ব্যাখ্যাঃ সিলিন্ডারের তলগুলির মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: $$\text{মোট ক্ষেত্রফল}=2\pi r^2+2\pi rh$$

যেখানে,

• ( r = 2 ) সেমি (ব্যাসার্ধ),
• ( h = 6 ) সেমি (উচ্চতা)।

গণনা: $$=2\pi (2{)}^2+2\pi (2)(6)$$ $$=2\pi \times 4+2\pi \times 12$$ $$=8\pi +24\pi$$ $$=32\pi$$ উত্তর:

ব্যাখ্যাঃ ৪ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, প্রথমে আমাদের বৃত্তটির ব্যাসার্ধ বের করতে হবে।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $d$ নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$$ যেখানে $a$ হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।

এখানে, $a=4$ সেমি। সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য: $$d=4\sqrt{2}\text{ সেমি}$$ যেহেতু বৃত্তের ব্যাস বর্গক্ষেত্রের কর্ণের সমান, বৃত্তের ব্যাস $D=4\sqrt{2}$ সেমি।

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ হবে ব্যাসের অর্ধেক: $$r=\frac{D}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ সেমি}$$ এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল $A$ নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$A=\pi r^2$$ এখানে, $r=2\sqrt{2}$ সেমি। সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল: $$A=\pi (2\sqrt{2}{)}^2=\pi (4\times 2)=8\pi \text{ বর্গ সেমি}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হল:
$$s=r\theta$$
যেখানে $s$ হল বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং $\theta$ হল কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (রেডিয়ানে)।

আমাদের দেওয়া আছে:
কেন্দ্রের কোণ, $\theta ={60}^{\circ }$
বৃত্তের ব্যাস = 12 cm
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{12}{2}=6$ cm

প্রথমে, কোণটিকে রেডিয়ানে পরিবর্তন করতে হবে:
$$\theta (\text{রেডিয়ান})=\theta (\text{ডিগ্রী})\times \frac{\pi }{{180}^{\circ }}$$
$$\theta ={60}^{\circ }\times \frac{\pi }{{180}^{\circ }}=\frac{\pi }{3}\text{ রেডিয়ান}$$

এখন, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
$$s=r\theta =6\times \frac{\pi }{3}=2\pi \text{ cm}$$

সুতরাং, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $2\pi$ cm।

ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে, তার উচ্চতা $(x)$ হলো $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a=2$ সে.মি.।

সুতরাং, উচ্চতা $x=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2$ সে.মি.

$x=\sqrt{3}$ সে.মি.

অতএব, $x$ এর মান $\sqrt{3}$.

$$
উত্তর: $\sqrt{3}$ সে.মি.

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাস $d$ এবং নতুন ব্যাস $d^{\prime }$। প্রশ্নানুসারে, নতুন ব্যাস প্রাথমিক ব্যাসের চারগুণ, অর্থাৎ $d^{\prime }=4d$.

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল $A=\pi r^2$, যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। যেহেতু ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ ($d=2r$), তাই ব্যাসার্ধ $r=\frac{d}{2}$.

প্রাথমিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r=\frac{d}{2}$, সুতরাং প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A=\pi (\frac{d}{2}{)}^2=\pi \frac{d^2}{4}$.

নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r^{\prime }=\frac{d^{\prime }}{2}=\frac{4d}{2}=2d$, সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল $A^{\prime }=\pi (2d{)}^2=\pi (4d^2)=16\pi \frac{d^2}{4}=16A$.

অতএব, বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।

সুতরাং, ৮০০০ লিটার = $\frac{৮০০০}{১০০০}$ ঘনমিটার = ৮ ঘনমিটার।

চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ দেওয়া আছে ১.২৫ মিটার। মনে করি চৌবাচ্চার গভীরতা $h$ মিটার।

চৌবাচ্চার আয়তনের সূত্র হল: দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা

সুতরাং, ২.৫৬ মিটার × ১.২৫ মিটার × $h$ মিটার = ৮ ঘনমিটার

৩.২ × $h$ = ৮
$h=\frac{৮}{৩.২}$
$h=\frac{৮০}{৩২}$
$h=২.৫$

অতএব, চৌবাচ্চাটির গভীরতা ২.৫ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $b$.

