ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে:
$$
a^{-3} = 0.2
$$
প্রথমে $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, সুতরাং
$$
\frac{1}{a^3} = 0.2 \Rightarrow a^3 = \frac{1}{0.2} = 5
$$

এখন, $a^{12} = (a^3)^4 = 5^4 = 625$

উত্তর: $a^{12} = 625$

ব্যাখ্যাঃ আমরা \(9^x + 9^x + 9^x\)-কে সহজভাবে লিখতে পারি।
ধরি, \(9^x\) একটি সাধারণ পদ। তাহলে:
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[ 9^x + 9^x + 9^x = 3 \cdot 9^x \]
\[3.3^{2x}\] \[3^{2x+1}\]

ব্যাখ্যাঃ \(0 \div 0\) নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, এটি একটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) রাশি।

এর কারণ হলো:
- ভাগফল \(x\)-কে নির্ণয় করতে হলে \(0 \div 0 = x\), যা থেকে পাই \(x \times 0 = 0\)।
- যেকোনো সংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x \times 0 = 0\) হয়, তাই এখানে \(x\)-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

অতএব, \(0 \div 0\) অসংজ্ঞায়িত।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি সংখ্যাটি \(x\)।

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে যত বড়, অর্থাৎ \(x - ৫৬০\), তা ৮০০ থেকে তত ছোট, অর্থাৎ \(৮০০ - x\)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$x - ৫৬০ = ৮০০ - x$$
$$x + x = ৮০০ + ৫৬০$$
$$২x = ১৩৬০$$
$$x = \frac{১৩৬০}{২}$$
$$x = ৬৮০$$

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৬৮০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো \(x\)।
প্রদত্ত শর্ত অনুসারে: \[ \frac{1}{2}x + 6 = \frac{2}{3}x \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি:

১. প্রথমে ভগ্নাংশগুলো সরল করার জন্য উভয় পাশে \(6\)-এর ল.সা.গু \(6\) দ্বারা গুণ করি: \[ 6 \cdot \frac{1}{2}x + 6 \cdot 6 = 6 \cdot \frac{2}{3}x \] \[ 3x + 36 = 4x \] ২. সমীকরণটি পুনরায় লিখি: \[ 36 = 4x - 3x \] \[ 36 = x \] উত্তর: সংখ্যাটি হলো \(36\)।

ব্যাখ্যাঃ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে, সংখ্যাটির গুণনীয়কগুলোর ঘাত সমান হতে হবে। আমরা \(125\)-এর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি: \[ 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \] এখন, \(5^3\)-কে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বানাতে হলে \(5\)-এর ঘাতকে জোড় সংখ্যা করতে হবে। সুতরাং, আরও \(5\) দিয়ে গুণ করতে হবে যাতে এটি \(5^4 = (5^2)^2\) হয়ে যায়, যা একটি পূর্ণ বর্গ।

তাহলে, \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করতে হবে।

উত্তর: \(125\)-কে \(5\) দ্বারা গুণ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ১ গ্রাম = ১০০০ মিলিগ্রাম।

তাহলে, ৫ গ্রাম = \(5 \times 1000 = 5000 \, \text{মিলিগ্রাম}\)।

উত্তর: পেনসিলটির ওজন \(5000 \, \text{মিলিগ্রাম}\)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, কলমের মূল্য হলো \(x\) টাকা।
তাহলে কাগজের মূল্য হবে \(x - 40\) টাকা।

প্রশ্ন অনুসারে, তাদের মোট মূল্য \(240\) টাকা: \[ x + (x - 40) = 240 \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ 2x - 40 = 240 \] \[ 2x = 240 + 40 \] \[ 2x = 280 \] \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{280}{2} = 140 \] উত্তর: কলমের মূল্য \(140\) টাকা।

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু \(x < 4\), এর মান হতে পারে \(4\)-এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

১. কঃ 0:
\(0\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।

২. খঃ 3:
\(3\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।

৩. ঘঃ -4:
\(-4\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।

৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু \(0\), \(3\), এবং \(-4\) সবকটিই \(x < 4\)-এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:

