30°
60°
80°
90°
ব্যাখ্যাঃ মনে করি ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $a = k$, $b = 2\sqrt{2}k$, এবং $c = 3k$, যেখানে $k$ একটি ধ্রুব সংখ্যা এবং $k > 0$.
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c = 3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.
কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k)^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2 - 2(k)(2\sqrt{2}k) \cos C$$$$9k^2 = k^2 + 8k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$$$9k^2 = 9k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
$$0 = -4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
যেহেতু $k \neq 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C = 0$$
আমরা জানি যে $\cos 90^\circ = 0$.
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C = 90^\circ$.
অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।
সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $90^\circ$ পাওয়া যায়।
ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি বৃহত্তম কোণের বিপরীত দিকে থাকে। এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো $c = 3k$. সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি $C$.
কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$(3k)^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2 - 2(k)(2\sqrt{2}k) \cos C$$$$9k^2 = k^2 + 8k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$$$9k^2 = 9k^2 - 4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
$$0 = -4\sqrt{2}k^2 \cos C$$
যেহেতু $k \neq 0$, তাই আমরা লিখতে পারি:
$$\cos C = 0$$
আমরা জানি যে $\cos 90^\circ = 0$.
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটির মান $C = 90^\circ$.
অতএব, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটি সমকোণ।
সারাংশ: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1:2\sqrt{2}:3$ হলে, বৃহত্তম বাহু $3k$ এর বিপরীত কোণটি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $90^\circ$ পাওয়া যায়।
২. ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC। যদি E এবং F AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE =?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
১৩২°
১৮০°
১০৮°
১৬০°
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ত্রিভুজ ABC-এর কোণের মান নির্ণয় করতে যাচ্ছি। ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ করা যাক।
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত তথ্য:
- ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে AB = AC।
- ∠B = ৪৮°।
- EF || BC, অর্থাৎ EF ও BC সমান্তরাল।
১ম ধাপ: ∠A নির্ণয় করা
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুই সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হয়।
\[
∠B = ∠C = ৪৮°
\]
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০°, তাই—
\[
∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (48° + 48°) = ৮৪°
\]
২য় ধাপ: ∠AFE নির্ণয় করা
EF || BC থাকার কারণে ∠AFE এবং ∠B পরস্পর সমকোণ (Corresponding Angles)।
\[
∠AFE = ∠B = ৪৮°
\]
৩য় ধাপ: ∠A + ∠AFE নির্ণয় করা
\[
∠A + ∠AFE = ৮৪° + ৪৮° = ১৩২°
\]
সঠিক উত্তর: \(132^\circ\)
ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত তথ্য:
- ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে AB = AC।
- ∠B = ৪৮°।
- EF || BC, অর্থাৎ EF ও BC সমান্তরাল।
১ম ধাপ: ∠A নির্ণয় করা
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুই সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হয়।
\[
∠B = ∠C = ৪৮°
\]
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০°, তাই—
\[
∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (48° + 48°) = ৮৪°
\]
২য় ধাপ: ∠AFE নির্ণয় করা
EF || BC থাকার কারণে ∠AFE এবং ∠B পরস্পর সমকোণ (Corresponding Angles)।
\[
∠AFE = ∠B = ৪৮°
\]
৩য় ধাপ: ∠A + ∠AFE নির্ণয় করা
\[
∠A + ∠AFE = ৮৪° + ৪৮° = ১৩২°
\]
সঠিক উত্তর: \(132^\circ\)
৩. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?
[ বিসিএস ৪৪তম ]
$$\sqrt{২}$$
$$\sqrt{৩}$$
২
৩
ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে, তার উচ্চতা $(x)$ হলো $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a = 2$ সে.মি.।
সুতরাং, উচ্চতা $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2$ সে.মি.
$x = \sqrt{3}$ সে.মি.
অতএব, $x$ এর মান $\sqrt{3}$.
$\\~\\$
উত্তর: $\sqrt{3}$ সে.মি.
এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a = 2$ সে.মি.।
সুতরাং, উচ্চতা $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2$ সে.মি.
$x = \sqrt{3}$ সে.মি.
অতএব, $x$ এর মান $\sqrt{3}$.
$\\~\\$
উত্তর: $\sqrt{3}$ সে.মি.
৪. △ABC এর ∠A=40° এবং ∠B=80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA=?