প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a$

প্রশ্নানুসারে, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, $a=4b$

প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2b^2}=b\sqrt{2}$

বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = $\frac{\text{প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}}{\text{দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}}=\frac{a\sqrt{2}}{b\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$

আমরা জানি, $a=4b$, সুতরাং $\frac{a}{b}=\frac{4b}{b}=4$

অতএব, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত হবে $4:1$.

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য = $l$ একক এবং প্রস্থ = $w$ একক।
তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, $A_1=l\times w$।

দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে:
নতুন দৈর্ঘ্য, $l_{\text{নতুন}}=l+0.05l=1.05l$।
প্রস্থ অপরিবর্তিত থাকায় ($w$), নতুন ক্ষেত্রফল, $A_2=1.05l\times w=1.05(l\times w)=1.05A_1$।

ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি:
$\mathrm{\Delta }A=A_2-A_1=1.05A_1-A_1=0.05A_1$।

শতকরা বৃদ্ধি:
$$\text{শতকরা বৃদ্ধি}=\left(\frac{\mathrm{\Delta }A}{A_1}\right)\times 100\mathrm{\%}=\left(\frac{0.05A_1}{A_1}\right)\times 100\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}$$

উত্তর:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $5\mathrm{\%}$ বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_1=18$ সেমি
প্রথম আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_1=10$ সেমি

প্রথম আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_1=L_1\times W_1$
$A_1=18\times 10$
$A_1=180$ বর্গ সেমি

দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_2=25$ সেমি
প্রশ্ন অনুযায়ী, ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
সুতরাং, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_2=A_1=180$ বর্গ সেমি

ধরি, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_2$ সেমি।
আমরা জানি, $A_2=L_2\times W_2$
$180=25\times W_2$
$W_2=\frac{180}{25}$
$W_2=7.2$ সেমি

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $7.2$ সেমি হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো:

ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক।

ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের মধ্যে পিথাগোরাসের সম্পর্ক বিদ্যমান।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $L$ মিটার এবং প্রস্থ $W$ মিটার।
দেওয়া আছে:
প্রস্থ ($W$) = 10 মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য ($D$) = 15 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: $L^2+W^2=D^2$

মানগুলো বসিয়ে পাই:
$L^2+{10}^2={15}^2$
$L^2+100=225$
$L^2=225-100$
$L^2=125$
$L=\sqrt{125}$
$L=\sqrt{25\times 5}$
$L=5\sqrt{5}$ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = $L\times W$
ক্ষেত্রফল = $5\sqrt{5}\times 10$
ক্ষেত্রফল = $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ছিল $r$।
তাহলে, প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $A_1=\pi r^2$।

ব্যাসার্ধ ২০% কমে গেলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে:
$r^{\prime }=r-(r\times \frac{20}{100})$
$r^{\prime }=r-\frac{20r}{100}$
$r^{\prime }=r-\frac{r}{5}$
$r^{\prime }=\frac{5r-r}{5}$
$r^{\prime }=\frac{4r}{5}$

এখন, নতুন ক্ষেত্রফল $A_2$ নির্ণয় করি:
$A_2=\pi (r^{\prime }{)}^2$
$A_2=\pi {\left(\frac{4r}{5}\right)}^2$
$A_2=\pi \left(\frac{16r^2}{25}\right)$
$A_2=\frac{16}{25}\pi r^2$

ক্ষেত্রফল কমেছে = $A_1-A_2$
$=\pi r^2-\frac{16}{25}\pi r^2$
$=\pi r^2(1-\frac{16}{25})$
$=\pi r^2\left(\frac{25-16}{25}\right)$
$=\pi r^2\left(\frac{9}{25}\right)$

শতকরা কমার হার = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল কমেছে}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}}\times 100\mathrm{\%}$
$=\frac{\frac{9}{25}\pi r^2}{\pi r^2}\times 100\mathrm{\%}$
$=\frac{9}{25}\times 100\mathrm{\%}$
$=9\times 4\mathrm{\%}$
$=36\mathrm{\%}$

