প্রাক্টিস বীজগাণিতিক রাশি অধ্যায়ের বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

1, 1

-1, 3

-3, -4

0, 2

ব্যাখ্যাঃ ধরি, $a$ এবং $b$ দুটি সংখ্যা। আমাদের দেওয়া আছে:

১. $a + b = 2$
২. $ab = 1$

এখন আমরা $a$ এবং $b$-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: \[ x^2 - (a+b)x + ab = 0 \] এখন $a+b = 2$ এবং $ab = 1$ এর মান ব্যবহার করি: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ: \[ (x - 1)^2 = 0 \] তাহলে, $x = 1$। অর্থাৎ, $a = 1$ এবং $b = 1$।

উত্তর: $a = 1$ এবং $b = 1$।

২. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}=$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 29-03-2024 ]

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{3}+2$

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$3-\sqrt{2}$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] এখন আমরা লঘিষ্ঠ করার জন্য লব্ধি ও হরকে $\sqrt{6} - 2$ দিয়ে গুণ করি, যাকে লঘিষ্ঠকরণ পদ্ধতি বলা হয়। \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \cdot \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} \] এখন হরের গুণফল বের করি। এটি $(a + b)(a - b)$-এর সূত্র অনুযায়ী হয়: \[ (\sqrt{6})^2 - (2)^2 = 6 - 4 = 2 \] তাহলে ভগ্নাংশটি হয়: \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{2} \] এখন সরল করি: \[ \frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{12}}{2} - \sqrt{2} \] $\sqrt{12}$ কে সরল করলে পাই $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$। তাহলে চূড়ান্ত রূপটি হবে: \[ \frac{2\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] উত্তর: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \]

৩. যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয় তাহলে y এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]

৪

9.5

3

7

ব্যাখ্যাঃ প্রথম সমীকরণটি: \[ x + 5y = 24 \] দ্বিতীয় সমীকরণটি: \[ x = 3y \] প্রথম সমীকরণে $x = 3y$ বসাই: \[ 3y + 5y = 24 \] সরল করি: \[ 8y = 24 \] এখন $y$-এর মান নির্ণয় করি: \[ y = \frac{24}{8} = 3 \] উত্তর: $y = 3$।

৪. (2+x)+3 = 3(x+2) হলে x এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

$\frac{১}{৩}$

$−\frac{১}{৩}$

$\frac{১}{২}$

$−\frac{১}{২}$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \[ (2 + x) + 3 = 3(x + 2) \] এখন ধাপে ধাপে সমাধান করি: \[ 2 + x + 3 = 3(x + 2) \] \[ 5 + x = 3(x + 2) \] \[ 5 + x = 3x + 6 \] \[ 5 - 6 = 3x - x \] \[ -1 = 2x \] \[ x = \frac{-1}{2} \] উত্তর: $ x = -\frac{1}{2} $।

৫. যদি $a + b + c = 0$ হয় তবে $a^3 + b^3 + c^3 $ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]

1

3abc

abc

0

ব্যাখ্যাঃ যখন $a + b + c = 0$, তখন একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক পরিচিতি অনুযায়ী: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] এখানে $a + b + c = 0$, সুতরাং উপরের সমীকরণটি হয়: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \] অতএব, \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \] সুতরাং, $a + b + c = 0$ হলে, $a^3 + b^3 + c^3$-এর মান হয় $3abc$।

৬. যদি ( 6x-y, 13)= (1, 3x+2y) হয়, তাহলে (x, y) = কত?