[ বিসিএস ৪১তম ]
১১০º
১০০º
৯০º
৮০º
ব্যাখ্যাঃ ত্রিভুজ ABC এ, আমরা জানি যে তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। সুতরাং,
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$$$40^\circ + 80^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$120^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$$$$\angle C = 60^\circ$$
CD হল ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং,
$$\angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$$
এখন, ত্রিভুজ ADC এ, আমরা জানি যে তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। সুতরাং,
$$\angle CDA + \angle DAC + \angle ACD = 180^\circ$$$$\angle CDA + 40^\circ + 30^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA + 70^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA = 180^\circ - 70^\circ$$$$\angle CDA = 110^\circ$$
সুতরাং, ∠CDA = ১১০°।
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$$$40^\circ + 80^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$120^\circ + \angle C = 180^\circ$$$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$$$$\angle C = 60^\circ$$
CD হল ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং,
$$\angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$$
এখন, ত্রিভুজ ADC এ, আমরা জানি যে তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। সুতরাং,
$$\angle CDA + \angle DAC + \angle ACD = 180^\circ$$$$\angle CDA + 40^\circ + 30^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA + 70^\circ = 180^\circ$$$$\angle CDA = 180^\circ - 70^\circ$$$$\angle CDA = 110^\circ$$
সুতরাং, ∠CDA = ১১০°।
৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
$$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$$
$$\frac{2}{3}a^2$$
$$\frac{2}{\sqrt{3}}a^2$$
$$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো:
ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গ একক।
৬. ABC এ ∠B = 90° , যদি AC = 2 AB হয় তবে, ∠C এর মান কত?
[ বিসিএস ৩৮তম ]
45°
22.5°
30°
60°
ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে যে, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\angle B = 90^\circ$।
এবং, $AC = 2 AB$।
আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।
আমরা জানি, $\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\angle C$ এর সাপেক্ষে,
লম্ব = $AB$
অতিভুজ = $AC$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{AB}{AC}$
দেওয়া আছে $AC = 2 AB$।
সুতরাং, $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$
আমরা জানি যে, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$।
অতএব, $\angle C = 30^\circ$।
এবং, $AC = 2 AB$।
আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।
আমরা জানি, $\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\angle C$ এর সাপেক্ষে,
লম্ব = $AB$
অতিভুজ = $AC$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{AB}{AC}$
দেওয়া আছে $AC = 2 AB$।
সুতরাং, $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$
তাহলে, $\sin(\angle C) = \frac{1}{2}$
আমরা জানি যে, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$।
অতএব, $\angle C = 30^\circ$।
১৭ কি. মি.
১৫ কি. মি.
১৪ কি. মি.
১৩ কি. মি.
ব্যাখ্যাঃ
A অবস্থান থেকে দূরত্ব $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{(১২)^২ + (৫)^২}$
$= \sqrt{১৪৪ + ২৫}$
$= \sqrt{১৬৯}$
$\therefore AC = ১৩$ কি. মি.
A অবস্থান থেকে দূরত্ব $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{(১২)^২ + (৫)^২}$
$= \sqrt{১৪৪ + ২৫}$
$= \sqrt{১৬৯}$
$\therefore AC = ১৩$ কি. মি.
৮. 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-
[ বিসিএস ৩৭তম ]
সমবাহু
সমদ্বিবাহু
সমকোণী
স্থূলকোণী
ব্যাখ্যাঃ এই বাহুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে তা জানতে, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean theorem) প্রয়োগ করে দেখতে পারি যে এটি সমকোণী ত্রিভুজ কিনা।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজের বর্গ (সবচেয়ে বড় বাহু) অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান হয়।
এখানে বাহুগুলো হলো 17 সে.মি., 15 সে.মি., এবং 8 সে.মি.।
সবচেয়ে বড় বাহুটি হলো 17 সে.মি.।
আমরা পরীক্ষা করি: $8^2 + 15^2$ এবং $17^2$
$8^2 = 64$
$15^2 = 225$
$17^2 = 289$
এখন যোগফল দেখি:
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
যেহেতু $8^2 + 15^2 = 17^2$ (অর্থাৎ $289 = 289$), এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।
অতএব, 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজের বর্গ (সবচেয়ে বড় বাহু) অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান হয়।
এখানে বাহুগুলো হলো 17 সে.মি., 15 সে.মি., এবং 8 সে.মি.।