গঃ সবগুলোই।

ব্যাখ্যাঃ \(1 \, \text{মিলিয়ন} = 0.001 \, \text{বিলিয়ন}\)।

কথায় বললে, ১ মিলিয়ন হলো ১ বিলিয়নের এক-হাজার ভাগের এক ভাগ।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \(0.005 \times 0.5 \times 0.05 \times 0.005\) গুণফল বের করি: \[ 0.005 \times 0.5 = 0.0025 \] \[ 0.0025 \times 0.05 = 0.000125 \] \[ 0.000125 \times 0.005 = 0.000000625 \] এখন মূল সমীকরণটি: \[ 0.5 + 0.05 + 0.000000625 \] এগুলো যোগ করি: \[ 0.5 + 0.05 = 0.55 \] \[ 0.55 + 0.000000625 = 0.550000625 \] উত্তর: \(0.5 + 0.05 + 0.005 \times 0.5 \times 0.05 \times 0.005 = 0.550000625\)।

ব্যাখ্যাঃ

১০ কোটি হলো ১০০ মিলিয়ন।

এর ব্যাখ্যা হলো, ১ কোটিতে থাকে ১০ মিলিয়ন। সুতরাং, ১০ কোটি × ১০ মিলিয়ন = ১০০ মিলিয়ন।

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর একটি নিদিষ্ট ক্রম রয়েছে, যা মনে হচ্ছে একটি গুণোত্তর ধারার (geometric progression) অংশ। এখানে:

- প্রথম সংখ্যা: \( ৮১ \)
- দ্বিতীয় সংখ্যা: \( ২৭ \)
- তৃতীয় সংখ্যা: লুপ্ত
- চতুর্থ সংখ্যা: \( ৩ \)
- পঞ্চম সংখ্যা: \( ১ \)

ধরা যাক, ধারার অনুপাত \( r \)। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে \( r \)-এ গুণ করে পাওয়া যায়। প্রথম দুটি সংখ্যার মধ্যে \( r \) নির্ণয় করি: \[ r = \frac{২৭}{৮১} = \frac{১}{৩} \] এখন \( r = \frac{১}{৩} \) ব্যবহার করে, তৃতীয় সংখ্যাটি বের করি: \[ তৃতীয় সংখ্যা = ২৭ \times \frac{১}{৩} = ৯ \] অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হলো ৯।

ব্যাখ্যাঃ এই গুণফল বের করতে আমরা ধাপে ধাপে এগোবো: \[ ০.৪ × ০.০২ × ০.০৮ \] প্রথমে \( ০.৪ × ০.০২ \) করি: \[ ০.৪ × ০.০২ = ০.০০৮ \] এরপর \( ০.০০৮ × ০.০৮ \) করি: \[ ০.০০৮ × ০.০৮ = ০.০০০৬৪ \] অতএব, গুণফল হলো ০.০০০৬৪।

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.০০০১ = \frac{1}{10000} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.০০০১} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = ০.০১ \] উত্তর: ০.০০০১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.০১} \]

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, \( \sqrt{২৮৯} \) গণনা করি। \[ \sqrt{২৮৯} = ১৭ \] এখন বিশ্লেষণ:
১. \( ১৭ \) হলো একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই এটি পূর্ণসংখ্যা।
২. \( ১৭ \) হলো একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (\( \frac{১৭}{১} \))।
৩. এটি কোনো অমূলদ সংখ্যা নয়, কারণ এটি দশমিক বা অসীম ধারা তৈরি করে না।
৪. \( ১৭ \) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা হলো সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: গঃ পূর্ণসংখ্যা এবং ঘঃ মূলদ।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সেই সংখ্যা হলো \( x \)। প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{২}{৭} \times x = ৬৪ \] এখন \( x \)-এর মান বের করতে সমীকরণটি সাজাই: \[ x = \frac{৬৪ \times ৭}{২} = \frac{৪৪৮}{২} = ২২৪ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ২২৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি হলো \( x \)। প্রশ্ন অনুযায়ী: \[ x - ৭৪২ = ৮৩০ - x \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ x + x = ৭৪২ + ৮৩০ \] \[ 2x = ১৫৭২ \] \[ x = \frac{১৫৭২}{২} = ৭৮৬ \] অতএব, সংখ্যাটি হলো ৭৮৬।