সুতরাং, উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% কমবে।

ব্যাখ্যাঃ এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = ২ সে. মি.।

১. বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $\pi r^2$।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (২{)}^{২}=৪\pi$ বর্গ সে.মি.।

২. বৃত্তের অন্তঃস্থ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
যদি একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তের অন্তঃস্থ হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাস (Diameter) হবে বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (Diagonal)।
বৃত্তের ব্যাস ($D$) = $২\times r=২\times ২=৪$ সে.মি.।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = ৪ সে.মি.।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সে.মি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ($d$) = $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$।
আমরা জানি $d=4$ সে.মি.।
সুতরাং, $a\sqrt{2}=4$
$a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ সে.মি.।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2=(2\sqrt{2}{)}^2=4\times 2=8$ বর্গ সে.মি.।

৩. আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে যা থাকে।
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = বৃত্তের ক্ষেত্রফল - বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $4\pi -8$ বর্গ সে.মি.।

সুতরাং, আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো $(4\pi -8)$ বর্গ সে.মি.।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বিস্তার $x$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $2x$ মিটার। ঘরের ক্ষেত্রফল: $$x\times 2x=2x^2$$ আমাদের জানা আছে, ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার: $$2x^2=512$$ এখন, $x^2$ বের করতে পারি: $$x^2=\frac{512}{2}=256$$ এখন $x$ এর মান নির্ণয় করতে পারি: $$x=\sqrt{256}=16$$ তাহলে, বিস্তার $x=16$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $2x=32$ মিটার। পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র: $$2\times (\text{দৈর্ঘ্য}+\text{বিস্তার})$$ পরিসীমা হবে: $$2\times (32+16)=2\times 48=96\text{ মিটার}$$ তাহলে ঘরের পরিসীমা হল 96 মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য হবে $3x$ মিটার। ক্ষেত্রফল: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\text{দৈর্ঘ্য}\times \text{প্রস্থ}=3x\times x=3x^2$$ প্রদত্ত ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার: $$3x^2=300$$ $$x^2=\frac{300}{3}=100$$ $$x=\sqrt{100}=10\text{ মিটার}$$ দৈর্ঘ্য: $$3x=3\times 10=30\text{ মিটার}$$ পরিসীমা: $$\text{পরিসীমা}=2(\text{দৈর্ঘ্য}+\text{প্রস্থ})=2(30+10)=2\times 40=80\text{ মিটার}$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 80\text{ মিটার}}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব, যেখানে— - ভূমি, $b=16$ একক - প্রত্যেক বাহু, $a=10$ একক ### ধাপ ১: লম্ব উচ্চতা নির্ণয় সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভূমির লম্ব সমদ্বিখণ্ডিত হবে। তাহলে, লম্ব রেখাটি ভূমিকে দুই সমান ভাগে ভাগ করবে: $$\frac{16}{2}=8\text{ একক}$$ এখন, আমরা উচ্চতা $h$ নির্ণয়ের জন্য পাইথাগোরাস উপপাদ্য প্রয়োগ করব: $$a^2=h^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ $${10}^2=h^2+8^2$$ $$100=h^2+64$$ $$h^2=100-64=36$$ $$h=\sqrt{36}=6$$ ### ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $$\frac{1}{2}\times b\times h$$ $$=\frac{1}{2}\times 16\times 6$$ $$=8\times 6=48\text{ বর্গ একক}$$ ### উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ একক

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা প্রতি মিনিটে চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা থেকে প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয় করব। এক মিনিটে চাকাটি ৯০ বার ঘুরে। সুতরাং, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$\frac{৯০\text{ বার}}{৬০\text{ সেকেন্ড}}=১.৫\text{ বার}$$ এখন, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে তা নির্ণয় করতে, আমরা একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (৩৬০ ডিগ্রি) নিয়ে ১.৫ বার গুণ করব: $$১.৫\text{ বার}\times ৩৬০\text{ ডিগ্রি}=৫৪০\text{ ডিগ্রি}$$ তাহলে, এক সেকেন্ডে চাকাটি ৫৪০ ডিগ্রি ঘুরে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সরল রেখার দৈর্ঘ্য $L$।

