ব্যাখ্যাঃ

যদি কাগজের প্রতি পাতা ২১ পয়সায় বিক্রি হয়, তাহলে চার পাতা বিক্রি হবে:

২১ পয়সা/পাতা × ৪ পাতা = ৮৪ পয়সা

সুতরাং, চার পাতা ৮৪ পয়সায় বিক্রি হবে।

ব্যাখ্যাঃ

যদি প্রতি ফুট দড়ির দাম ১০ টাকা হয়, তবে ৬০ টাকায় তুমি যত ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে, তা নির্ণয় করার জন্য তোমাকে মোট টাকাকে প্রতি ফুটের দাম দিয়ে ভাগ করতে হবে।

সুতরাং, দড়ির পরিমাণ = মোট টাকা / প্রতি ফুট দড়ির দাম দড়ির পরিমাণ = ৬০ টাকা / ১০ টাকা/ফুট দড়ির পরিমাণ = ৬ ফুট

অতএব, যখন প্রতি ফুট দড়ি ১০ টাকায় বিক্রি হয়, তখন ৬০ টাকায় তুমি ৬ ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: কাজের হার নির্ণয়

ধরি, B একদিনে \( x \) অংশ কাজ করে, তাহলে A দ্বিগুণ কাজ করতে পারে:
\[
A = 2x
\]
দুইজন একসাথে কাজ করলে, তাদের দৈনিক কাজের হার হবে:
\[
A + B = 2x + x = 3x
\]
আমাদের দেওয়া আছে, তারা ১৪ দিনে পুরো কাজ শেষ করে:
\[
14 \times 3x = 1
\]
\[
x = \frac{1}{42}
\]
অতএব, B একদিনে \( \frac{1}{42} \) অংশ কাজ করতে পারে।

ধাপ ২: A একা কাজ করলে

যেহেতু A = 2x, তাই A একদিনে করবে:
\[
2 \times \frac{1}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}
\]
অতএব, A একা কাজটি শেষ করতে লাগবে:
\[
\frac{1}{21} \text{ অংশ প্রতি দিন} \Rightarrow ২১ দিনে পুরো কাজ
\]

ব্যাখ্যাঃ মনে করি,
সম্পূর্ণ কাজ = $1$ অংশ।

দুই ব্যক্তি একত্রে কাজটি ৮ দিনে করতে পারে।
অতএব, দুই ব্যক্তি ১ দিনে করে = $\frac{1}{8}$ অংশ কাজ।

প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে।
অতএব, প্রথম ব্যক্তি ১ দিনে করে = $\frac{1}{12}$ অংশ কাজ।

দ্বিতীয় ব্যক্তি একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে তা বের করতে হবে।
ধরি, দ্বিতীয় ব্যক্তি একা কাজটি $x$ দিনে করতে পারে।
অতএব, দ্বিতীয় ব্যক্তি ১ দিনে করে = $\frac{1}{x}$ অংশ কাজ।

আমরা জানি, (প্রথম ব্যক্তির ১ দিনের কাজ) + (দ্বিতীয় ব্যক্তির ১ দিনের কাজ) = (দুই ব্যক্তির একত্রে ১ দিনের কাজ)
$\frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$

এখন $x$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12}$

ভগ্নাংশ দুটির সাধারণ হর নির্ণয় করি, ৮ এবং ১২ এর ল.সা.গু. হলো ২৪।
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24}$
$\frac{1}{x} = \frac{3 - 2}{24}$
$\frac{1}{x} = \frac{1}{24}$

সুতরাং, $x = 24$।

অতএব, দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি ২৪ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ
রহিম কাজটি করতে পারে ১৫ দিনে। সুতরাং, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{15}$ অংশ।
করিম কাজটি করতে পারে ৬ দিনে। সুতরাং, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{6}$ অংশ।
গাজী কাজটি করতে পারে ১০ দিনে। সুতরাং, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{10}$ অংশ।

তারা তিন জনে একত্রে ১ দিনে মোট কাজ করবে:
$\frac{1}{15} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10}$
$= \frac{2+5+3}{30}$ (লসাগু 30)
$= \frac{10}{30}$
$= \frac{1}{3}$ অংশ।