সবচেয়ে বড় বাহুটি হলো 17 সে.মি.।
আমরা পরীক্ষা করি: $8^2 + 15^2$ এবং $17^2$
$8^2 = 64$
$15^2 = 225$
$17^2 = 289$
এখন যোগফল দেখি:
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
যেহেতু $8^2 + 15^2 = 17^2$ (অর্থাৎ $289 = 289$), এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।
অতএব, 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
৯. ∆ABC এ ∠A = 40°, ∠B=70°, হলে ∆ABC কি ধরনের ত্রিভুজ?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
সমকোণী
স্থুলকোণী
সমদ্বিবাহু
সমবাহু
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°। এখানে, ∠A = 40° ∠B = 70°
তাহলে, ∠C = 180° - (∠A + ∠B) ∠C = 180° - (40° + 70°) ∠C = 180° - 110° ∠C = 70°
এখন, আমরা ত্রিভুজের তিনটি কোণ পেয়েছি: ∠A = 40° ∠B = 70° ∠C = 70°
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি কোণ সমান (∠B = ∠C = 70°), তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)। (কারণ, যে ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান, তার বিপরীত বাহুগুলোও সমান হয়।)
এছাড়াও, যেহেতু এর কোনো কোণই ৯০° এর বেশি নয়, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজও বটে। তবে কোণের সমান হওয়ার বৈশিষ্ট্যের কারণে এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হিসেবেই পরিচিতি লাভ করে।
১০. বিষমবাহু ∆ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত ∆ABD এর ক্ষেত্রফল $$x$$ বর্গমিটার। ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ৩৪তম ]
$$x^2$$ বর্গমিটার
2x বর্গমিটার
$$(\frac{x}{2})^2$$ বর্গমিটার
$$(\frac{\sqrt{x}}{3})^3$$ বর্গমিটার
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজের মধ্যমা (median) ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে। এখানে, $AD$ হলো $\triangle ABC$-এর একটি মধ্যমা। সুতরাং, $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$ এর ক্ষেত্রফল সমান।
$\text{Area}(\triangle ABD) = \text{Area}(\triangle ACD) = x$ বর্গমিটার
$\triangle ABC$-এর মোট ক্ষেত্রফল = $\text{Area}(\triangle ABD) + \text{Area}(\triangle ACD)$
$= x + x$
$= 2x$ বর্গমিটার।
ত্রিভুজের মধ্যমা (median) ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে। এখানে, $AD$ হলো $\triangle ABC$-এর একটি মধ্যমা। সুতরাং, $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$ এর ক্ষেত্রফল সমান।
$\text{Area}(\triangle ABD) = \text{Area}(\triangle ACD) = x$ বর্গমিটার
$\triangle ABC$-এর মোট ক্ষেত্রফল = $\text{Area}(\triangle ABD) + \text{Area}(\triangle ACD)$
$= x + x$
$= 2x$ বর্গমিটার।
১১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৩৩তম ]
১০ সে. মি.
৮ সে. মি.
৪ সে. মি.
৬ সে. মি
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি হলো $x$ সে.মি.।
প্রশ্ন অনুযায়ী,
লম্ব = $(x-২)$ সে.মি.
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
$(লম্ব)^২ + (ভূমি)^২ = (অতিভুজ)^২$
$\implies (x-২)^২ + x^২ = (x+২)^২$
$\implies x^২ - ৪x + ৪ + x^২ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - ৪x + ৪ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - x^২ - ৪x - ৪x + ৪ - ৪ = ০$
$\implies x^২ - ৮x = ০$
$\implies x(x-৮) = ০$
এখানে, $x = ০$ হতে পারে না, কারণ ভূমির দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না।
তাহলে, $x-৮ = ০$
$\implies x = ৮$
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ৮ সে.মি.।
এখন অতিভুজের দৈর্ঘ্য:
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
$= (৮+২)$ সে.মি.
$= ১০$ সে.মি.
প্রশ্ন অনুযায়ী,
লম্ব = $(x-২)$ সে.মি.
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
$(লম্ব)^২ + (ভূমি)^২ = (অতিভুজ)^২$
$\implies (x-২)^২ + x^২ = (x+২)^২$
$\implies x^২ - ৪x + ৪ + x^২ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - ৪x + ৪ = x^২ + ৪x + ৪$
$\implies ২x^২ - x^২ - ৪x - ৪x + ৪ - ৪ = ০$
$\implies x^২ - ৮x = ০$
$\implies x(x-৮) = ০$
এখানে, $x = ০$ হতে পারে না, কারণ ভূমির দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না।
তাহলে, $x-৮ = ০$
$\implies x = ৮$
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ৮ সে.মি.।
এখন অতিভুজের দৈর্ঘ্য:
অতিভুজ = $(x+২)$ সে.মি.
$= (৮+২)$ সে.মি.
$= ১০$ সে.মি.
একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান
একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান
একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান
ব্যাখ্যাঃ
অপশন (ক), (গ) ও (ঘ) এর বিদ্যমান শর্তগুলো দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য যথেষ্ট। কিন্তু অপশন (খ)-এ বিদ্যমান শর্তটি দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়। ৩ কোণ সমান হলেও ২টি ত্রিভুজ সর্বসম নাও হতে পারে।
১৩. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?
