১. একটি সভায় ১৫ জন লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
২১০
১০৫
২২৫
১৯৬
ব্যাখ্যাঃ কোনো \( n \) সংখ্যক লোক যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হয়: \[ \text{Total Handshakes} = \frac{n(n-1)}{2} \] যেখানে \( n \) হলো উপস্থিত ব্যক্তির সংখ্যা। এখানে: \[ n = 15 \] তাহলে, \[ \text{Total Handshakes} = \frac{15 \times 14}{2} = \frac{210}{2} = 105 \] অতএব, মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে ১০৫টি।
২৪
২৫
৩০
৬০
ব্যাখ্যাঃ ধরি, অনুষ্ঠানে মোট $n$ জন লোক উপস্থিত ছিল।
প্রত্যেক ব্যক্তি অন্য $(n-1)$ জনের সাথে করমর্দন করতে পারবে। যদি আমরা প্রত্যেক ব্যক্তির করমর্দনের সংখ্যা গুণ করি, তাহলে মোট $n(n-1)$ টি করমর্দন হওয়ার কথা।
কিন্তু, এই পদ্ধতিতে প্রতিটি করমর্দনকে দুইবার গণনা করা হয়েছে (যেমন, A এবং B এর মধ্যে করমর্দনকে A এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার এবং B এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার গণনা করা হয়েছে)।
সুতরাং, প্রকৃত করমর্দনের সংখ্যা হবে $\frac{n(n-1)}{2}$।
প্রশ্নানুসারে, করমর্দনের সংখ্যা ৩০০। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{n(n-1)}{2} = 300$$
$$n(n-1) = 300 \times 2$$
$$n(n-1) = 600$$
$$n^2 - n - 600 = 0$$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করতে পারি অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। উৎপাদকের জন্য, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল -৬০০ এবং যোগফল -১। সংখ্যা দুটি হল -২৫ এবং ২৪।
$$n^2 - 25n + 24n - 600 = 0$$
$$n(n - 25) + 24(n - 25) = 0$$
$$(n - 25)(n + 24) = 0$$
সুতরাং, $n - 25 = 0$ অথবা $n + 24 = 0$.
যদি $n - 25 = 0$, তাহলে $n = 25$.
যদি $n + 24 = 0$, তাহলে $n = -24$.
যেহেতু লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = 25$.
অতএব, ঐ অনুষ্ঠানে মোট ২৫ জন লোক ছিল।
প্রত্যেক ব্যক্তি অন্য $(n-1)$ জনের সাথে করমর্দন করতে পারবে। যদি আমরা প্রত্যেক ব্যক্তির করমর্দনের সংখ্যা গুণ করি, তাহলে মোট $n(n-1)$ টি করমর্দন হওয়ার কথা।
কিন্তু, এই পদ্ধতিতে প্রতিটি করমর্দনকে দুইবার গণনা করা হয়েছে (যেমন, A এবং B এর মধ্যে করমর্দনকে A এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার এবং B এর দৃষ্টিকোণ থেকে একবার গণনা করা হয়েছে)।
সুতরাং, প্রকৃত করমর্দনের সংখ্যা হবে $\frac{n(n-1)}{2}$।
প্রশ্নানুসারে, করমর্দনের সংখ্যা ৩০০। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{n(n-1)}{2} = 300$$
$$n(n-1) = 300 \times 2$$
$$n(n-1) = 600$$
$$n^2 - n - 600 = 0$$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করতে পারি অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। উৎপাদকের জন্য, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল -৬০০ এবং যোগফল -১। সংখ্যা দুটি হল -২৫ এবং ২৪।
$$n^2 - 25n + 24n - 600 = 0$$
$$n(n - 25) + 24(n - 25) = 0$$
$$(n - 25)(n + 24) = 0$$
সুতরাং, $n - 25 = 0$ অথবা $n + 24 = 0$.
যদি $n - 25 = 0$, তাহলে $n = 25$.
যদি $n + 24 = 0$, তাহলে $n = -24$.
যেহেতু লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = 25$.
অতএব, ঐ অনুষ্ঠানে মোট ২৫ জন লোক ছিল।
৩. ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
[ বিসিএস ৪১তম ]
১০
১৫
২৫
৩০
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, ৫ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(5, 1) = \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4!}{1 \times 4!} = 5$$
এরপর, ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(4, 2) = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{12}{2} = 6$$
মোট কমিটি গঠনের উপায় সংখ্যা হল পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা এবং মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যার গুণফল:
মোট প্রকার = $5 \times 6 = 30$
সুতরাং, ৩০ প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে।
$$C(5, 1) = \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4!}{1 \times 4!} = 5$$
এরপর, ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা:
$$C(4, 2) = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{12}{2} = 6$$
মোট কমিটি গঠনের উপায় সংখ্যা হল পুরুষ নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা এবং মহিলা নির্বাচন করার উপায় সংখ্যার গুণফল:
মোট প্রকার = $5 \times 6 = 30$
সুতরাং, ৩০ প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে।
৪. ৬ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?