[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]

(2, 3)

(3, 2)

(1, 5)

(5, 1)

ব্যাখ্যাঃ

এখানে, দুটি ক্রমজোড় সমান হলে তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলোও সমান হবে।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

১. 6x - y = 1
২. 3x + 2y = 13
আমরা এখন এই দুটি সমীকরণ সমাধান করে x এবং y এর মান বের করব।

প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা y এর মান বের করতে পারি:
y = 6x - 1
এখন, এই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই:
3x + 2(6x - 1) = 13
বা, 3x + 12x - 2 = 13
বা, 15x = 15
বা, x = 1
এখন, x এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই:
6(1) - y = 1
বা, 6 - y = 1
বা, y = 5
সুতরাং, (x, y) = (1, 5)

৭. $$x+y=12$$ এবং $$x-y=2$$ হলে $$xy$$ -এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

৪৫

৩০

৪০

৩৫

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব: \[ x + y = 12 \] \[ x - y = 2 \] এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই: \[ (x + y) + (x - y) = 12 + 2 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] এখন $ x $-এর মান $ x + y = 12 $ সমীকরণে বসাই: \[ 7 + y = 12 \] \[ y = 12 - 7 \] \[ y = 5 \] তাহলে, $ x = 7 $ এবং $ y = 5 $। এখন $ xy $-এর মান নির্ণয় করি: \[ xy = 7 \times 5 = 35 \] তাহলে, $ xy $-এর মান হল ৩৫।

৮. 2x = 3y + 5 হলে 4x - 6y = কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

10

15

20

12

ব্যাখ্যাঃ আমরা $ 2x = 3y + 5 $ সমীকরণ থেকে $ x $ এবং $ y $-এর সম্পর্ক ব্যবহার করে $ 4x - 6y $-এর মান বের করব।

প্রথমে $ 2x = 3y + 5 $-কে দ্বিগুণ করি যাতে $ 4x $ পাওয়া যায়: \[ 4x = 2(3y + 5) = 6y + 10 \] এখন $ 4x - 6y $ বের করার জন্য: \[ 4x - 6y = (6y + 10) - 6y = 10 \] অতএব, $ 4x - 6y $-এর মান হলো ১০।

৯. $x − \frac{1}{x} = 2 হলে x^4 + \frac{1}{x^4}$

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

32

33

34

35

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে কাজ করি:

প্রথমে দেওয়া সমীকরণ: \[ x - \frac{1}{x} = 2 \] এখন, উভয় পক্ষের বর্গ করলে: \[ (x - \frac{1}{x})^2 = 2^2 \] \[ x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4 \] \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \] এখন, উভয় পক্ষের বর্গ করলে: \[ (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 6^2 \] \[ x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 36 \] \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = 34 \] সুতরাং, চূড়ান্ত উত্তর ৩৪।

১০. y এর মান কত হলে $16x^2 − xy + 25$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

64

40

25

36

ব্যাখ্যাঃ আমরা চাই $ 16x^2 - xy + 25 $ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হোক, অর্থাৎ এটি $ (ax + b)^2 $ আকারে লেখা সম্ভব হতে হবে।

ধাপে ধাপে সমাধান:
পূর্ণবর্গ রাশির সাধারণ রূপ: \[ (ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 \] এটি তুলনা করে পাই:
$ a^2 = 16 $ ⟹ $ a = 4 $ (যেহেতু ধনাত্মক নেওয়া যায়)
$ 2ab = -y $ ⟹ $ 2(4)b = -y $ ⟹ $ 8b = -y $
$ b^2 = 25 $ ⟹ $ b = ±5 $

$ y $ নির্ণয়: \[ y = -8b \] যখন $ b = 5 $: \[ y = -8 \times 5 = -40 \] যখন $ b = -5 $: \[ y = -8 \times (-5) = 40 \] সুতরাং, $ y = 40 $ বা $ y = -40 $ হলে $ 16x^2 - xy + 25 $ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

বিকল্প নিয়ম:
\[16x^2 - xy + 25\] \[= (4x)^2 - 2.4x.5 + 5^2\] \[= (4x - 5)^2\] সুতরাং y এর স্থলে 5 হলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে।

১১. $x+y =7$ এবং $xy =10$ হলে $( x − y )^2$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]

6

32

4

9

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] এখন, প্রদত্ত মান বসাই: \[ (x - y)^2 = 7^2 - 4 \times 10 \] \[ = 49 - 40 \] \[ = 9 \] সুতরাং, $ (x - y)^2 $ এর মান ৯।