ব্যাখ্যাঃ ০.১ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:

ধাপ ১: সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ \[ ০.১ = \frac{1}{10} \] ধাপ ২: বর্গমূল নির্ণয় \[ \sqrt{০.১} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx ০.৩১৬২ \] উত্তর: ০.১ এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{০.৩১} \]

ব্যাখ্যাঃ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো:

ক্ষুদ্রতম: ৪১
বৃহত্তম: ৯৭
এখন, তাদের অন্তর গণনা করি: $$৯৭ - ৪১ = ৫৬$$ সুতরাং, ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হলো ৫৬।

ব্যাখ্যাঃ ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন, সুতরাং
৯ কোটি = \(৯ \times ১০ \; \text{মিলিয়ন} = ৯০ \; \text{মিলিয়ন}\)।

উত্তর: ঘঃ ৯০ মিলিয়ন।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বইয়ের মূল্য \(x\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য হবে \(x - ৭\) টাকা।
উভয়ের মূল্য মোট ৪৩ টাকা দেওয়া আছে, তাই \[ x + (x - ৭) = ৪৩ \] \[ ২x - ৭ = ৪৩ \] \[ ২x = ৪৩ + ৭ \] \[ ২x = ৫০ \] \[ x = \frac{৫০}{২} = ২৫ \] সুতরাং, বইয়ের মূল্য \(২৫\) টাকা এবং কলমের মূল্য \(২৫ - ৭ = ১৮\) টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য ১৮ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশমিক অঙ্ক \(x\) এবং একক অঙ্ক \(y\)।
তাহলে সংখ্যাটি হবে: \(10x + y\)।
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যা হবে: \(10y + x\)।

প্রশ্ন অনুসারে, \[ (10y + x) - (10x + y) = 63 \] \[ 10y + x - 10x - y = 63 \] \[ 9y - 9x = 63 \] \[ 9(y - x) = 63 \] \[ y - x = \frac{63}{9} = 7 \] সুতরাং, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য হলো ৭।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পাত্রটির ওজন \(x\) কেজি এবং তেলের সম্পূর্ণ পরিমাণের ওজন \(y\) কেজি।