[ বিসিএস ৪০তম ]
১০
২০
৬০
১২০
ব্যাখ্যাঃ \[\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2} = 20 \text{ উপায়ে}\]
৫. $$^nC_{12}~=~^{n}C_{6}$$ হলে $$n$$ এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৯তম ]
$$12$$
$$14$$
$$16$$
$$18$$
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $^nC_r = ^nC_k$ হলে, হয় $r=k$ অথবা $n=r+k$।
এখানে, $^nC_{12} = ^nC_6$ দেওয়া আছে।
প্রথম শর্ত অনুযায়ী, $12 = 6$, যা সম্ভব নয়।
দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী, $n = 12 + 6$
$n = 18$
সুতরাং, $n$ এর মান হলো $18$।
এখানে, $^nC_{12} = ^nC_6$ দেওয়া আছে।
প্রথম শর্ত অনুযায়ী, $12 = 6$, যা সম্ভব নয়।
দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী, $n = 12 + 6$
$n = 18$
সুতরাং, $n$ এর মান হলো $18$।
210
304
84
120
ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি হলো: ৪ জন মহিলা ও ৬ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদা উপস্থিত থাকবেন।
প্রথমে মোট সদস্য সংখ্যা থেকে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষকে বাদ দিতে হবে, কারণ তিনি কমিটিতে থাকবেনই।
কমিটিতে মোট সদস্য সংখ্যা = ৪ জন।
যেহেতু ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ কমিটিতে থাকবেনই, তাই বাকি (৪ - ১) = ৩ জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে।
এই ৩ জন সদস্যকে অবশিষ্ট ৪ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ (যারা নির্দিষ্ট পুরুষ নন) এর মধ্য থেকে নির্বাচন করতে হবে।
অর্থাৎ, মোট উপলব্ধ সদস্য = ৪ জন মহিলা + ৫ জন পুরুষ = ৯ জন।
এই ৯ জন থেকে ৩ জন সদস্য কত প্রকারে নির্বাচন করা যায় তা নির্ণয় করতে হবে। এটি হবে ${}^9C_3$।
${}^9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$
সুতরাং, কমিটিটি ৮৪ প্রকারে গঠন করা যেতে পারে।
প্রথমে মোট সদস্য সংখ্যা থেকে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষকে বাদ দিতে হবে, কারণ তিনি কমিটিতে থাকবেনই।
- মোট পুরুষ = ৬ জন
- নির্দিষ্ট পুরুষ যিনি কমিটিতে থাকবেন = ১ জন
- অবশিষ্ট পুরুষ = ৬ - ১ = ৫ জন
কমিটিতে মোট সদস্য সংখ্যা = ৪ জন।
যেহেতু ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ কমিটিতে থাকবেনই, তাই বাকি (৪ - ১) = ৩ জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে।
এই ৩ জন সদস্যকে অবশিষ্ট ৪ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ (যারা নির্দিষ্ট পুরুষ নন) এর মধ্য থেকে নির্বাচন করতে হবে।
অর্থাৎ, মোট উপলব্ধ সদস্য = ৪ জন মহিলা + ৫ জন পুরুষ = ৯ জন।
এই ৯ জন থেকে ৩ জন সদস্য কত প্রকারে নির্বাচন করা যায় তা নির্ণয় করতে হবে। এটি হবে ${}^9C_3$।
${}^9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$
সুতরাং, কমিটিটি ৮৪ প্রকারে গঠন করা যেতে পারে।
৭. 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
170
182
190
192
ব্যাখ্যাঃ ১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় (একই রকম) এবং বাকি ($১০-২=৮$) টি ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি করে বাছাই করতে হবে।
এখানে আমরা দুটি ক্ষেত্র বিবেচনা করতে পারি:
ক্ষেত্র ১: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় জিনিস ২টিই আছে।
যদি এক জাতীয় ২টি জিনিস নেওয়া হয়, তাহলে বাকি $৫-২=৩$ টি জিনিস নিতে হবে ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে।
এটি করার উপায় হলো: $\binom{8}{3}$
$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ প্রকার।
ক্ষেত্র ২: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় কোনো জিনিস নেই (বা এক জাতীয় জিনিস ১টি আছে, যা এক্ষেত্রে ভিন্ন হিসেবে গণ্য হবে না কারণ তারা একই রকম)। অর্থাৎ, ৫টি জিনিসই ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস এবং এক জাতীয় ২টির মধ্যে থেকে ১টি নিয়ে মোট ৯টি ভিন্ন জিনিস থেকে নেওয়া হবে।
