ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত মানগুলো লক্ষ্য করি:

E = 10
J = 20
O = 30
T = 40

এখানে একটি প্যাটার্ন দেখা যাচ্ছে - ইংরেজি বর্ণমালার ক্রম অনুযায়ী এই অক্ষরগুলোর অবস্থান এবং তাদের মান:

• E (5th letter) = 5 × 2 = 10
• J (10th letter) = 10 × 2 = 20
• O (15th letter) = 15 × 2 = 30
• T (20th letter) = 20 × 2 = 40

সুতরাং, প্যাটার্নটি হলো: অক্ষরের বর্ণমালার অবস্থান × 2 = মান

এখন B, E, S, T এর মান বের করি:

• B (2nd letter) = 2 × 2 = 4
• E (5th letter) = 5 × 2 = 10
• S (19th letter) = 19 × 2 = 38
• T (20th letter) = 20 × 2 = 40

এখন B + E + S + T = 4 + 10 + 38 + 40 = 92

উত্তর:
$$\boxed{{\displaystyle 92}}$$

ব্যাখ্যাঃ

এখানে সংখ্যাগুলো হলো: ৭, ৮, ০.৩৩, ০.৩১।

এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট সংখ্যাটি হলো ০.৩১।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ঘঃ ০.৩১।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে "চ", "G", "J" এবং "ট" কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা বা মান বহন করে তা উল্লেখ করা নেই। এটি সম্ভবত একটি প্রতীকী ধাঁধা।

যদি আমরা বাংলা বর্ণমালার ক্রম অনুযায়ী অক্ষরগুলোর সাংখ্যিক মান ধরে নেই, তবে:

• চ = ৬ষ্ঠ বর্ণ
• G (ইংরেজি বর্ণমালায়) = ৭ম বর্ণ
• J (ইংরেজি বর্ণমালায়) = ১০ম বর্ণ
• ট = ১৬তম বর্ণ

এই মান অনুযায়ী:

৬ × ৭ = ৪২ (প্রথম সমীকরণটি সিদ্ধ হয়)

তাহলে দ্বিতীয় সমীকরণের মান:

১০ × ১৬ = ১৬০

ব্যাখ্যাঃ

এখানে ইংরেজি বর্ণমালার প্রতিটি অক্ষরকে তার অবস্থান অনুযায়ী সংখ্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়েছে।

• P = 16
• E = 5
• A = 1
• C = 3
• E = 5

সুতরাং, PEACE = 16 5 1 3 5 = 165135

এখন, 1215225 এর জন্য আমরা প্রতিটি সংখ্যাকে তার অনুরূপ অক্ষর দিয়ে প্রতিস্থাপন করব:

• 12 = L
• 15 = O
• 22 = V
• 5 = E

সুতরাং, 12 15 22 5 = LOVE

ব্যাখ্যাঃ

যদি ত্রিভুজের ভিতরে তিনটি সরলরেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে তাহলে ৬টি ছোট ত্রিভুজ উৎপন্ন হবে। আবার ২টি করে মোট ছোট ৬ টি। অর্থাৎ ১৬টি।

ব্যাখ্যাঃ

ধারাটির সংখ্যাগুলো হলো: ৫, ৭, ১০, ১৪, ____, ২৫

আমরা সংখ্যাগুলোর মধ্যেকার পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করি:

• ৭ - ৫ = ২
• ১০ - ৭ = ৩
• ১৪ - ১০ = ৪

পার্থক্যগুলো ক্রমশ ১ করে বাড়ছে। সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্যটি হবে ৫।

অতএব, শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হবে ১৪ + ৫ = ১৯।

এখন আমরা যাচাই করি, ১৯ এর পরের পার্থক্যটি ৬ হওয়া উচিত।

• ২৫ - ১৯ = ৬

সুতরাং, ধারাটির শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হলো ১৯।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, ৫ × ৯ + ৩ = ৪৫ + ৩ = ৪৮

এবং ৭ × ৮ + ৪ = ৫৬ + ৪ = ৬০

তাহলে, ৭ × ৯ + ৫ = ৬৩ + ৫= ৬৮

ব্যাখ্যাঃ

এটি একটি ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারার মতো। ফিবোনাচ্চি ধারায়, প্রতিটি সংখ্যা তার আগের দুটি সংখ্যার যোগফল।

ধারাটি লক্ষ্য করি:

• ৩ + ৫ = ৮
• ৫ + ৮ = ১৩
• ৮ + ১৩ = ২১

সুতরাং, এই ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে তার আগের দুটি সংখ্যার যোগফল, অর্থাৎ ১৩ এবং ২১ এর যোগফল।

