ব্যাখ্যাঃ ধরি, $\frac{x}{y}$ এর সাথে $A$ যোগ করলে যোগফল $\frac{x(1+y)}{y}$ হয়।
তাহলে,
$\frac{x}{y} + A = \frac{x(1+y)}{y}$

$A = \frac{x(1+y)}{y} - \frac{x}{y}$
$A = \frac{x+xy-x}{y}$
$A = \frac{xy}{y}$
$A = x$

সুতরাং, $\frac{x}{y}$ এর সাথে $x$ যোগ করলে যোগফল $\frac{x(1+y)}{y}$ হবে।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$x + y = 3$
$x^2 + y^2 = 5$

আমরা জানি, $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
মান বসিয়ে পাই:
$5 = (3)^2 - 2xy$
$5 = 9 - 2xy$
$2xy = 9 - 5$
$2xy = 4$
$xy = \frac{4}{2}$
$xy = 2$

এখন, আমাদের $x^3 + y^3$ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
অথবা, $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

দ্বিতীয় সূত্রটি ব্যবহার করে পাই:
$x^3 + y^3 = (3)^3 - 3(2)(3)$
$x^3 + y^3 = 27 - 18$
$x^3 + y^3 = 9$

অতএব, $x^3 + y^3 = 9$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$p + q = \sqrt{3}$ --- (1)
$p - q = \sqrt{2}$ --- (2)

আমরা জানি, $4pq = (p+q)^2 - (p-q)^2$

এখানে মান বসিয়ে পাই:
$4pq = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$4pq = 3 - 2$
$4pq = 1$
$pq = \frac{1}{4}$

অতএব, $pq = \frac{1}{4}$।

ব্যাখ্যাঃ এখানে দেওয়া আছে,
$x = \sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2$

এখন, $\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$
হর ও লবকে $(\sqrt{5} - 2)$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4}$
$\frac{1}{x} = \sqrt{5} - 2$

এখন, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করি:
$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5}$

আমরা জানি, $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
মান বসিয়ে পাই:
$(2\sqrt{5})^2 - 2$
$= 4 \times 5 - 2$
$= 20 - 2$
$= 18$

সুতরাং, $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান 18।

ব্যাখ্যাঃ রাশিগুলো হলো:
১. $18(x + y)^3 = 2 \times 3^2 \times (x+y)^3$
২. $24(x + y)^2 = 2^3 \times 3 \times (x+y)^2$
৩. $32(x^2 - y^2) = 2^5 \times (x-y)(x+y)$

গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য, সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিতে হয়।

সাধারণ সংখ্যা উৎপাদক:
১৮, ২৪, ৩২ এর গ.সা.গু. হলো ২।

সাধারণ বীজগাণিতিক উৎপাদক:
$(x+y)$ রাশিটি তিনটি রাশিতেই আছে। এর সর্বনিম্ন ঘাত হলো $(x+y)$।
$(x-y)$ রাশিটি কেবল তৃতীয় রাশিতে আছে, তাই এটি সাধারণ উৎপাদক নয়।

সুতরাং, গ.সা.গু. হলো $2(x+y)$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে, রাশিটি হলো:
$-2x^2 + 4x - 5$

আমরা রাশিটিকে এভাবে লিখতে পারি:
$= -2(x^2 - 2x) - 5$
$= -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5$
$= -2((x - 1)^2 - 1) - 5$
$= -2(x - 1)^2 + 2 - 5$
$= -2(x - 1)^2 - 3$

এখানে, $(x-1)^2$ এর সর্বনিম্ন মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।
সুতরাং, $-2(x-1)^2$ এর সর্বোচ্চ মান শূন্য হতে পারে, যখন $x=1$।

যখন $-2(x-1)^2$ এর মান সর্বোচ্চ (অর্থাৎ ০) হয়, তখন পুরো রাশিটির মান সর্বোচ্চ হয়।
সর্বোচ্চ মান $= 0 - 3 = -3$

সুতরাং, রাশিটির সর্বোচ্চ মান -3।