ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $5x$ এবং $6x$।
যেহেতু সংখ্যা দুটির গ.সা.গু ৪, তাই $x = 4$।

তাহলে সংখ্যা দুটি হলো:
প্রথম সংখ্যা = $5 \times 4 = 20$
দ্বিতীয় সংখ্যা = $6 \times 4 = 24$

এখন, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
২০ এবং ২৪ এর ল.সা.গু:
২০ = $2 \times 2 \times 5$
২৪ = $2 \times 2 \times 2 \times 3$

ল.সা.গু = $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120$

বিকল্প পদ্ধতি:
দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং তাদের গ.সা.গু দেওয়া থাকলে, ল.সা.গু নির্ণয়ের সূত্র হলো:
ল.সা.গু = অনুপাতের সংখ্যাগুলোর গুণফল $\times$ গ.সা.গু
ল.সা.গু = $(5 \times 6) \times 4$
ল.সা.গু = $30 \times 4$
ল.সা.গু = $120$

সুতরাং, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু হলো ১২০।

ব্যাখ্যাঃ চলুন, রাশিগুলোর গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয় করি।

প্রদত্ত রাশিগুলো হলো:

1. $4(a + b)$
   
2. $10(a – b)$
   
3. $12(a^2 – b^2)$
   

প্রথমে সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু বের করি:
4, 10, 12 এর গ.সা.গু:
4 = 2 $\times$ 2
10 = 2 $\times$ 5
12 = 2 $\times$ 2 $\times$ 3
সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু হল 2।

এখন বীজগাণিতিক অংশগুলো দেখি:
$a+b$
$a-b$
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

এই তিনটি বীজগাণিতিক রাশির মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই (অর্থাৎ, $a+b$ এবং $a-b$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই)।

অতএব, সম্পূর্ণ রাশিগুলোর গ.সা.গু হলো সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু এবং বীজগাণিতিক অংশের সাধারণ উৎপাদকগুলোর গুণফল।
এখানে, বীজগাণিতিক অংশের সাধারণ উৎপাদক শুধুমাত্র 1।

সুতরাং, $4(a + b)$, $10(a – b)$ এবং $12(a^2 – b^2)$ এর গ.সা.গু হল 2।

ব্যাখ্যাঃ যদি ধরে নেওয়া হয়, দুইটি দলের সদস্য সংখ্যা x এবং y হয়, তাহলে:
ল.সা.গু. (x, y) = ৯০
গ.সা.গু. (x, y) = ১৫

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু.
x y = ৯০ ১৫ = ১৩৫০

যেহেতু গ.সা.গু. ১৫, তাই সংখ্যা দুটি হবে ১৫a এবং ১৫b, যেখানে a ও b সহমৌলিক।
(১৫a) * (১৫b) = ১৩৫০
২২৫ a b = ১৩৫০
a * b = ১৩৫০ / ২২৫ = ৬

যেহেতু a ও b সহমৌলিক এবং তাদের গুণফল ৬, তাই সম্ভাব্য জোড়াগুলো হলো:

• ১ ও ৬
  
• ২ ও ৩
  

যদি (a,b) = (১,৬) হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি হলো:
১৫ * ১ = ১৫
১৫ * ৬ = ৯০
এই দুইটি দলের মোট সদস্য সংখ্যা = ১৫ + ৯০ = ১০৫ জন।

যদি (a,b) = (২,৩) হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি হলো:
১৫ * ২ = ৩০
১৫ * ৩ = ৪৫
এই দুইটি দলের মোট সদস্য সংখ্যা = ৩০ + ৪৫ = ৭৫ জন।

ব্যাখ্যাঃ রাশিগুলো হলো:
১. $18(x + y)^3 = 2 \times 3^2 \times (x+y)^3$
২. $24(x + y)^2 = 2^3 \times 3 \times (x+y)^2$
৩. $32(x^2 - y^2) = 2^5 \times (x-y)(x+y)$

গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য, সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিতে হয়।

সাধারণ সংখ্যা উৎপাদক:
১৮, ২৪, ৩২ এর গ.সা.গু. হলো ২।

সাধারণ বীজগাণিতিক উৎপাদক:
$(x+y)$ রাশিটি তিনটি রাশিতেই আছে। এর সর্বনিম্ন ঘাত হলো $(x+y)$।
$(x-y)$ রাশিটি কেবল তৃতীয় রাশিতে আছে, তাই এটি সাধারণ উৎপাদক নয়।

সুতরাং, গ.সা.গু. হলো $2(x+y)$।