পরের সংখ্যা = ১৩ + ২১ = ৩৪

অতএব, ধারাটির পরের সংখ্যাটি হবে ৩৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরি যাত্রা স্থানটি একটি গ্রাফের মূলবিন্দু (0, 0)।

• প্রথম ধাপে ব্যক্তিটি ৫ মাইল পশ্চিমে যায়। সুতরাং, তার অবস্থান হয় (-৫, ০)।
  
• দ্বিতীয় ধাপে ব্যক্তিটি ২ মাইল দক্ষিণে যায়। সুতরাং, তার অবস্থান হয় (-৫, -২)।
  
• তৃতীয় ধাপে ব্যক্তিটি আবার ৫ মাইল পশ্চিমে যায়। সুতরাং, তার চূড়ান্ত অবস্থান হয় (-৫ - ৫, -২) = (-১০, -২)।
  

এখন যাত্রা স্থান (0, 0) থেকে তার সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য, যার দুটি বাহু হল ১০ মাইল এবং ২ মাইল।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য $d$ হবে:

$$d=\sqrt{(-10{)}^2+(-2{)}^2}$$$$d=\sqrt{100+4}$$$$d=\sqrt{104}$$

এখন $\sqrt{104}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে:

$$\sqrt{104}\approx 10.198$$

সুতরাং, যাত্রা স্থান থেকে তার সরাসরি দূরত্ব প্রায় 10.20 মাইল।

ব্যাখ্যাঃ ধরি প্রতিষ্ঠানটির মোট কর্মচারী সংখ্যা $x$।

• আন্ডারগ্রাজুয়েট কর্মচারী সংখ্যা = $x$ এর ৪০% = $0.40x$
  
• অবশিষ্ট কর্মচারী সংখ্যা = $x-0.40x=0.60x$
  
• গ্রাজুয়েট কর্মচারী সংখ্যা = অবশিষ্ট কর্মচারীদের ৫০% = $0.60x$ এর ৫০% = $0.60x\times 0.50=0.30x$
  
• পোস্টগ্রাজুয়েট কর্মচারী সংখ্যা = অবশিষ্ট কর্মচারীদের অবশিষ্ট ৫০% = $0.60x$ এর ৫০% = $0.60x\times 0.50=0.30x$
  

প্রশ্নানুসারে, পোস্টগ্রাজুয়েট কর্মচারীর সংখ্যা ১৮০ জন।

সুতরাং, $0.30x=180$
$x=\frac{180}{0.30}$
$x=\frac{180}{\frac{3}{10}}$
$x=180\times \frac{10}{3}$
$x=60\times 10$
$x=600$

অতএব, প্রতিষ্ঠানটির মোট কর্মচারী সংখ্যা ৬০০ জন।

এখন, গ্রাজুয়েট কর্মচারীর সংখ্যা নির্ণয় করা যাক:

গ্রাজুয়েট কর্মচারী সংখ্যা = $0.30x=0.30\times 600=180$ জন।

সুতরাং, প্রতিষ্ঠানটির ১৮০ জন কর্মচারী গ্রাজুয়েট।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে প্রতিটি অক্ষরের জন্য একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা কোড হিসেবে ব্যবহার করা হয়েছে। প্রদত্ত কোডগুলো বিশ্লেষণ করে আমরা প্রতিটি অক্ষরের জন্য কোড বের করতে পারি:

• R = 6
• O = 8
• S = 2
• E = 1
• C = 7
• H = 3
• A = 4
• I = 5
• P = 9

এখন SEARCH শব্দটির প্রতিটি অক্ষরের জন্য corresponding কোড বসালে আমরা পাই:

• S = 2
• E = 1
• A = 4
• R = 6
• C = 7
• H = 3

সুতরাং, SEARCH-এর কোড হবে 214673।

ব্যাখ্যাঃ প্রথম চিত্রে, উপরের দুটি সংখ্যা ৩ এবং ২। নিচের সংখ্যাটি ১৩। দেখা যাচ্ছে, $3^2+2^2=9+4=13$।

দ্বিতীয় চিত্রে, উপরের দুটি সংখ্যা ৪ এবং ৮। নিচের সংখ্যাটি ৮০। দেখা যাচ্ছে, $4^2+8^2=16+64=80$।

একই নিয়ম অনুসরণ করে তৃতীয় চিত্রে, উপরের দুটি সংখ্যা ১ এবং ৫। প্রশ্নবোধক স্থানে সংখ্যাটি হবে:

$1^2+5^2=1+25=26$

সুতরাং, প্রশ্নবোধক চিহ্নিত স্থানে ২৬ বসবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি:
$x$ = ৫০ টাকার নোটের সংখ্যা
$y$ = ২০ টাকার নোটের সংখ্যা

তাহলে, আমাদের সমীকরণ দাঁড়ায়:
$$50x+20y=510$$
$$5x+2y=51$$

সম্ভাব্য $x$ এর মান খুঁজে বের করা

$x$ এবং $y$ উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।
আমরা $x$ কে বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যা ধরে $y$ বের করার চেষ্টা করব।
$x=1$ হলে,
$$5(1)+2y=51\Rightarrow 2y=46\Rightarrow y=23$$
$x=2$ হলে,
$$5(2)+2y=51\Rightarrow 2y=41\Rightarrow y=20.5(\text{অগ্রহণযোগ্য})$$
$x=3$ হলে,
$$5(3)+2y=51\Rightarrow 2y=36\Rightarrow y=18$$
$x=4$ হলে,
$$5(4)+2y=51\Rightarrow 2y=31\Rightarrow y=15.5(\text{অগ্রহণযোগ্য})$$
$x=5$ হলে,
$$5(5)+2y=51\Rightarrow 2y=26\Rightarrow y=13$$
$x=6$ হলে,
$$5(6)+2y=51\Rightarrow 2y=21\Rightarrow y=10.5(\text{অগ্রহণযোগ্য})$$
- $x=7$ হলে,
$$5(7)+2y=51\Rightarrow 2y=16\Rightarrow y=8$$
- $x=8$ হলে,
$$5(8)+2y=51\Rightarrow 2y=11\Rightarrow y=5.5(\text{অগ্রহণযোগ্য})$$
$x=9$ হলে,
$$5(9)+2y=51\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3$$
$x=10$ হলে,
$$5(10)+2y=51\Rightarrow 2y=1\Rightarrow y=0.5(\text{অগ্রহণযোগ্য})$$

সুতরাং, গ্রহণযোগ্য সমাধান রয়েছে ৪টি উপায়ে:

1. $(x=1,y=23)$
   
2. $(x=3,y=18)$
   
3. $(x=5,y=13)$
   
4. $(x=7,y=8)$
   
5. $(x=9,y=3)$
   

ব্যক্তির অনুরোধ ৫ প্রকারে রক্ষা করা সম্ভব।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত গুণফল নির্ণয় করবো:
$$0.1\times 3.33\times 7.1$$

ধাপে ধাপে গুণফল:

প্রথমে,
$$0.1\times 3.33=0.333$$
এরপর,
$$0.333\times 7.1=2.3643$$

উত্তর: খঃ $2.36$

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, ১ম ত্রিভুজে = (৮ × ৪) + ৭ = ৩২ + ৭ = ৩৯ ২য় ত্রিভুজে = (৩ × ৬) + ৯ = ১৮ + ৯ = ২৭ ৩য় ত্রিভুজে = (৭ × ৯) + 5 = 63 + ৫ = ৬৮

ব্যাখ্যাঃ $$\begin{array}{rl}১\times .০১\times .০০১& =১\times \frac{১}{১০০}\times \frac{১}{১০০০}\\ & =\frac{১\times ১\times ১}{১০০\times ১০০০}\\ & =\frac{১}{১০০০০০}\\ & =০.০০০০০১\end{array}$$

সুতরাং, $১\times .০১\times .০০১=০.০০০০০১$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি একটি প্যাটার্ন খোঁজার উপর ভিত্তি করে তৈরি।

দেওয়া আছে:
$৯\times ৭=৩৫৪৫$
$৪\times ৩=১৫২০$

এবং সমাধান চাওয়া হয়েছে:
$৬\times ৮=?$

চলুন, প্যাটার্নটি বের করার চেষ্টা করি:

প্রথম উদাহরণ: $৯\times ৭=৩৫৪৫$
লক্ষ্য করুন:
$৫\times ৭=৩৫$ (প্রথম দুটি অঙ্ক)
$৫\times ৯=৪৫$ (শেষ দুটি অঙ্ক)

দ্বিতীয় উদাহরণ: $৪\times ৩=১৫২০$
লক্ষ্য করুন:
$৫\times ৩=১৫$ (প্রথম দুটি অঙ্ক)
$৫\times ৪=২০$ (শেষ দুটি অঙ্ক)

প্যাটার্নটি স্পষ্ট:
যদি $A\times B$ থাকে, তাহলে ফলাফলটি হবে $(5\times B)(5\times A)$
অর্থাৎ, প্রথম দুটি অঙ্ক হবে দ্বিতীয় সংখ্যাকে $৫$ দিয়ে গুণ করে প্রাপ্ত ফল, এবং শেষ দুটি অঙ্ক হবে প্রথম সংখ্যাকে $৫$ দিয়ে গুণ করে প্রাপ্ত ফল।

