প্রশ্নঃ \(x^4 + x^2 + 1 \) এর একটি উৎপাদক \( x^2 + x + 1 \) হলে অপরটি কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
ক. \(x^2 − 1\)
খ. \(x^2 + x + 1\)
গ. \(x^2 − x + 1\)
ঘ. \(x^2 + 1\)
উত্তরঃ \(x^2 − x + 1\)
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বহুপদের গুণনীয়ক বিশ্লেষণের মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।
প্রদত্ত বহুপদ: \[ x^4 + x^2 + 1 \] এটির একটি উৎপাদক \( x^2 + x + 1 \), তাহলে অপর উৎপাদক \( f(x) \) ধরি।
অর্থাৎ, \[ (x^2 + x + 1) \times f(x) = x^4 + x^2 + 1 \] এখন, \( x^2 + x + 1 \) দ্বারা ভাগ করি—
পদক্রম অনুসারে ভাগ করলে পাই: \[ f(x) = x^2 - x + 1 \] সুতরাং, অপর উৎপাদক হবে \( x^2 - x + 1 \)।
প্রদত্ত বহুপদ: \[ x^4 + x^2 + 1 \] এটির একটি উৎপাদক \( x^2 + x + 1 \), তাহলে অপর উৎপাদক \( f(x) \) ধরি।
অর্থাৎ, \[ (x^2 + x + 1) \times f(x) = x^4 + x^2 + 1 \] এখন, \( x^2 + x + 1 \) দ্বারা ভাগ করি—
পদক্রম অনুসারে ভাগ করলে পাই: \[ f(x) = x^2 - x + 1 \] সুতরাং, অপর উৎপাদক হবে \( x^2 - x + 1 \)।
প্রশ্নঃ \(x^2 + 7x + p\) যদি \(x-5\) দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে p এর মান কত হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. -30.0
খ. -60.0
গ. -10.0
ঘ. 30.0
উত্তরঃ -60.0
ব্যাখ্যাঃ একটি বহুপদী রাশি $P(x)$ যদি $(x-a)$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে $P(a) = 0$ হবে।
এখানে, $P(x) = x^2 + 7x + p$ এবং এটি $(x-5)$ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে, $a = 5$।
শর্তানুযায়ী, $P(5) = 0$ হবে।
$(5)^2 + 7(5) + p = 0$
$25 + 35 + p = 0$
$60 + p = 0$
$p = -60$
উত্তর: $p$ এর মান $-60$ হবে।
এখানে, $P(x) = x^2 + 7x + p$ এবং এটি $(x-5)$ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে, $a = 5$।
শর্তানুযায়ী, $P(5) = 0$ হবে।
$(5)^2 + 7(5) + p = 0$
$25 + 35 + p = 0$
$60 + p = 0$
$p = -60$
উত্তর: $p$ এর মান $-60$ হবে।
প্রশ্নঃ \(a^3 + 3\sqrt{ 3}\) এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. \(a^2 + \sqrt{ 3}\)
খ. \(a + \sqrt{ 3}\)
গ. \(a^2 - \sqrt{ 3}\)
ঘ. \(a - \sqrt{ 3}\)
উত্তরঃ \(a + \sqrt{ 3}\)
ব্যাখ্যাঃ রাশিটিকে $(a)^3 + (\sqrt{3})^3$ আকারে লেখা যেতে পারে।
আমরা জানি, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
এখানে, $x=a$ এবং $y=\sqrt{3}$
সুতরাং, $a^3 + 3\sqrt{3} = a^3 + (\sqrt{3})^3 = (a+\sqrt{3})(a^2 - a\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$
$= (a+\sqrt{3})(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$
অতএব, $a^3 + 3\sqrt{3}$ এর উৎপাদক হল $(a+\sqrt{3})$ এবং $(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$।
আমরা জানি, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
এখানে, $x=a$ এবং $y=\sqrt{3}$
সুতরাং, $a^3 + 3\sqrt{3} = a^3 + (\sqrt{3})^3 = (a+\sqrt{3})(a^2 - a\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$
$= (a+\sqrt{3})(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$
অতএব, $a^3 + 3\sqrt{3}$ এর উৎপাদক হল $(a+\sqrt{3})$ এবং $(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$।