এখন, এই রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: $$L^2$$

যদি রেখার এক চতুর্থাংশ অর্থাৎ $\frac{L}{4}$ এর ওপর বর্গ অঙ্কিত হয়, তবে সেই বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: $${\left(\frac{L}{4}\right)}^2=\frac{L^2}{16}$$

তাহলে, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার এক চতুর্থাংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের: $$\frac{L^2}{\frac{L^2}{16}}=16$$
অর্থাৎ, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গের ক্ষেত্রফলের ১৬ গুণ।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব। ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\pi r^2$$ এখানে, ব্যাস $৫৬$ ফুট হলে $r$ হবে $\frac{৫৬}{২}=২৮$ ফুট।

তাহলে, $$\text{ক্ষেত্রফল}=\pi \times ২{৮}^2=\pi \times ৭৮৪\approx ২৪৬৪.৬\text{বর্গফুট}$$ এখন, একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে: $$\text{ক্ষেত্রফল}=২৪৬৪.৬\text{ বর্গফুট}$$ ধরি, বর্গক্ষেত্রের একদিকে $s$ ফুট, তবে $$s^2=২৪৬৪.৬$$ অতএব, $$s=\sqrt{২৪৬৪.৬}\approx ৪৯.৬\text{ ফুট}$$ অতএব, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য হবে প্রায় ৪৯.৬ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভূজের মাধ্যমে সমাধান করা যায়। দেয়ালের উচ্চতা এবং মইয়ের তলদেশের দূরত্ব ত্রিভুজের দুইটি পা, আর মইটি হলো ত্রিভুজের অতিভুজ।

ধরি, মইটির দৈর্ঘ্য $L$। $${\text{অতিভুজ}}^2={\text{পা}}_1^2+{\text{পা}}_2^2$$ $$L^2=৪{০}^2+{৯}^2$$ $$L^2=১৬০০+৮১$$ $$L^2=১৬৮১$$ $$L=\sqrt{১৬৮১}$$ $$L=৪১$$ অতএব, মইটি ৪১ ফুট লম্বা।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $A$ এবং উচ্চতা $h$।

প্রশ্নে প্রদত্ত অনুযায়ী: $$A=৮৪\text{ বর্গগজ}$$ $$h=১২\text{ গজ}$$ ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী: $$A=\frac{১}{২}\times \text{ভূমি}\times h$$ অতএব, ভূমির দৈর্ঘ্য $b$ নির্ণয় করি: $$৮৪=\frac{১}{২}\times b\times ১২$$ $$৮৪=৬b$$ $$b=\frac{৮৪}{৬}$$ $$b=১৪\text{ গজ}$$ অতএব, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ১৪ গজ।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, খুঁটিটি মাটি থেকে $h$ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছে। খুঁটিটির মোট উচ্চতা ১৮ ফুট, তাই ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য হবে $১৮-h$ ফুট।

ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে $৩০°$ কোণ তৈরি করে, তাই আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পাই: $$\sin (৩০°)=\frac{h}{১৮-h}$$ যেহেতু $\sin (৩০°)=\frac{১}{২}$, তাই: $$\frac{১}{২}=\frac{h}{১৮-h}$$ $$১৮-h=২h$$ $$১৮=৩h$$ $$h=\frac{১৮}{৩}$$ $$h=৬$$ অতএব, খুঁটিটি মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।

ব্যাখ্যাঃ একটি সামান্তরিক সমান সমান দু'টি ত্রিভুজের সমান।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা

অতএব,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 2 ×$\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা = ভূমি × উচ্চতা

ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ষড়ভুজের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম বৃত্তের আয়তন দেওয়া আছে ১০০π। এই তথ্য ব্যবহার করে আমরা ষড়ভুজের আয়তন নির্ণয় করব।