এখন এই প্যাটার্নটি $৬\times ৮$ এর জন্য প্রয়োগ করি:

$৬\times ৮=?$
প্রথম দুটি অঙ্ক: $৫\times ৮=৪০$
শেষ দুটি অঙ্ক: $৫\times ৬=৩০$

সুতরাং, $৬\times ৮=৪০৩০$।

ব্যাখ্যাঃ এই গুণফলটি নির্ণয় করতে, প্রথমে সংখ্যাগুলোকে দশমিক ছাড়া গুণ করব, তারপর দশমিক বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণ করব।

সংখ্যাগুলো হলো: $0.4$, $0.02$, $0.08$

দশমিক ছাড়া সংখ্যাগুলো: $4$, $2$, $8$

এদের গুণফল: $4\times 2\times 8=8\times 8=64$

এবার দশমিক বিন্দুর পরের অঙ্কগুলো গণনা করি:
$0.4$ এ দশমিকের পর ১টি অঙ্ক আছে।
$0.02$ এ দশমিকের পর ২টি অঙ্ক আছে।
$0.08$ এ দশমিকের পর ২টি অঙ্ক আছে।

মোট দশমিক স্থানের সংখ্যা $=1+2+2=5$ টি।

এখন $64$ এর বাম দিকে প্রয়োজনীয় সংখ্যক শূন্য বসিয়ে মোট ৫টি দশমিক স্থান পূরণ করতে হবে:
$0.00064$

সুতরাং, $0.4\times 0.02\times 0.08=0.00064$।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা একটি সমীকরণ তৈরি করব।

ধরি, ৫-এর $x\mathrm{\%}$ হলো ৭।
তাহলে, $5\times \frac{x}{100}=7$

এখন $x$-এর মান বের করি:
$\frac{5x}{100}=7$
$\frac{x}{20}=7$
$x=7\times 20$
$x=140$

সুতরাং, ৫-এর ১৪০ শতাংশ ৭ হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত গুণফলটি নির্ণয় করি:
$০.৪\times ০.০২\times ০.০৮$

প্রথমে সংখ্যাগুলোকে গুণ করি দশমিক বিন্দু ছাড়া:
$4\times 2\times 8=8\times 8=64$

এখন দশমিক বিন্দুর পর মোট কতটি অঙ্ক আছে তা গণনা করি:
$০.৪\to$ দশমিকের পর ১টি অঙ্ক
$০.০২\to$ দশমিকের পর ২টি অঙ্ক
$০.০৮\to$ দশমিকের পর ২টি অঙ্ক
মোট = $১+২+২=৫$টি অঙ্ক

সুতরাং, গুণফলের ফলাফলে দশমিক বিন্দুর পর ৫টি অঙ্ক থাকতে হবে।
$64$ এর বামদিকে শূন্য বসিয়ে ৫টি অঙ্ক পূরণ করি এবং দশমিক বসাই:
$০.০০০৬৪$

সুতরাং, $০.৪\times ০.০২\times ০.০৮=০.০০০৬৪$।

ব্যাখ্যাঃ ইংরেজি বর্ণমালার ১৮তম অক্ষরটি হলো R।

এখন, R এর বামদিকে ১০ম অক্ষরটি বের করতে হলে আমাদের ১৮ থেকে ১০ বিয়োগ করতে হবে:
$১৮-১০=৮$

ইংরেজি বর্ণমালার ৮ম অক্ষরটি হলো H।

সুতরাং, ১৮তম অক্ষরের বামদিকে ১০ম অক্ষরটি হলো H।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি দুটি ভিন্ন প্যাটার্নের সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত। আমরা ধারাটিকে জোড় এবং বিজোড় স্থানের সংখ্যা অনুযায়ী আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করতে পারি।

১. বিজোড় স্থানের সংখ্যাগুলো (১ম, ৩য়, ৫ম, ৭ম, ৯ম পদ):
৩, ৯, ২৭, ৮১, ২৪৩
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে প্রতিটি সংখ্যাকে ৩ দ্বারা গুণ করে পরের সংখ্যাটি পাওয়া যাচ্ছে:
$৩\times ৩=৯$
$৯\times ৩=২৭$
$২৭\times ৩=৮১$
$৮১\times ৩=২৪৩$