যেহেতু তারা ১ দিনে $\frac{1}{3}$ অংশ কাজ করে, তাহলে পুরো কাজটি করতে তাদের সময় লাগবে ৩ দিন।

ব্যাখ্যাঃ
ক ও খ একত্রে ১২ দিনে কাজটি করতে পারে। তাই, ১ দিনে তারা করে $\frac{1}{12}$ অংশ।
ক একা ২০ দিনে কাজটি করতে পারে। তাই, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{20}$ অংশ।

খ একা ১ দিনে যে কাজ করে = (ক ও খ এর ১ দিনের কাজ) - (ক এর ১ দিনের কাজ)
$= \frac{1}{12} - \frac{1}{20}$
$= \frac{5 - 3}{60}$ (লসাগু ৬০)
$= \frac{2}{60}$
$= \frac{1}{30}$ অংশ।

সুতরাং, খ একা কাজটি করতে পারবে ৩০ দিনে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: দেওয়া তথ্য বিশ্লেষণ - ২ জন টাইপিস্ট ২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে। - অর্থাৎ, ২ জন টাইপিস্ট ১ মিনিটে টাইপ করতে পারে: \[ \frac{2 \text{ পৃষ্ঠা}}{2 \text{ মিনিট}} = 1 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট} \] সুতরাং, ২ জন টাইপিস্ট একসাথে ১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে। ### ধাপ ২: ১ জন টাইপিস্ট কত টাইপ করে তা বের করা যেহেতু ২ জন টাইপিস্ট ১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে, তাই ১ জন টাইপিস্ট টাইপ করবে: \[ \frac{1 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট}}{2} = 0.5 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট} \] ### ধাপ ৩: প্রয়োজনীয় টাইপিং হার নির্ণয় করা আমাদের ৬ মিনিটে ১৮ পৃষ্ঠা টাইপ করতে হবে। সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইপিং হার হবে: \[ \frac{18 \text{ পৃষ্ঠা}}{6 \text{ মিনিট}} = 3 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট} \] ### ধাপ ৪: প্রয়োজনীয় টাইপিস্ট সংখ্যা নির্ণয় করা যেহেতু ১ জন টাইপিস্ট ১ মিনিটে ০.৫ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে, তাই ৩ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট টাইপ করতে প্রয়োজন হবে: \[ \frac{3 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট}}{0.5 \text{ পৃষ্ঠা প্রতি মিনিট প্রতি টাইপিস্ট}} = 6 \text{ টাইপিস্ট} \] ### উত্তর: ৬ জন টাইপিস্ট লাগবে ১৮ পৃষ্ঠা টাইপ করতে ৬ মিনিটে। ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: "৩০ কে অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" এখানে "অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" মানে \( \frac{1}{2} \) দ্বারা ভাগ করা, যা গুণনের বিপরীত। অতএব, \[ 30 \div \frac{1}{2} = 30 \times 2 = 60 \] ### ধাপ ২: ১০ যোগ করা \[ 60 + 10 = 70 \] ### উত্তর: সঠিক উত্তর ৭০। ✅

ব্যাখ্যাঃ

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, ১২ জন শ্রমিক ৩ দিনে মোট ৭২০ টাকা আয় করেছে। এটি প্রমাণ করে যে, ১ জন শ্রমিক ৩ দিনে আয় করেছে: \[ \frac{720}{12} = 60 \text{ টাকা} \] তাহলে, ১ জন শ্রমিক ৩ দিনে 60 টাকা আয় করে। এখন, ৯ জন শ্রমিক ৩ দিনে মোট আয় করবে: \[ 9 \times 60 = 540 \text{ টাকা} \] অতএব, ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে ৫৪০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ

