ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ক মিটার এবং প্রস্থ খ মিটার।

প্রথম শর্তানুযায়ী,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ক × খ = ১৯২ বর্গমিটার ... (১)

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
(ক - ৪) × (খ + ৪) = ১৯২ বর্গমিটার
বা, কখ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
সমীকরণ (১) থেকে কখ এর মান বসিয়ে পাই,
১৯২ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
বা, ৪ক - ৪খ = ১৬
বা, ৪(ক - খ) = ১৬
বা, ক - খ = $\frac{১৬}{৪}$
$\therefore$ ক - খ = ৪
বা, ক = খ + ৪ ... (২)

এখন, সমীকরণ (১) এ ক এর মান বসিয়ে পাই,
(খ + ৪) × খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ - ১৯২ = ০
বা, খ² + ১৬খ - ১২খ - ১৯২ = ০
বা, খ(খ + ১৬) - ১২(খ + ১৬) = ০
বা, (খ + ১৬)(খ - ১২) = ০

যেহেতু প্রস্থের মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই খ = ১২।
প্রস্থ (খ) = ১২ মিটার

সমীকরণ (২) এ খ এর মান বসিয়ে পাই,
দৈর্ঘ্য (ক) = ১২ + ৪ = ১৬ মিটার।

এখন, আয়তাকার কক্ষটির পরিসীমা নির্ণয় করি:
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১৬ + ১২)
= ২ × ২৮
= ৫৬ মিটার।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা আয়তাকার কক্ষের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা = ৫৬ মিটার।
বর্গাকার কক্ষের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{পরিসীমা}{৪} = \frac{৫৬}{৪}$ = ১৪ মিটার।

বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (১৪)²
= ১৪ × ১৪
= ১৯৬ বর্গমিটার।

সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল হবে ১৯৬ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য \(l\) এবং প্রস্থ \(b\)।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,
\[ b = \frac{2}{3}l \] এবং পরিসীমা \(P = 40\)।

পরিসীমার সূত্র হলো: \[ P = 2(l + b) \] এখন মানগুলো বসাই: \[ 40 = 2\left(l + \frac{2}{3}l\right) \] \[ 40 = 2\left(\frac{3l + 2l}{3}\right) \] \[ 40 = 2 \cdot \frac{5l}{3} \] \[ 40 = \frac{10l}{3} \] \[ l = \frac{40 \cdot 3}{10} = 12 \] এখন, প্রস্থ বের করি: \[ b = \frac{2}{3}l = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \] অতএব, ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = l \cdot b = 12 \cdot 8 = 96 \, \text{মিটার}^2 \] ঘরটির ক্ষেত্রফল \(96 \, \text{মিটার}^2\)।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সেমি।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বাহুর দৈর্ঘ্য $\times \sqrt{2}$
কর্ণের দৈর্ঘ্য = $8\sqrt{2}$ সেমি।

এখন, এই কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $8\sqrt{2}$ সেমি।

ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)$^2$
= $(8\sqrt{2})^2$
= $8^2 \times (\sqrt{2})^2$
= $64 \times 2$
= 128 বর্গ সেমি।

সুতরাং, কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 128 বর্গ সেমি।