তাহলে, তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + y = ৩২ \] অর্ধেক তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \] এখন এই দুটি সমীকরণ থেকে সমাধান করি: প্রথম সমীকরণ: \[ x + y = ৩২ \quad ...(১) \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \[ x + \frac{y}{2} = ২০ \quad ...(২) \] সমীকরণ (২) থেকে \(x\)-এর মান বের করি: \[ x = ২০ - \frac{y}{2} \quad ...(৩) \] এখন সমীকরণ (৩) -এর মান সমীকরণ (১)-এ বসাই: \[ \left(২০ - \frac{y}{2}\right) + y = ৩২ \] \[ ২০ + \frac{y}{2} = ৩২ \] \[ \frac{y}{2} = ৩২ - ২০ \] \[ \frac{y}{2} = ১২ \] \[ y = ১২ \times ২ = ২৪ \] তেলের ওজন \(y = ২৪\) কেজি। এখন \(x + y = ৩২\)-এ \(y = ২৪\) বসাই: \[ x + ২৪ = ৩২ \] \[ x = ৩২ - ২৪ = ৮ \] সুতরাং, পাত্রটির ওজন ৮ কেজি।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রাথমিকভাবে বাসে যাওয়ার ছাত্রসংখ্যা ছিল \(x\)।
তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় প্রতি ছাত্রের ভাড়া হবে: \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} \] এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেয়, অর্থাৎ মোট ছাত্রসংখ্যা হলো \(x + ১০\)।
তখন, প্রতি ছাত্রের ভাড়া হয়: \[ \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} \] প্রশ্ন অনুযায়ী, \[ \frac{{২৪০০}}{{x}} - \frac{{২৪০০}}{{x + ১০}} = ৮ \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{{২৪০০(x + ১০) - ২৪০০x}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ \frac{{২৪০০ \times ১০}}{{x(x + ১০)}} = ৮ \] \[ ২৪০০০ = ৮x(x + ১০) \] \[ ২৪০০০ = ৮(x^2 + ১০x) \] \[ x^2 + ১০x - ৩০০০ = ০ \] এটি একটি স্বাভাবিক বর্গ সমীকরণ, যা সমাধান করতে পারি: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] এখানে, \(a = ১\), \(b = ১০\), এবং \(c = -৩০০০\)। \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০^2 - ৪(১)(-৩০০০)}}}}{{২(১)}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১০০ + ১২০০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm \sqrt{{১২১০০}}}}{{২}} \] \[ x = \frac{{-১০ \pm ১১০}}{{২}} \] দুটি মান পাওয়া যায়: \[ x = \frac{{-১০ + ১১০}}{{২}} = \frac{{১০০}}{{২}} = ৫০ \] \[ x = \frac{{-১০ - ১১০}}{{২}} = \frac{{-১২০}}{{২}} = -৬০ \; (\text{নেতিবাচক মান বাস্তবসম্মত নয়}) \] সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্রসংখ্যা ছিল \(৫০\)।
এখন অতিরিক্ত ১০ জন যোগ দেওয়ার পরে মোট ছাত্রসংখ্যা: \(৫০ + ১০ = ৬০\)।

সুতরাং, বাসে ৬০ জন ছাত্র গিয়েছিল।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ভাজ্য নির্ণয় করতে হবে।

প্রদত্ত তথ্য:
- ভাজক (d) = ৭৮
- ভাগফল (q) = ২৫
- ভাগশেষ (r) = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = \( \frac{78}{3} = 26 \)

ভাজ্য নির্ণয়ের সূত্র: \[ ভাজ্য = (ভাজক \times ভাগফল) + ভাগশেষ \] গণনা: \[ ভাজ্য = (78 \times 25) + 26 \] \[ 78 \times 25 = 1950 \] \[ ভাজ্য = 1950 + 26 = 1976 \] সুতরাং, ভাজ্য হলো ১৯৭৬। \[ \boxed{১৯৭৬} \]

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ধাপে ধাপে যেতে হবে।

ধরি,
- সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \( x \)
- সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = \( y \)

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী:
1. অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯: \[ x + y = 9 \quad \text{(1)} \] 2. অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ বেশি: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] সমীকরণ সরলীকরণ: \[ 10x + y = 10y + x + 27 \] \[ 10x - x + y - 10y = 27 \] \[ 9x - 9y = 27 \] \[ x - y = 3 \quad \text{(2)} \] সমীকরণ (1) এবং (2) সমাধান: \[ x + y = 9 \] \[ x - y = 3 \] যোগ করে পাই: \[ 2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] সমীকরণ (1) থেকে: \[ 6 + y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \] সুতরাং, সংখ্যাটি হলো: \[ 10y + x = 10 \times 3 + 6 = 36 \] উত্তর: \[ \boxed{36} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটি \(x\)।

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: \[ \sqrt{x} + ২০ = ৫^২ \] প্রথমে সমীকরণটি সরল করি: \[ \sqrt{x} + ২০ = ২৫ \] এখন, \(২০\) কে অন্যপাশে সরিয়ে নেই: \[ \sqrt{x} = ২৫ - ২০ \] \[ \sqrt{x} = ৫ \] এখন বর্গ করি উভয় পাশে: \[ x = ৫^২ \] \[ x = ২৫ \] উত্তর: সংখ্যাটি ২৫।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y, যেখানে x > y