প্রশ্নঃ $x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3$ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. (x + y)(x + 2y) (x + 3y)
খ. (x + y)(x - 2y)(x - 3y)
গ. (x - y)(x - 2y) (x + 3y)
ঘ. (x - y)(x + 2y)(x - 3y)
উত্তরঃ (x + y)(x + 2y) (x + 3y)
ব্যাখ্যাঃ $x^3+6x^2y+11xy^2+6y^3$
$=(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)-xy^2-2y^3$
$=(x^3+3\cdot x^2\cdot2y+3\cdot x\cdot(2y)^2+(2y)^3)-xy^2-2y^3$
$=(x+2y)^3-y^2(x+2y)$
$=(x+2y)\{(x+2y)^2-y^2\}$
$=(x+2y)(x+2y+y)(x+2y-y)$
$=(x+2y)(x+3y)(x+y)$
$=(x+y)(x+2y)(x+3y)$
$=(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)-xy^2-2y^3$
$=(x^3+3\cdot x^2\cdot2y+3\cdot x\cdot(2y)^2+(2y)^3)-xy^2-2y^3$
$=(x+2y)^3-y^2(x+2y)$
$=(x+2y)\{(x+2y)^2-y^2\}$
$=(x+2y)(x+2y+y)(x+2y-y)$
$=(x+2y)(x+3y)(x+y)$
$=(x+y)(x+2y)(x+3y)$
প্রশ্নঃ নিচের কোনটি $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ এর উৎপাদক নয়?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. x-1
খ. x-2
গ. x-3
ঘ. x-4
উত্তরঃ x-4
প্রশ্নঃ $ax^{2}+b$ এর মান $x=1$ হলে 1 এবং $x=3$ হলে 25 হয়। $x=2$ হলে এর মান কত?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 5
খ. 10
গ. 15
ঘ. 20
উত্তরঃ 10
প্রশ্নঃ $x^{2}-y(y-2)-1$ উৎপাদক নিচের কোনটি?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $(x-y-1)(x-y+1)$
খ. $(x-y+1)(x+y-1)$
গ. $(x+y+1)(x-y-1)$
ঘ. $(x-y)(x+y+1)$
উত্তরঃ $(x-y+1)(x+y-1)$
প্রশ্নঃ $x^{2}-y^{2}+2y-1$ একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. x+y+1
খ. x+y -1
গ. x-y-1
ঘ. x-y
উত্তরঃ x-y-1
প্রশ্নঃ $6x^{2}-7x-5$ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $(2x+1)(3x-5)$
খ. $(2x-1)(3x+5)$
গ. $(2x+5)(3x-1)$
ঘ. $(2x-5)(3x+1)$
উত্তরঃ $(2x+1)(3x-5)$
প্রশ্নঃ $x^3-5x^2+4=0$ সমীকরণের x এর সহগ কত?
[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. -5
খ. 0
গ. 2
ঘ. 4
উত্তরঃ 0
প্রশ্নঃ $x^{3}+6x^{2}y+11xy^{2}+6y^{3}$ এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?
[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $(x+y)(x+3y)(x+5y)$
খ. $(x+y)(x+2y)(x+3y)$
গ. $(x+y)(x+4y)(x+3y)$
ঘ. $(x-y)(x+y)(x+2y)$
উত্তরঃ $(x+y)(x+2y)(x+3y)$
প্রশ্নঃ $1-a^2+2ab-b^2$ এর উৎপাদক কোনটি?
[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. $(1+a+b)(1-a+b)$
খ. $(1+a+b)(1-a-b)$
গ. $(1+a+b)(1+a-b)$
ঘ. $(1+a-b)(1-a+b)$
উত্তরঃ $(1+a-b)(1-a+b)$
প্রশ্নঃ $2a^2+6a - 80$ এর একটি উৎপাদক কোনটি?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 2(a-8)
খ. (a+5)
গ. (a+4)
ঘ. (a+8)
উত্তরঃ (a+8)
প্রশ্নঃ $${3x}^{3}+{2x}^{2}-21x-20$$ রাশিটির একটি উৎপাদক-
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. x+2
খ. x-2
গ. x+1
ঘ. x-1
উত্তরঃ x+1
প্রশ্নঃ $ x^{2}-y^{2} $ উৎপাদক কত?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $(x+y)(x+y)$
খ. $(x+y)(x-y)$
গ. $(x-y)(x-y)$
ঘ. $(y+x)(y-x)$
উত্তরঃ $(x+y)(x-y)$
প্রশ্নঃ $2y^4-14y^2+2$ এর উৎপাদকের বিশ্লেষণ কোনটি?