এটি আরও সহজভাবে ভাবা যায় যে, এক জাতীয় দুটি জিনিস থেকে ১টি (বা ০টি) নিয়ে এবং বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে বাকিগুলো নিয়ে।
আসুন অন্যভাবে চিন্তা করি, মোট ১০টি জিনিসকে দুটি ভাগে ভাগ করি:
আমাদের ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।
কেস ১: উভয় এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়েছে।
যদি $E_1, E_2$ উভয়ই নেওয়া হয়, তাহলে আর $5-2=3$টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
কেস ২: এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি বাছাই করা হয়েছে।
যদি এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি নেওয়া হয় (যেহেতু $E_1, E_2$ একই রকম, তাই একটি নেওয়া মানে "এক জাতীয় জিনিস" থেকে একটি নেওয়া), তাহলে আর $5-1=4$টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$
কেস ৩: কোনো এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়নি।
যদি কোনো এক জাতীয় জিনিস না নেওয়া হয়, তাহলে ৫টি জিনিসই বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $\binom{8}{5} = \binom{8}{8-5} = \binom{8}{3} = 56$
মোট বাছাই করার উপায় = (কেস ১ এর উপায়) + (কেস ২ এর উপায়) + (কেস ৩ এর উপায়)
মোট উপায় = $56 + 70 + 56 = 182$
সুতরাং, জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি নিয়ে ১৮২ প্রকারে বাছাই করা যায়।
এখানে আমরা দুটি ক্ষেত্র বিবেচনা করতে পারি:
ক্ষেত্র ১: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় জিনিস ২টিই আছে।
যদি এক জাতীয় ২টি জিনিস নেওয়া হয়, তাহলে বাকি $৫-২=৩$ টি জিনিস নিতে হবে ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে।
এটি করার উপায় হলো: $\binom{8}{3}$
$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ প্রকার।
ক্ষেত্র ২: বাছাইকৃত ৫টি জিনিসের মধ্যে এক জাতীয় কোনো জিনিস নেই (বা এক জাতীয় জিনিস ১টি আছে, যা এক্ষেত্রে ভিন্ন হিসেবে গণ্য হবে না কারণ তারা একই রকম)। অর্থাৎ, ৫টি জিনিসই ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস এবং এক জাতীয় ২টির মধ্যে থেকে ১টি নিয়ে মোট ৯টি ভিন্ন জিনিস থেকে নেওয়া হবে।
এটি আরও সহজভাবে ভাবা যায় যে, এক জাতীয় দুটি জিনিস থেকে ১টি (বা ০টি) নিয়ে এবং বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে বাকিগুলো নিয়ে।
আসুন অন্যভাবে চিন্তা করি, মোট ১০টি জিনিসকে দুটি ভাগে ভাগ করি:
- এক জাতীয় জিনিস: $E_1, E_2$ (যেখানে $E_1$ এবং $E_2$ একই রকম)
- ভিন্ন ভিন্ন জিনিস: $D_1, D_2, D_3, D_4, D_5, D_6, D_7, D_8$ (মোট ৮টি)
আমাদের ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।
কেস ১: উভয় এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়েছে।
যদি $E_1, E_2$ উভয়ই নেওয়া হয়, তাহলে আর $5-2=3$টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
কেস ২: এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি বাছাই করা হয়েছে।
যদি এক জাতীয় জিনিস থেকে একটি নেওয়া হয় (যেহেতু $E_1, E_2$ একই রকম, তাই একটি নেওয়া মানে "এক জাতীয় জিনিস" থেকে একটি নেওয়া), তাহলে আর $5-1=4$টি জিনিস বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$
কেস ৩: কোনো এক জাতীয় জিনিস বাছাই করা হয়নি।
যদি কোনো এক জাতীয় জিনিস না নেওয়া হয়, তাহলে ৫টি জিনিসই বাছাই করতে হবে বাকি ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
এই বাছাইয়ের উপায়: $\binom{8}{5} = \binom{8}{8-5} = \binom{8}{3} = 56$
মোট বাছাই করার উপায় = (কেস ১ এর উপায়) + (কেস ২ এর উপায়) + (কেস ৩ এর উপায়)
মোট উপায় = $56 + 70 + 56 = 182$