প্রথম শর্তানুসারে:
(x/২) + (y/২) = ৪০
বা, (x+y)/২ = ৪০
বা, x+y = ৮০ (১)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে:
(x-y)/৪ = ১৮
বা, x-y = ৭২ (২)
এখন, আমরা (১) এবং (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
২x = ১৫২
বা, x = ৭৬
x এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
৭৬ + y = ৮০
বা, y = ৪
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি ৪।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য হলো \(x\) ফুট।
তাহলে, বড় অংশের দৈর্ঘ্য হবে \(২০ - x\) ফুট।

প্রশ্নমতে, ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ: \[ x = \frac{২}{৩} \times (২০ - x) \] এখন সমীকরণটি সরল করি: \[ x = \frac{২}{৩} \times ২০ - \frac{২}{৩} \times x \] \[ x + \frac{২}{৩}x = \frac{২}{৩} \times ২০ \] \[ \frac{৩}{৩}x + \frac{২}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] \[ \frac{৫}{৩}x = \frac{৪০}{৩} \] এখন \(x\)-এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{৪০}{৩} \div \frac{৫}{৩} \] \[ x = \frac{৪০}{৩} \times \frac{৩}{৫} \] \[ x = ৮ \] উত্তর: ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ৮ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ \[ \frac{2 \times 3 \times 0.5}{1.5} \] ধাপে ধাপে সমাধান:

1. লবের গুণফল নির্ণয়: \[ 2 \times 3 = 6 \] \[ 6 \times 0.5 = 3 \] 2. হর: \[ 1.5 \] 3. লবকে হর দিয়ে ভাগ: \[ \frac{3}{1.5} = 2 \] সুতরাং, রাশিটির মান হলো: \[ \boxed{2} \]

ব্যাখ্যাঃ

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো এমন একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, এই ধরনের সংখ্যার একমাত্র গুণনীয়ক হল ১ এবং নিজেই।

২: এটি শুধুমাত্র ১ এবং নিজেই দ্বারা বিভাজ্য, তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যাঃ

চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৯৯৯৯ এবং তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ১০০। এখন এগুলো বিয়োগ করলে:

৯৯৯৯ - ১০০ = ৯৮৯৯

অতএব, বিয়োগফল হলো ৯৮৯৯।

ব্যাখ্যাঃ

০.০১ × ০.০১ = ০.০০০১

সুতরাং ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে: \[ \log_2 32 = x \implies 2^x = 32 \] এখন, \(32\) কে \(2\)-এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি: \[ 32 = 2^5 \] অতএব, \[ 2^x = 2^5 \] ঘাতের সমতা থেকে পাই: \[ x = 5 \] উত্তর: \[ \boxed{5} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, রহিম ইংরেজিতে পেয়েছে \( x \) নম্বর।
তাহলে গণিতে তিনি পেয়েছেন \( x + ১৪ \) নম্বর।
এখন, মোট নম্বর দেওয়া আছে \( ১৮০ \)।
সুতরাং, সমীকরণ হবে: \[ x + (x + ১৪) = ১৮০ \] \[ ২x + ১৪ = ১৮০ \] \[ ২x = ১৮০ - ১৪ \] \[ ২x = ১৬৬ \] \[ x = \frac{১৬৬}{২} = ৮৩ \] তাহলে, গণিতে রহিম পেয়েছেন: \[ x + ১৪ = ৮৩ + ১৪ = ৯৭ \] উত্তর: গণিতে রহিম পেয়েছে ৯৭ নম্বর।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক,
ভাজ্য = \( x \)
ভাজক = \( 0.5 \)
ভাগফল = \( \frac{x}{0.5} \)

প্রশ্ন অনুসারে,
ভাজক = ভাগফল × ১০
অর্থাৎ, \[ 0.5 = \left(\frac{x}{0.5}\right) \times 10 \] এখন, \( x \) নির্ণয় করি: \[ 0.5 = \frac{10x}{0.5} \] দুইপাশে \( 0.5 \) গুণ করলে: \[ 0.5 \times 0.5 = 10x \] \[ 0.25 = 10x \] এখন, \( x \) বের করি: \[ x = \frac{0.25}{10} = 0.025 \] সুতরাং, ভাজ্য হবে ০.০২৫।