ধাপ ১: বৃহত্তম বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বৃহত্তম বৃত্তের আয়তন $V=১০০\pi$। বৃত্তের আয়তনের সূত্র: $$V=\pi r^2$$ যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত আয়তন ব্যবহার করে: $$\begin{gathered} ১০০\pi =\pi r^2 \\ {r}^2=১০০ \\ r=১০ \end{gathered}$$ ধাপ ২: সমবাহু ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
সমবাহু ষড়ভুজের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এর সম্পর্ক: $$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$\begin{gathered} ১০=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a=\frac{১০\times 2}{\sqrt{3}} \\ a=\frac{২০}{\sqrt{3}} \\ a=\frac{২০\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$ ধাপ ৩: সমবাহু ষড়ভুজের আয়তন নির্ণয়
সমবাহু ষড়ভুজের আয়তনের সূত্র: $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}{\left(\frac{২০\sqrt{3}}{3}\right)}^2$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{৪০০\times 3}{9}$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{১২০০}{9}$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{৪০০}{3}$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}\times ৪০০}{6}$$ $$A=\frac{১২০০\sqrt{3}}{6}$$ $$A=২০০\sqrt{3}$$ ∴ ষড়ভুজের আয়তন $২০০\sqrt{3}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ক্ষেত্রটির বিস্তার $w$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $l=৩w$ মিটার।

দৈর্ঘ্য $l$ দেওয়া আছে $৪৮$ মিটার, সুতরাং: $$l=৩w=৪৮$$ $$w=\frac{৪৮}{৩}$$ $$w=১৬$$ মিটার

এখন, ক্ষেত্রটির পরিসীমা $P$ নির্ণয় করা যাক: $$P=২(l+w)$$ $$P=২(৪৮+১৬)$$ $$P=২\times ৬৪$$ $$P=১২৮$$ মিটার

অতএব, ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১২৮ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ব্যাসার্ধ $r$ হলে ক্ষেত্রফল $\pi r^2$

এবং $(r+n)$ হলে ক্ষেত্রফল $\pi (r+n{)}^2$ $$\therefore 2\times \pi r^2=\pi (r+n{)}^2$$ $$\Rightarrow 2r^2=(r+n{)}^2$$ $$\Rightarrow \sqrt{2}r=r+n$$ $$\Rightarrow \sqrt{2}r-r=n$$ $$\therefore r=\frac{n}{\sqrt{2}-1}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, দুটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটির বাহু ২০ ফুট। নিচের চিত্রটি কল্পনা করুন:

A ------ B ------ C ------ D ------ E ------ F

প্রত্যেকটি বর্গক্ষেত্রের বাহু দৈর্ঘ্য ২০ ফুট।

BC = ৬ ফুট এবং CF = ৫ ফুট।

আমাদের DE বের করতে হবে।

DE = পুরো বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য - (BC + CF) $$DE=২০-(৬+৫)=২০-১১=৯\text{ ফুট}$$ অতএব, DE এর মান হল ৯ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ
BE = EF = CF হওয়ায়, AE ও AF মধ্যমা। এখানে, ΔAEC = 48 বর্গফুট এবং ΔABE = ΔAEF = ΔAFC = 24 বর্গফুট।

∴ ΔABC = ΔABE + ΔAEC = 24 + 48 = 72 বর্গফুট।

ব্যাখ্যাঃ রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সূত্রটি হলো: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times \text{প্রথম কর্ণ}\times \text{দ্বিতীয় কর্ণ}$$ এখানে প্রথম কর্ণ = $8\text{সে.মি.}$, এবং দ্বিতীয় কর্ণ = $6\text{সে.মি.}$। তাহলে, ক্ষেত্রফল: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times 8\times 6$$ $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times 48=24$$ উত্তর: রম্বসের ক্ষেত্রফল $24\text{বর্গ সেন্টিমিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ হলো $r$। তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে: $$\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}=\pi r^2$$ যখন ব্যাস ২০% বৃদ্ধি পায়, তখন ব্যাসার্ধও ২০% বৃদ্ধি পাবে। নতুন ব্যাসার্ধ হবে: $$r_{\text{নতুন}}=r+0.2r=1.2r$$ নতুন ক্ষেত্রফল: $$\text{নতুন ক্ষেত্রফল}=\pi (1.2r{)}^2=\pi (1.44r^2)=1.44\pi r^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ: $$\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}=\text{নতুন ক্ষেত্রফল}-\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}$$ $$\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}=1.44\pi r^2-\pi r^2=0.44\pi r^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি শতকরা হিসেবে: $$\text{বৃদ্ধি}=\frac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\times 100=44\mathrm{\%}$$ উত্তর: বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে, চাকার মোট ঘূর্ণনের পরিধি সমান হবে গাড়িটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব। চাকার পরিধি নির্ণয়ের জন্য সূত্র ব্যবহার করি: $$\text{চাকার পরিধি}=\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট ঘূর্ণন সংখ্যা}}$$ প্রদত্ত:
- মোট দূরত্ব = $10\text{কি.মি.}=10,000\text{মিটার}$
- মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = $2000$