সুতরাং, জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি নিয়ে ১৮২ প্রকারে বাছাই করা যায়।
৮. 12টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
252
792
224
120
ব্যাখ্যাঃ গণিতটি নিচে সমাধান করা হলো:
মোট পুস্তক সংখ্যা = ১২টি
বাছাই করতে হবে = ৫টি
শর্ত: ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
যেহেতু ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তার মানে এই ২টি পুস্তক আমরা ইতিমধ্যেই বাছাই করে ফেলেছি।
তাহলে,
অবশিষ্ট পুস্তক যা থেকে বাছাই করতে হবে = $১২ - ২ = ১০$টি
অবশিষ্ট যতগুলো পুস্তক বাছাই করতে হবে = $৫ - ২ = ৩$টি
এখন, বাকি ১০টি পুস্তক থেকে ৩টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায়, তা নির্ণয় করতে হবে। এটি বিন্যাস নয়, সমাবেশ (combination) কারণ এখানে বাছাইয়ের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
সূত্র: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
এখানে, $n = ১০$ এবং $r = ৩$।
$C(১০, ৩) = \frac{১০!}{৩!(১০-৩)!}$
$= \frac{১০!}{৩!৭!}$
$= \frac{১০ \times ৯ \times ৮ \times ৭!}{৩ \times ২ \times ১ \times ৭!}$
$= \frac{১০ \times ৯ \times ৮}{৩ \times ২ \times ১}$
$= \frac{৭২০}{৬}$
$= ১২০$
সুতরাং, ১২টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তা ১২০ প্রকারে বাছাই করা যায়।
মোট পুস্তক সংখ্যা = ১২টি
বাছাই করতে হবে = ৫টি
শর্ত: ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
যেহেতু ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তার মানে এই ২টি পুস্তক আমরা ইতিমধ্যেই বাছাই করে ফেলেছি।
তাহলে,
অবশিষ্ট পুস্তক যা থেকে বাছাই করতে হবে = $১২ - ২ = ১০$টি
অবশিষ্ট যতগুলো পুস্তক বাছাই করতে হবে = $৫ - ২ = ৩$টি
এখন, বাকি ১০টি পুস্তক থেকে ৩টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায়, তা নির্ণয় করতে হবে। এটি বিন্যাস নয়, সমাবেশ (combination) কারণ এখানে বাছাইয়ের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
সূত্র: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
এখানে, $n = ১০$ এবং $r = ৩$।
$C(১০, ৩) = \frac{১০!}{৩!(১০-৩)!}$
$= \frac{১০!}{৩!৭!}$
$= \frac{১০ \times ৯ \times ৮ \times ৭!}{৩ \times ২ \times ১ \times ৭!}$
$= \frac{১০ \times ৯ \times ৮}{৩ \times ২ \times ১}$
$= \frac{৭২০}{৬}$
$= ১২০$
সুতরাং, ১২টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তা ১২০ প্রকারে বাছাই করা যায়।
৯. 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
[ বিসিএস ৩৫তম ]
728
286
364
1001
ব্যাখ্যাঃ এখানে ১৪ জন খেলোয়াড় আছেন এবং একটি ১১ জনের ক্রিকেট দল বাছাই করতে হবে। প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে, নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ দল গঠন করতে হবে।
এর অর্থ হলো, অধিনায়কের পদটি নির্দিষ্ট হয়ে আছে এবং তাকে দলে অবশ্যই নিতে হবে।
সুতরাং, আমাদের আর ১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন বাছাই করার দরকার নেই। আমরা জানি, একজন অধিনায়ক ইতিমধ্যেই নির্বাচিত হয়ে গেছেন।
এখন, বাকি থাকবে $১১ - ১ = ১০$ জন খেলোয়াড়কে বাছাই করা।
আর উপলব্ধ খেলোয়াড় থাকবে $১৪ - ১ = ১৩$ জন (কারণ নির্দিষ্ট একজন খেলোয়াড়কে (অধিনায়ক) আলাদা করে রাখা হয়েছে)।
তাহলে, ১৩ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে ১০ জন খেলোয়াড়কে কতভাবে বাছাই করা যাবে, সেটিই নির্ণয় করতে হবে। এটি সমাবেশের (combination) একটি সমস্যা, কারণ খেলোয়াড়দের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
সূত্রটি হলো $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
এখানে $n = ১৩$ (মোট উপলব্ধ খেলোয়াড়) এবং $k = ১০$ (বাছাই করার মতো খেলোয়াড়)।