[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $(2y^2+6y+2)(y^2-3y+1)$
খ. $(2y^2-7y+1)(2y^2+7y+1)$
গ. $(2y^2+3y+1)(y^2-3y+1)$
ঘ. $2(y^2+3y+1)(y^2-3y+1)$
উত্তরঃ $2(y^2+3y+1)(y^2-3y+1)$
প্রশ্নঃ $2x^{2}-x-3$ উৎপাদক কোনটি?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-১০-২০১২ ]
ক. $(2x-3)(x+1)$
খ. $(2x-3)(x-1)$
গ. $(2x+3)(x+1)$
ঘ. $(2x+3)(x-1)$
উত্তরঃ $(2x-3)(x+1)$
প্রশ্নঃ $9x^2 + 30x$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্গ হবে?
[ প্রা. প্র. শি. নি.০৮-১০-২০১২ ]
ক. 4
খ. 9
গ. 16
ঘ. 25
উত্তরঃ 25
প্রশ্নঃ $4x² - 28x$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্গ হবে?
[ প্রা. প্র. শি. নি.০৭-১০-২০১২ ]
ক. 25
খ. 36
গ. 49
ঘ. 64
উত্তরঃ 49
প্রশ্নঃ $3x^2-7x-6$ এর উৎপাদক-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-০৯-২০০৯ ]
ক. $(3x-2)(x-3)$
খ. $(3x+2)(x-3)$
গ. $(3x-2)(x-3)$
ঘ. উপরের কোনোটিই নয়
উত্তরঃ $(3x+2)(x-3)$
প্রশ্নঃ $2x^2-5x-7$ এর উৎপাদক-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১০-০৯-২০০৯ ]
ক. $(2x+7)(x-1)$
খ. $(x-1)(2x-7)$
গ. $(2x-1)(x+7)$
ঘ. $(2x-7)(x+1)$
উত্তরঃ $(2x-7)(x+1)$
প্রশ্নঃ $2x^2-x-3$ এর উৎপাদক -
[ প্রা. প্র. শি. নি. ০৯-০৯-২০০৯ ]
ক. $(2x+1)(x-3)$
খ. $(x-1)(2x+3)$
গ. $(x+1)(2x-3)$
ঘ. $(2x-1)(x+3)$
উত্তরঃ $(x+1)(2x-3)$
প্রশ্নঃ $$x^2+7x+a$$ রাশিটি $$x-5$$ দ্বারা বিভাজ্য হলে a এর মান কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. -60
খ. -30
গ. 30
ঘ. 60
উত্তরঃ -60
প্রশ্নঃ $$4x^2 – 2$$ হতে কত বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. $$- \frac{1}{4x^2} $$
খ. $$ -\frac{1}{2x^2} $$
গ. $$ \frac{1}{4x^2} $$
ঘ. $$ \frac{1}{2x^2} $$
উত্তরঃ $$- \frac{1}{4x^2} $$
প্রশ্নঃ $$x^2-y^2, x^3-y^3, x^4+x^2y^2+y^4$$ রাশিগুলোর গ. সা.গু কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
ক. x+y
খ. x-y
গ. 0
ঘ. 1
উত্তরঃ 1
প্রশ্নঃ $x^{2}-6x^{2}+11x-6$ এর উৎপাদক কোনটি?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
ক. $(x+1)(x-2)(x-3)$
খ. $(x-1)(x-2)(x-3)$
গ. $(x-1)(x-2)(x+3)$
ঘ. $(x-1)(x+2)(x-3)$
উত্তরঃ $(x-1)(x-2)(x-3)$
প্রশ্নঃ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
ক. $(x + 1)(x - 2)(x - 3)$
খ. $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$
গ. $(x - 11)(x + 2)(x - 3)$
ঘ. $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$
উত্তরঃ $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$
প্রশ্নঃ $x^{2}-7x+12$ এর উৎপাদক হচ্ছে-
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১৪-০৭-২০০৬ ]
ক. $(x+4)(x+3)$
খ. $(x-4)(x-3)$
গ. $(x-4)(x+3)$
ঘ. $(x+4)(x-3)$
উত্তরঃ $(x-4)(x-3)$
প্রশ্নঃ যদি $P_{(x)}$ ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং $P_{(a)} = 0$ তবে $P_{(x)}$ এর উপাদক কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ২০-০৫-২০০১ ]
ক. $x+a$
খ. $x-a$
গ. $-a-x$
ঘ. $x-2a$
উত্তরঃ $x-a$
প্রশ্নঃ $a^3-21a-20$ রাশটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]