তাহলে, চাকার পরিধি: $$\text{পরিধি}=\frac{10,000}{2000}=5\text{মিটার}$$ উত্তর: চাকার পরিধি $5\text{মিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করার জন্য পাইথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ হলো: $$\text{কর্ণ}=\sqrt{{\text{বাহু}}^2+{\text{বাহু}}^2}$$ প্রদত্ত, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু $4\text{মিটার}$। তাহলে কর্ণ: $$\text{কর্ণ}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$$ $\sqrt{32}$ কে সরল করলে পাই: $$\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}$$ উত্তর: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $4\sqrt{2}\text{মিটার}$

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা চাকা প্রতি মিনিটে কত ডিগ্রী ঘোরে তা নির্ণয় করব, এবং তারপর ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘোরে তা বের করব।

ধাপ ১: প্রতি মিনিটে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরে
একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে চাকাটি ৩৬০° ঘোরে।
প্রতি মিনিটে চাকাটি ১২ বার ঘোরে।
সুতরাং, প্রতি মিনিটে চাকাটি ঘোরে: $$১২\times ৩৬০°=৪৩২০°$$ ধাপ ২: প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘোরে
প্রতি মিনিটে $৬০$ সেকেন্ড থাকে।
প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$\frac{৪৩২০}{৬০}=৭২°$$ ধাপ ৩: ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$৭২°\times ৫=৩৬০°$$ উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে ৩৬০° (একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন) ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ জলাধারের আয়তন নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করব: $$\text{আয়তন}=\text{দৈর্ঘ্য}\times \text{প্রস্থ}\times \text{উচ্চতা}$$ ধাপ ১: সমস্ত একক একীভূত করা
উচ্চতা $১০০\text{সেন্টিমিটার}=১\text{মিটার}$ (∵ ১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার)।

ধাপ ২: সূত্রে মান বসানো
দৈর্ঘ্য = $২.৫\text{মিটার}$,
প্রস্থ = $২\text{মিটার}$,
উচ্চতা = $১\text{মিটার}$।
সুতরাং: $$\text{আয়তন}=২.৫\times ২\times ১=৫\text{ঘনমিটার}$$ উত্তর: জলাধারটির আয়তন হলো ৫ ঘনমিটার।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০০ গজকে ফুটে রূপান্তর করতে হবে: ১ গজ = ৩ ফুট তাহলে, $$১০০\times ৩=৩০০\text{ ফুট}$$ এখন, ৬ ফুট অন্তর চারা রোপণ করা হলে, মোট চারা সংখ্যা হবে: $$\frac{৩০০}{৬}+১=৫০+১=৫১$$ অর্থাৎ, সর্বোচ্চ ৫১টি চারা রোপণ করা যাবে।

(প্রান্তে একটি চারা ধরলে +১ যোগ করতে হয়, তাই ৫০-এর জায়গায় ৫১ হয়েছে)

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু আয়তক্ষেত্রের বড় বাহুর দৈর্ঘ্য ২১ মিটার

সুতরাং ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য ২১ ÷ ৩ = ৭ মিটার

অতএব বর্গের পরিসীমা = আয়তের পরিসীমা $$=২(৭+২১)মিটার$$ $$=৫৬মিটার$$ অতএব বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬ ÷ ৪ = ১৪ মিটার