ক এবং খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। এর মানে হল তারা ১ দিনে ১/১২ অংশ কাজ করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে, অর্থাৎ ক ১ দিনে ১/২০ অংশ কাজ করতে পারে। এখন, খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে, তা বের করতে হবে।
যেহেতু ক এবং খ একত্রে ১ দিনে ১/১২ অংশ কাজ করে এবং ক একা ১ দিনে ১/২০ অংশ কাজ করে, তাই খ একা ১ দিনে (১/১২ - ১/২০) অংশ কাজ করে।
(১/১২ - ১/২০) = (৫ - ৩)/৬০ = ২/৬০ = ১/৩০
অতএব, খ একা ১ দিনে ১/৩০ অংশ কাজ করে। সুতরাং, খ একা কাজটি করতে ৩০ দিন সময় নেবে।
উত্তর: খ একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা নির্ণয় করি যে, সম্পূর্ণ কাজটি করতে কতদিন সময় লাগবে। যদি ৩ দিনে কাজের \(\frac{১}{২৭}\) অংশ শেষ হয়, তাহলে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে সময় লাগবে: \[ ৩ \times ২৭ = ৮১ \text{ দিন} \] এখন, ৩ গুন কাজের জন্য সময় হিসাব করতে: \[ ৩ \times ৮১ = ২৪৩ \text{ দিন} \] সুতরাং, ঐ কাজের ৩ গুন কাজ করতে ২৪৩ দিন লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত ব্যবহার করে গাছের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি।
বাঁশের ক্ষেত্রে:
উচ্চতা = ৬ ফুট, ছায়া = ৪ ফুট
অতএব, ছায়ার অনুপাত = \( \frac{৬}{৪} = ১.৫ \)

গাছের ক্ষেত্রে:
ছায়ার দৈর্ঘ্য = ৬৪ ফুট
তাহলে গাছের উচ্চতা হবে: \[ \text{উচ্চতা} = ৬৪ \times ১.৫ = ৯৬ \text{ ফুট} \] সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হবে ৯৬ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, তিনটি নলের এক ঘণ্টায় পূরণ ক্ষমতা বের করি—

প্রথম নল: \[ \frac{1}{8} \text{ অংশ প্রতি ঘণ্টায়} \] দ্বিতীয় নল: \[ \frac{1}{12} \text{ অংশ প্রতি ঘণ্টায়} \] তৃতীয় নল: \[ \frac{1}{24} \text{ অংশ প্রতি ঘণ্টায়} \] তাহলে, তিনটি নল একসাথে এক ঘণ্টায় পূরণ করবে: \[ \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} \] সাধারণ ল.সা.গু ২৪ নিয়ে যোগ করলে: \[ \frac{3}{24} + \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \] অর্থাৎ, তিনটি নল একসাথে এক ঘণ্টায় চৌবাচ্চার \( \frac{1}{4} \) অংশ পূরণ করবে।

এখন, চৌবাচ্চার \( \frac{3}{4} \) অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে: \[ \frac{3}{4} \div \frac{1}{4} = 3 \times 1 = 3 \text{ ঘণ্টা} \] সুতরাং, চৌবাচ্চার তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে ৩ ঘণ্টা সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ

৩২ দিনের খাবার আছে = ১৫ জনের
১ " " " = ১৫×৩২ "
২০ " " " = (১৫×৩২)/২০ "
= ২৪ জনের
∴নতুন ছাত্র = (২৪ - ১৫) = ৯ জন

ব্যাখ্যাঃ রিতু ও সিতু একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে।
সুতরাং, ১ দিনে তারা কাজটির $\frac{১}{৮}$ অংশ করতে পারে।

তারা ৬ দিন কাজ করার পর সিতু চলে গেল।
৬ দিনে তারা কাজ করলো = $৬ \times \frac{১}{৮}$ অংশ
$= \frac{৬}{৮}$ অংশ
$= \frac{৩}{৪}$ অংশ

কাজটির মোট অংশ হলো ১ (বা সম্পূর্ণ কাজ)।
কাজটির বাকি অংশ = $১ - \frac{৩}{৪}$ অংশ
$= \frac{৪ - ৩}{৪}$ অংশ
$= \frac{১}{৪}$ অংশ

কাজটির $\frac{১}{৪}$ অংশ বাকি থাকবে।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, কাফি ১ দিনে কাজ করে = ১/১০ অংশ খলিল ১ দিনে কাজ করে = ১/১৫ অংশ

তারা একত্রে ১ দিনে কাজ করে = (১/১০ + ১/১৫) অংশ = (৩+২)/৩০ অংশ = ৫/৩০ অংশ = ১/৬ অংশ

সুতরাং, তারা একত্রে পুরো কাজটি করতে পারবে ৬ দিনে।