ক. a + 1
খ. a-1
গ. a+2
ঘ. a-2
উত্তরঃ a + 1
প্রশ্নঃ যদি $(x - 5) (a + x)=x^{2} -25$ হয়, তবে a -এর মান কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]
ক. 5
খ. 25
গ. -25
ঘ. -5
উত্তরঃ 5
প্রশ্নঃ $x^{2}-3x-2$ কে $x+1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কি হবে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২১-০৬-২০১৯ ]
ক. 0
খ. 2
গ. 6
ঘ. 4
উত্তরঃ 2
প্রশ্নঃ $x^{4}+x^{2}+1$ -এর একটি উৎপাদক $x^{2}+x+1$ অপর উৎপাদকটি কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০১-০৬-২০১৮ ]
ক. $x^{2}-x+1$
খ. $x^{3}+1$
গ. $x+1$
ঘ. $x^{2}+x+1$
উত্তরঃ $x^{2}-x+1$
প্রশ্নঃ $x^2 - 3x + 2$ এর একটি উৎপাদক কোনটি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০১৮ ]
ক. $x-3$
খ. $x+1$
গ. $x-1$
ঘ. $x+3$
উত্তরঃ $x-1$
প্রশ্নঃ $7p^{2}-p-4$ এর একটি উৎপাদক হবে-
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১১-০৫-২০১৮ ]
ক. 7p
খ. 8-7p
গ. 7p-8
ঘ. p-4
উত্তরঃ 7p-8
প্রশ্নঃ $4x^{4}+1$ কে উ'পাদনকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যাবে
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৪-২০১৮ ]
ক. $(2x^{2}+2x+1)(2x^{2}-2x-1)$
খ. $(2x^{2}+2x+1)(2x^{2}-2x+1)$
গ. $(2x^{2}+2x-1)(2x^{2}-2x+1)$
ঘ. $(2x^{2}+2x-1)(2x^{2}-2x-1)$
উত্তরঃ $(2x^{2}+2x+1)(2x^{2}-2x+1)$
প্রশ্নঃ $x^{2}-10xy-11^{2}$ -এর উৎপাদক
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১০-০১-২০১০ ]
ক. $(x-y)(x+11y)$
খ. $(x-11y)(x+y)$
গ. $(x+4y)(x-5y)$
ঘ. $(x+4y)(x-4y)$
উত্তরঃ $(x-11y)(x+y)$
প্রশ্নঃ $12x^2+7x -10$ এর উৎপাদক -
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৯-০১-২০১০ ]
ক. $(3x+5)(4x-2)$
খ. $(3x-5)(4x+2)$
গ. $(4x+5)(3x-2)$
ঘ. $(4x-5)(3x+2)$
উত্তরঃ $(4x+5)(3x-2)$
প্রশ্নঃ $a^3- 7a - 6$ এর উৎপাদক কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৬-০৯-২০০৭ ]
ক. $(a+1)(a-2)(a-3)$
খ. $(a+1)(a+2)(a-3)$
গ. $(a-1)(a+2)(a-3)$
ঘ. $(a-1)(a-2)(a-3)$
উত্তরঃ $(a+1)(a+2)(a-3)$
প্রশ্নঃ $3x^2-7x-6$ এর উৎপাদকসমূহ কোনটি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৪-০৯-২০০৭ ]
ক. $(3x+2)(x-3)$
খ. $(3x-2)(x+3)$
গ. $(3x+2)(x+3)$
ঘ. $(3x-2)(x+3)$
উত্তরঃ $(3x+2)(x-3)$
প্রশ্নঃ $a^2-5a - 6$ এর উৎপাদক সমূহ কোনটি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৯-১২-২০০৬ ]
ক. $(a-3)(a+2)$
খ. $(a-6)(a+1)$
গ. $(a+6)(a-1)$
ঘ. $(a+3)(a-2)$
উত্তরঃ $(a-6)(a+1)$
প্রশ্নঃ $x^2-1-y(y+2)$ এর উৎপাদক কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৮-২০০৫ ]
ক. $(x-y-1)(x-y+1)$
খ. $(x-y+1)(x+y+1)$
গ. $(x+y+1)(x-y-1)$
ঘ. $(x-y)(x+y+1)$
উত্তরঃ $(x+y+1)(x-y-1)$
প্রশ্নঃ $x^2-3x+2$ এর একটি উৎপাদক কোনটি?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০০১ ]
ক. $x-3$
খ. $x+1$
গ. $x-1$
ঘ. $x+2$
উত্তরঃ $x-1$
প্রশ্নঃ $-4a^{2}+23a+6$ এর উৎপাদক কোনটি?
[ ১৫তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
ক. $(6-a)(4a-1)$
খ. $(a-6)(4a+1)$
গ. $(a-b)(4a-1)$
ঘ. $(6-a)(4a+1)$
উত্তরঃ $(6-a)(4a+1)$