ব্যাখ্যাঃ পূর্ণবর্গ সংখ্যা পাওয়ার জন্য আমাদের ২৪৫০ সংখ্যাটির মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথমে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করি: \[ 2450 = 2 \times 5^2 \times 7^2 \] পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত সমান হতে হবে। এখানে 2 একক ঘাতে আছে, তাই একে পূর্ণবর্গ করতে আরও 2 দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুতরাং, ২৪৫০ সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

পূর্ণবর্গ সংখ্যা: \[ 2450 \times 2 = 4900 = (70)^2 \] সুতরাং, গুণনীয়ক হবে ২।

বিকল্প নিয়ম:
২৪৫০ × ২
= ৪৯০০
= ✓৪৯০০
= ৭০
অর্থাৎ ২ দ্বারা গুণ করতে হবে ।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ভগ্নাংশকে সরলীকরণ করি— \[ \frac{০.০০১}{০.১ \times ০.১} = \frac{০.০০১}{০.০১} \] এখন, ভাগ করি: \[ \frac{০.০০১}{০.০১} = ০.১ \] সুতরাং, মান হবে ০.১।

ব্যাখ্যাঃ আমরা \( \sqrt{0.000009} \) নির্ণয় করতে পারি— \[ 0.000009 = 9 \times 10^{-6} \] এখন, বর্গমূল বের করি: \[ \sqrt{0.000009} = \sqrt{9 \times 10^{-6}} \] \[ = \sqrt{9} \times \sqrt{10^{-6}} \] \[ = 3 \times 10^{-3} \] \[ = 0.003 \] সুতরাং, \( \sqrt{0.000009} = 0.003 \)।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা \( n \) দ্বারা ৩৬৬ ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৩১, তাহলে সেই সংখ্যা অবশ্যই ৩৬৬ - ৩১ = ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

এখন, দেওয়া অপশনগুলোর সংখ্যা বিশ্লেষণ করি এবং ৩৩৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো চিহ্নিত করি।

৩৩৫-এর গুণনীয়ক: \[ 335 = 5 \times 67 \] অর্থাৎ, \( 335 \) শুধুমাত্র ৫ এবং ৬৭ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যাখ্যাঃ আমি এখানে ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, সেগুলোকে চিহ্নিত করব এবং তাদের সমষ্টি নির্ণয় করব:

যে সকল সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ হয়:
১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯

এখন, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করি:

• ১৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ১৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
  
• ২৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ২৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
  
• ৩৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় ($3 \times 13 = 39$)।
  
• ৪৯: এটি মৌলিক সংখ্যা নয় ($7 \times 7 = 49$)।
  
• ৫৯: এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ৫৯ ছাড়া এর কোনো উৎপাদক নেই)।
  

সুতরাং, ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯, তারা হলো: ১৯, ২৯, ৫৯।

তাদের সমষ্টি:
$১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭$

উত্তর: তাদের সমষ্টি ১০৭।

ব্যাখ্যাঃ ৪ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি তৈরি করতে, প্রদত্ত অঙ্কগুলো (০, ১, ২, ৩) ব্যবহার করে সবচেয়ে বড় অঙ্ক থেকে ছোট অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে:
৩, ২, ১, ০
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩২১০

৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি তৈরি করতে, সবচেয়ে ছোট অঙ্ক থেকে বড় অঙ্ক ক্রমানুসারে সাজাতে হবে। তবে, ০ কে প্রথমে বসালে সেটি ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে না (যেমন: ০১২৩ মানে ১২৩)। তাই, ০ বাদে সবচেয়ে ছোট অঙ্কটি প্রথমে বসাতে হবে, তারপর ০ এবং বাকি অঙ্কগুলো ক্রমানুসারে সাজাতে হবে।
১, ০, ২, ৩
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১০২৩

এবার, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল নির্ণয় করি:
$৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$

উত্তর: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত ৪ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল হলো ২১৮৭।