১২. $a-[a-a-(a-1)]=?$

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

2a +1

2a-1

1

-1

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, $ a - a $ অংশ সরলীকরণ করি: \[ a - a = 0 \] এখন, সমীকরণটি হয়: \[ a - [0 - (a - 1)] \] \[ a - [-(a - 1)] \] \[ a + (a - 1) \] \[ a + a - 1 \] \[ 2a - 1 \] সুতরাং, $ a - [a - a - (a - 1)] = 2a - 1 $।

১৩. $a + b =9 , a-b=7 হলে ab =$ কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]

7

6

9

8

ব্যাখ্যাঃ $$ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}$$ সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $$ab = \frac{(9)^2 - (7)^2}{4}$$$$ab = \frac{81 - 49}{4}$$$$ab = \frac{32}{4}$$ $$ab = 8$$
বিকল্প:
প্রথমে, $ a $ এবং $ b $ এর মান বের করি— \[ a + b = 9 \] \[ a - b = 7 \] দুই সমীকরণ যোগ করি: \[ (a + b) + (a - b) = 9 + 7 \] \[ 2a = 16 \] \[ a = \frac{16}{2} = 8 \] এখন, $ b $ এর মান নির্ণয় করি— \[ b = 9 - a = 9 - 8 = 1 \] তাহলে, \[ ab = 8 \times 1 = 8 \] সুতরাং, $ ab = 8 $।

১৪. $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]

12 xy

24xy

2xy

6 xy

ব্যাখ্যাঃ একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে তা $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ অথবা $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ আকারে প্রকাশ করতে হবে।

এখানে, প্রদত্ত রাশিটি হলো $4x^2 + 9y^2$।
আমরা এটিকে $a^2 + b^2$ আকারের সাথে তুলনা করতে পারি, যেখানে $a^2 = 4x^2$ এবং $b^2 = 9y^2$।
তাহলে, $a = \sqrt{4x^2} = 2x$
এবং $b = \sqrt{9y^2} = 3y$

পূর্ণবর্গ রাশি হতে হলে এর সাথে $2ab$ যোগ অথবা বিয়োগ করতে হবে।
$2ab = 2 \times (2x) \times (3y) = 12xy$

সুতরাং, $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে $12xy$ যোগ করলে যোগফল $(2x + 3y)^2$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
আবার, $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে $-12xy$ যোগ করলে যোগফল $(2x - 3y)^2$ একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

সুতরাং, $4x^2 + 9y^2$ এর সাথে $12xy$ অথবা $-12xy$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

১৫. $x − \frac{1}{x} = 1 হলে x^3 − \frac{1}{x^3} $ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]

4.0

1.0

2.0

3.0

ব্যাখ্যাঃ $x - \frac{1}{x} = 1$

আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$।

এখানে, $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$।

তাহলে, $x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x - \frac{1}{x})$

দেওয়া আছে $x - \frac{1}{x} = 1$। এই মান বসিয়ে পাই:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot 1 (1)$
$x^3 - \frac{1}{x^3} = 1 + 3$
$x^3 - \frac{1}{x^3} = 4$

উত্তর: $x^3 - \frac{1}{x^3}$ এর মান ৪।

১৬. যদি $a+\frac{1}{a}=4$ হয়, তাহলে $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=?$ এর মান কত?

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]

12

14

16

9

১৭. $\sqrt{x^{2}}=?$

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]

$x^{2}$

x

-x

$± x$

১৮. যদি a-b=7, ab=60 হয়, তাহলে $a^2+b^2=$?

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]

180

168

169

170

১৯. $(-1)\times(-1)\times(-1)+(-1)(-1)=?$

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৬-২০১৯ ]

0

1

2

-2

২০. যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a ও b এর যথাক্রমে -

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]

A-1,3

-3,-4

0,2

1,1

২১. $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ এর নিম্নোক্ত কোন মানের জন্য $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=0$ হবে?

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]

0

-2

1

2

২২. P- এর মান কত হলে $4x^2 - px + 9$ একটি পূর্ণবর্গ হবে?

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]

16

10

9

12

২৩. x+y=6 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৩-০৬-২০১৯ ]

12

7

10

9