$C(১৩, ১০) = \frac{১৩!}{১০!(১৩-১০)!}$
$= \frac{১৩!}{১০!৩!}$
$= \frac{১৩ \times ১২ \times ১১ \times ১০!}{১০! \times ৩ \times ২ \times ১}$
$= \frac{১৩ \times ১২ \times ১১}{৩ \times ২ \times ১}$
$= \frac{১৩ \times ১২ \times ১১}{৬}$
এখন, ১২ কে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ২ হয়:
$= ১৩ \times ২ \times ১১$
$= ২৬ \times ১১$
$= ২৮৬$
সুতরাং, নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ক্রিকেট দল ২৮৬ ভাবে বাছাই করা যাবে।
এর অর্থ হলো, অধিনায়কের পদটি নির্দিষ্ট হয়ে আছে এবং তাকে দলে অবশ্যই নিতে হবে।
সুতরাং, আমাদের আর ১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন বাছাই করার দরকার নেই। আমরা জানি, একজন অধিনায়ক ইতিমধ্যেই নির্বাচিত হয়ে গেছেন।
এখন, বাকি থাকবে $১১ - ১ = ১০$ জন খেলোয়াড়কে বাছাই করা।
আর উপলব্ধ খেলোয়াড় থাকবে $১৪ - ১ = ১৩$ জন (কারণ নির্দিষ্ট একজন খেলোয়াড়কে (অধিনায়ক) আলাদা করে রাখা হয়েছে)।
তাহলে, ১৩ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে ১০ জন খেলোয়াড়কে কতভাবে বাছাই করা যাবে, সেটিই নির্ণয় করতে হবে। এটি সমাবেশের (combination) একটি সমস্যা, কারণ খেলোয়াড়দের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
সূত্রটি হলো $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
এখানে $n = ১৩$ (মোট উপলব্ধ খেলোয়াড়) এবং $k = ১০$ (বাছাই করার মতো খেলোয়াড়)।
$C(১৩, ১০) = \frac{১৩!}{১০!(১৩-১০)!}$
$= \frac{১৩!}{১০!৩!}$
$= \frac{১৩ \times ১২ \times ১১ \times ১০!}{১০! \times ৩ \times ২ \times ১}$
$= \frac{১৩ \times ১২ \times ১১}{৩ \times ২ \times ১}$
$= \frac{১৩ \times ১২ \times ১১}{৬}$
এখন, ১২ কে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ২ হয়:
$= ১৩ \times ২ \times ১১$
$= ২৬ \times ১১$
$= ২৮৬$
সুতরাং, নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ক্রিকেট দল ২৮৬ ভাবে বাছাই করা যাবে।
১০. ২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
[ বিসিএস ২৩তম ]
২০
১৯০
৩৮০
৭৬০
ব্যাখ্যাঃ আমরা ২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করার উপায় গণনা করব।
--- ### ধাপ ১: পদ্ধতি নির্ধারণ এটি বিন্যাস (Permutation) সমস্যা, কারণ অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক ভিন্ন ব্যক্তি হতে হবে এবং তাদের অবস্থান গুরুত্বপূর্ণ। ### ধাপ ২: বিন্যাস সূত্র প্রয়োগ কোনো \( n \) সংখ্যক বস্তু থেকে \( r \) সংখ্যক বস্তু ক্রম অনুসারে বাছাই করার উপায় হলো: \[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \] এখানে, - \( n = 20 \) (মোট সদস্য), - \( r = 2 \) (২টি ভিন্ন পদ: অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক)। তাহলে, \[ P(20, 2) = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} \] \[ = 20 \times 19 = 380 \] --- ### উত্তর: অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করার উপায় ৩৮০টি
--- ### ধাপ ১: পদ্ধতি নির্ধারণ এটি বিন্যাস (Permutation) সমস্যা, কারণ অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক ভিন্ন ব্যক্তি হতে হবে এবং তাদের অবস্থান গুরুত্বপূর্ণ। ### ধাপ ২: বিন্যাস সূত্র প্রয়োগ কোনো \( n \) সংখ্যক বস্তু থেকে \( r \) সংখ্যক বস্তু ক্রম অনুসারে বাছাই করার উপায় হলো: \[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \] এখানে, - \( n = 20 \) (মোট সদস্য), - \( r = 2 \) (২টি ভিন্ন পদ: অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক)। তাহলে, \[ P(20, 2) = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} \] \[ = 20 \times 19 = 380 \] --- ### উত্তর: অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করার উপায় ৩৮০টি