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার।

ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে, $$x\times 3x=768$$ $$3x^2=768$$ $$x^2=\frac{768}{3}=256$$ $$x=\sqrt{256}=16$$ তাহলে,
⇒ প্রস্থ = ১৬ মিটার
⇒ দৈর্ঘ্য = $3\times 16=48$ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা: $$2\times (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)=2\times (48+16)=2\times 64=128\text{ মিটার}$$ যেহেতু বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একই, তাই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $s$ হলে: $$4s=128$$ $$s=\frac{128}{4}=32$$ সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: $$\frac{1}{2}\times \text{ভিত্তি}\times \text{উচ্চতা}=\text{ক্ষেত্রফল}$$ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,
⇒ ক্ষেত্রফল = ১৪৪
⇒ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২

এখন, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ হলে, সূত্র প্রয়োগ করি: $$\frac{1}{2}\times 12\times x=144$$ $$12x=144\times 2$$ $$12x=288$$ $$x=\frac{288}{12}=24$$ সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ একক।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, কোনো চাকাই যখন ঘোরে, তখন চাকা ঘোরার সংখ্যা এবং চাকার পরিধি থেকে মোট দূরত্ব নির্ণয় করা যায়।

ধরি, গাড়িটি $x$ মিটার পথ অতিক্রম করেছে।
⇒ সামনের চাকার পরিধি = ৩ মিটার
⇒ পিছনের চাকার পরিধি = ৪ মিটার

তাহলে, সামনের চাকা ঘুরবে: $$\frac{x}{3}$$ পিছনের চাকা ঘুরবে: $$\frac{x}{4}$$ প্রশ্ন অনুযায়ী, সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে: $$\frac{x}{3}=\frac{x}{4}+100$$ $$4x=3x+1200$$ $$4x-3x=1200$$ $$x=1200$$ সুতরাং, গাড়িটি ১২০০ মিটার পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫, ও ৩ হয়, তাহলে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। কারণ, এই বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসরণ করে ($3^{২}+4^{২}=9+16=25=5^{২}$)।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{১}{২}\times ভূমি\times উচ্চতা$।
এখানে, ভূমি ও উচ্চতা হলো সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি, অর্থাৎ ৩ ও ৪।

ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}\times ৩\times ৪$
= $\frac{১}{২}\times ১২$
= ৬ বর্গ একক

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গ একক।

ব্যাখ্যাঃ এখানে দেওয়া আছে:

• একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ১৬ বর্গমিটার
  
• বৃত্তের পরিধি = ৮ মিটার
  

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $A=\pi r^2$
বৃত্তের পরিধির সূত্র: $C=2\pi r$

যেখানে $A$ হলো ক্ষেত্রফল, $C$ হলো পরিধি, এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।

আমরা পরিধির সূত্র ব্যবহার করে ব্যাসার্ধ বের করতে পারি:
$C=2\pi r$
$8=2\pi r$
$r=\frac{8}{2\pi }$
$r=\frac{4}{\pi }$ মিটার

ব্যাখ্যাঃ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
এখানে, ক্ষেত্রফল = 35 বর্গ সেমি
দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি
প্রস্থ = $(x-2)$ সেমি

প্রশ্নানুসারে,
$x(x-2)=35$
$x^2-2x=35$
$x^2-2x-35=0$

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:
$x^2-7x+5x-35=0$
$x(x-7)+5(x-7)=0$
$(x-7)(x+5)=0$

এখানে দুটি সমাধান পাওয়া যায়:
$x-7=0\Rightarrow x=7$
অথবা
$x+5=0\Rightarrow x=-5$

যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x=7$।

অতএব, $x$ এর মান হল 7।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ একক।

প্রশ্নানুসারে, এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 6 একক।
$2a=6$
$a=\frac{6}{2}$
$a=3$ একক।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হল $d=a\sqrt{2}$।
এখানে, $a=3$ একক।
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য $d=3\sqrt{2}$ একক।

এখন, কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ বের করতে হবে।
কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ = $2\times d$
$=2\times 3\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$ একক।

অতএব, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ $6\sqrt{2}$ একক।