২. জোড় স্থানের সংখ্যাগুলো (২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ, ৮ম, ১০ম পদ):
১০, ৮, ৬, ৪, ?
এই ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যেখানে প্রতিটি সংখ্যা থেকে ২ বিয়োগ করে পরের সংখ্যাটি পাওয়া যাচ্ছে:
$১০-২=৮$
$৮-২=৬$
$৬-২=৪$

যেহেতু প্রশ্নবোধক চিহ্নটি ধারার ১০ম স্থানে (একটি জোড় স্থান) রয়েছে, তাই এটি দ্বিতীয় ধারার পরের সংখ্যাটি হবে।
দ্বিতীয় ধারার শেষ সংখ্যাটি হলো ৪। তাই, পরের সংখ্যাটি হবে:
$৪-২=২$

সুতরাং, প্রশ্নবোধক স্থানে ২ বসবে।

পূর্ণাঙ্গ ধারাটি হবে: $৩,১০,৯,৮,২৭,৬,৮১,৪,২৪৩,২$।

ব্যাখ্যাঃ এখানে সংখ্যাগুলির একটি প্যাটার্ন অনুসরণ করা হয়েছে:

প্রথম সংখ্যা: 2
দ্বিতীয় সংখ্যা: $\sqrt{9}=3$
তৃতীয় সংখ্যা: 4
চতুর্থ সংখ্যা: $\sqrt{25}=5$

প্যাটার্নটি লক্ষ্য করলে দেখা যাচ্ছে যে, একটি পূর্ণসংখ্যা এবং তারপরের পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল নেওয়া হচ্ছে, এবং এই ধারাটি 2 থেকে শুরু হচ্ছে।

$2\to \text{পরের সংখ্যা 3 এর বর্গমূল}$
$4\to \text{পরের সংখ্যা 5 এর বর্গমূল}$

তাহলে, প্যাটার্ন অনুযায়ী পরবর্তী পূর্ণসংখ্যাটি হবে 6।
সুতরাং, প্রশ্নবোধক স্থানে $\sqrt{36}$ বসবে।

$\sqrt{36}=6$

সুতরাং, প্রশ্নবোধক স্থানের সংখ্যাটি হবে 6।

ব্যাখ্যাঃ

চিত্র অনুসারে , ত্রিভুজগুলো হলো ∆ABC, ∆ABD, ∆ACD, ∆AOB ∆AOC , ∆COD এবং ∆BOC। সুতরাং মোট ত্রিভুজ ৮টি।

ব্যাখ্যাঃ সমাধান:
প্রদত্ত নম্বর সিরিজটি হলো:
১, ২, ৮, ৪৮, ৩৮৪, ......

এই সিরিজের প্যাটার্নটি লক্ষ্য করি:
প্রথম পদ = ১
দ্বিতীয় পদ = $১\times ২=২$
তৃতীয় পদ = $২\times ৪=৮$
চতুর্থ পদ = $৮\times ৬=৪৮$
পঞ্চম পদ = $৪৮\times ৮=৩৮৪$

এখানে দেখা যাচ্ছে যে, প্রতিটি পদ তার পূর্ববর্তী পদের সাথে একটি জোড় সংখ্যা গুণ করে পাওয়া যাচ্ছে। এই জোড় সংখ্যাগুলো হলো ২, ৪, ৬, ৮...।

তাহলে, পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি হবে ১০।
সুতরাং, ষষ্ঠ পদটি হবে:
৩৮৪ $\times$ ১০ = ৩৮৪০

নিচের নম্বর সিরিজে ৩৮৪০ বসবে।

ব্যাখ্যাঃ সমাধান:

আপনার কাছে যা আছে:
পাঁচটি আধুলি = $5\times 50$ পয়সা = 250 পয়সা
আটটা সিকি = $8\times 25$ পয়সা = 200 পয়সা
মোট = $250+200=450$ পয়সা

৫ টাকা = $5\times 100$ পয়সা = 500 পয়সা

১০ পয়সার মুদ্রা দিয়ে প্রয়োজন:
$500-450=50$ পয়সা

প্রয়োজনীয় ১০ পয়সার মুদ্রা সংখ্যা:
$50÷10=5$টি

সুতরাং, আরও ৫টি ১০ পয়সার মুদ্রা দিলে মোট ৫ টাকা হবে।

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, ১২ এর $x$ শতাংশ ১৮ হবে।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
$১২\times \frac{x}{১০০}=১৮$

এখন $x$ এর মান বের করি:
$\frac{১২x}{১০০}=১৮$
$১২x=১৮\times ১০০$
$১২x=১৮০০$
$x=\frac{১৮০০}{১২}$
$x=১৫০$

সুতরাং, ১২ এর ১৫০ শতাংশ ১৮ হবে।