ব্যাখ্যাঃ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে, সংখ্যাটির গুণনীয়কগুলোর ঘাত সমান হতে হবে। আমরা \(125\)-এর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি: \[ 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \] এখন, \(5^3\)-কে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বানাতে হলে \(5\)-এর ঘাতকে জোড় সংখ্যা করতে হবে। সুতরাং, আরও \(5\) দিয়ে গুণ করতে হবে যাতে এটি \(5^4 = (5^2)^2\) হয়ে যায়, যা একটি পূর্ণ বর্গ।

তাহলে, \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করতে হবে।

উত্তর: \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

ব্যাখ্যাঃ

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো এমন একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, এই ধরনের সংখ্যার একমাত্র গুণনীয়ক হল ১ এবং নিজেই।

২: এটি শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য, তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ

চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৯৯৯৯ এবং তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ১০০। এখন এগুলো বিয়োগ করলে:

৯৯৯৯ - ১০০ = ৯৮৯৯

অতএব, বিয়োগফল হলো ৯৮৯৯।

ব্যাখ্যাঃ

আমরা জানি,
ক সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ক²
সুতরাং ১০টি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ১০² = ১০০
উত্তরঃ ১০০

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, ০৪ থেকে ৮৪ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বের করি: \[ ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০, ৬৪, ৬৮, ৭২, ৭৬, ৮০, ৮৪ \] এগুলোকে বড় থেকে ছোট করে সাজালে: \[ ৮৪, ৮০, ৭৬, ৭২, ৬৮, ৬৪, ৬০, ৫৬, ... \] এখানে ৮ম সংখ্যাটি হলো ৫৬।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা হলো \( p, q, r \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
প্রথম দুটি সংখ্যা \( p \) এবং \( q \), যাদের গুণফল: \[ p \times q = 91 \] শেষ দুটি সংখ্যা \( q \) এবং \( r \), যাদের গুণফল: \[ q \times r = 143 \] এখন, আমরা মৌলিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করি—
\( 91 = 7 \times 13 \),
\( 143 = 11 \times 13 \)।

এখানে \( q = 13 \) হলে, প্রথম সংখ্যা \( p = 7 \) এবং শেষ সংখ্যা \( r = 11 \)।

সুতরাং, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা ৭, ১৩, ১১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা \( n \) দ্বারা ৩৬৬ ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৩১, তাহলে সেই সংখ্যা অবশ্যই ৩৬৬ - ৩১ = ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

এখন, দেওয়া অপশনগুলোর সংখ্যা বিশ্লেষণ করি এবং ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি।

৩৩৫-এর গুণনীয়ক: \[ 335 = 5 \times 67 \] অর্থাৎ, \( 335 \) শুধুমাত্র ৫ এবং ৬৭ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যাখ্যাঃ আমি এখানে ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, সেগুলোকে চিহ্নিত করব এবং তাদের সমষ্টি নির্ণয় করব:

যে সকল সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ হয়:
১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯

এখন, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করি:

• ১৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ১৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
  
• ২৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ২৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
  
• ৩৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় ($3 \times 13 = 39$)।
  
• ৪৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় ($7 \times 7 = 49$)।
  
• ৫৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ৫৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
  

সুতরাং, ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, তারা হলো: ১৯, ২৯, ৫৯।

তাদের সমষ্টি:
$১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭$

উত্তর: তাদের সমষ্টি ১০৭।

ব্যাখ্যাঃ ৪ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি তৈরি করতে, প্রদত্ত অঙ্কগুলো (০, ১, ২, ৩) ব্যবহার করে সবচেয়ে বড় অঙ্ক থেকে ছোট অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে:
৩, ২, ১, ০
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩২১০

৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি তৈরি করতে, সবচেয়ে ছোট অঙ্ক থেকে বড় অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে। তবে, ০ কে প্রথমে বসালে সেটি ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে না (যেমন: ০১২৩ মানে ১২৩)। তাই, ০ বাদে সবচেয়ে ছোট অঙ্কটি প্রথমে বসাতে হবে, তারপর ০ এবং বাকি অঙ্কগুলো ক্রমানুসারে সাজাতে হবে।
১, ০, ২, ৩
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১০২৩

এবার, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল নির্ণয় করি:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$

উত্তর: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত ৪ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল হলো ২১৮৭।