরা জানি যে $\cos 90^\circ = 0$.

সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C = 90^\circ$.

অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।

সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $90^\circ$ পাওয়া যায়।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$\sec^2 A - \tan^2 A = 1$$

এই সূত্রটিকে আমরা \((a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)\) এর মতো করে লিখতে পারি:
$$(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$$

আমাদের দেওয়া আছে, $$\sec A + \tan A = \frac{5}{2}$$
সুতরাং, $$\frac{5}{2} (\sec A - \tan A) = 1$$
$$\sec A - \tan A = \frac{1}{\frac{5}{2}}$$
$$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$
সুতরাং, $$\sec A - \tan A = \frac{2}{5}$$

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে যে, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\angle B = 90^\circ$।
এবং, $AC = 2 AB$।

আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

আমরা জানি, $\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

$\angle C$ এর সাপেক্ষে,
লম্ব = $AB$
অতিভুজ = $AC$

তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{AB}{AC}$

দেওয়া আছে $AC = 2 AB$।
সুতরাং, $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$

তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$

আমরা জানি যে, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$।

অতএব, $\angle C = 30^\circ$।

ব্যাখ্যাঃ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, দুইটি বাহু সমান এবং 90° কোণে অবস্থান করে। যদি এই ত্রিভুজের অতিভুজ \( 12 \) সেমি হয়, তবে আমরা প্রথমে প্রতিটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব। ### ধাপ ১: বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় পাইথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ h^2 = a^2 + a^2 \] যেখানে, - \( h = 12 \) সেমি (অতিভুজ) - \( a \) = প্রতিটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য \[ 12^2 = 2a^2 \] \[ 144 = 2a^2 \] \[ a^2 = 72 \] \[ a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ সেমি} \] ### ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, \[ A = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} \] \[ A = \frac{1}{2} \times (6\sqrt{2}) \times (6\sqrt{2}) \] \[ A = \frac{1}{2} \times 72 \] \[ A = 36 \text{ বর্গ সেমি} \] ### চূড়ান্ত উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করব। প্রদত্ত: - খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 48 মিটার - খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে ধরি: - খুঁটিটি \(x\) মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে - ভাঙ্গার পর খুঁটির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য = \(48 - x\) মিটার সমাধান: খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে, তাই আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই যেখানে: - লম্ব = \(x\) মিটার (খুঁটির ভাঙ্গা অংশের উচ্চতা) - অতিভুজ = \(48 - x\) মিটার (ভাঙ্গার পর খুঁটির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য) - কোণ = 30° ত্রিকোণমিতি অনুযায়ী, \[ \sin(30°) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} \] \[ \sin(30°) = \frac{x}{48 - x} \] আমরা জানি, \[ \sin(30°) = \frac{1}{2} \] সুতরাং, \[ \frac{1}{2} = \frac{x}{48 - x} \] এই সমীকরণটি সমাধান করলে: \[ 2x = 48 - x \] \[ 2x + x = 48 \] \[ 3x = 48 \] \[ x = \frac{48}{3} = 16 \] উত্তর: \[ \boxed{16 \text{ মিটার}} \]

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, মিনারের উচ্চতা = \(x\) মিটার
পাশের চিত্রানুযায়ী,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
⇒ \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{20} \)
⇒ \( x = \frac{20}{\sqrt{3}} \)

অতএব, মিনারের উচ্চতা = \( \frac{20}{\sqrt{3}} \) মিটার।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত ব্যবহার করে গাছের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি।
বাঁশের ক্ষেত্রে:
উচ্চতা = ৬ ফুট, ছায়া = ৪ ফুট
অতএব, ছায়ার অনুপাত = \( \frac{৬}{৪} = ১.৫ \)

গাছের ক্ষেত্রে:
ছায়ার দৈর্ঘ্য = ৬৪ ফুট
তাহলে গাছের উচ্চতা হবে: \[ \text{উচ্চতা} = ৬৪ \times ১.৫ = ৯৬ \text{ ফুট} \] সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হবে ৯৬ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।

ধরি, খুঁটিটির যে অংশটি মাটি থেকে ভেঙ্গেছে তার উচ্চতা $h_1$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি ভূমিতে যে দূরত্বে স্পর্শ করেছে, সেই দূরত্ব $d$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি (যেটি উপরের দিকে ছিল) অতিভুজ হিসাবে কাজ করবে, ধরি এর দৈর্ঘ্য $h_2$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$h_2^2 = h_1^2 + d^2$
$h_2^2 = 5^2 + 5^2$
$h_2^2 = 25 + 25$
$h_2^2 = 50$
$h_2 = \sqrt{50}$
$h_2 = \sqrt{25 \times 2}$
$h_2 = 5\sqrt{2}$ মিটার

খুঁটিটির মোট উচ্চতা = ভাঙ্গা অংশের উপরের অংশ ($h_2$) + মাটির উপরের অংশ ($h_1$)
মোট উচ্চতা = $h_1 + h_2$
মোট উচ্চতা = $5 + 5\sqrt{2}$ মিটার।

অতএব, খুঁটিটির উচ্চতা হল $(5 + 5\sqrt{2})$ মিটার।