[ বিসিএস ৩১তম ]
৬ : ৫ : ৪
৩ : ৪ : ৫
১২ : ৮ : ৪
৬ : ৪ : ৩
ব্যাখ্যাঃ যে ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৩:৪:৫ হবে, সেটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
সমাধান
একটি ত্রিভুজ সমকোণী হয় যদি তার বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম দুটি বাহুর বর্গের যোগফল বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান হয়। অর্থাৎ, $a^2 + b^2 = c^2$, যেখানে $a$ ও $b$ হলো ক্ষুদ্রতম বাহু এবং $c$ হলো বৃহত্তম বাহু বা অতিভুজ।
এখন, আমরা বিকল্পগুলো যাচাই করে দেখি:
* ক: ৬ : ৫ : ৪
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
$6^2 = 36$
যেহেতু $41 \ne 36$, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
* খ: ৩ : ৪ : ৫
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$5^2 = 25$
যেহেতু $3^2 + 4^2 = 5^2$, তাই এই অনুপাতটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
* গ: ১২ : ৮ : ৪
$4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$
$12^2 = 144$
যেহেতু $80 \ne 144$, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
* ঘ: ৬ : ৪ : ৩
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$6^2 = 36$
যেহেতু $25 \ne 36$, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
সুতরাং, শুধুমাত্র ৩:৪:৫ অনুপাতটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলায় এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে।
সমাধান
একটি ত্রিভুজ সমকোণী হয় যদি তার বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম দুটি বাহুর বর্গের যোগফল বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান হয়। অর্থাৎ, $a^2 + b^2 = c^2$, যেখানে $a$ ও $b$ হলো ক্ষুদ্রতম বাহু এবং $c$ হলো বৃহত্তম বাহু বা অতিভুজ।
এখন, আমরা বিকল্পগুলো যাচাই করে দেখি:
* ক: ৬ : ৫ : ৪
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
$6^2 = 36$
যেহেতু $41 \ne 36$, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
* খ: ৩ : ৪ : ৫
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$5^2 = 25$
যেহেতু $3^2 + 4^2 = 5^2$, তাই এই অনুপাতটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
* গ: ১২ : ৮ : ৪
$4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$
$12^2 = 144$
যেহেতু $80 \ne 144$, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
* ঘ: ৬ : ৪ : ৩
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$6^2 = 36$
যেহেতু $25 \ne 36$, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
সুতরাং, শুধুমাত্র ৩:৪:৫ অনুপাতটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলায় এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে।
11 miles
12 miles
13 miles
14 miles
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, শহর A কে আমরা (0, 0) পয়েন্টে রাখব। 1. শহর A এর অবস্থান: শহর A এর অবস্থান হল (0, 0)। 2. শহর B এর অবস্থান: শহর B, শহর A থেকে 5 মাইল পূর্ব দিকে, তাই শহর B এর অবস্থান হবে (5, 0)। 3. শহর C এর অবস্থান: শহর C, শহর B থেকে 10 মাইল দক্ষিণ-পূর্বে অবস্থান করছে। দক্ষিণ-পূর্বের দিকের কোণ 45 ডিগ্রি, তাই আমরা পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। দক্ষিণ-পূর্বে 45 ডিগ্রির কোণ থেকে, শহর C এর স্থানাঙ্ক হবে: - x-উপাদান (পূর্ব-পশ্চিম দিক) = \( 10 \times \cos(45^\circ) \approx 7.07 \) - y-উপাদান (উত্তর-দক্ষিণ দিক) = \( 10 \times \sin(45^\circ) \approx 7.07 \) তাহলে, শহর C এর অবস্থান হবে \( (5 + 7.07, -7.07) \), অর্থাৎ \( (12.07, -7.07) \)। 4. শহর A থেকে শহর C পর্যন্ত দূরত্ব: দুইটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব বের করতে আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করি: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] এখানে \( (x_1, y_1) \) হচ্ছে শহর A এর অবস্থান (0, 0) এবং \( (x_2, y_2) \) হচ্ছে শহর C এর অবস্থান (12.07, -7.07): \[ d = \sqrt{(12.07 - 0)^2 + (-7.07 - 0)^2} \] \[ d = \sqrt{12.07^2 + (-7.07)^2} \] \[ d = \sqrt{145.68 + 49.98} = \sqrt{195.66} \approx 14.0 \text{ মাইল} \] অতএব, শহর A থেকে শহর C পর্যন্ত দূরত্ব প্রায় 14 মাইল।
7 meters
14 meters
10 meters
6 meters
ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: চলার বিবরণ বিশ্লেষণ - দুটি ব্যক্তি একই স্থান থেকে শুরু করে বিপরীত দিকে ৪ মিটার করে হাঁটলেন। - এরপর উভয়েই বাম দিকে ঘুরে ৩ মিটার করে হাঁটলেন। ### ধাপ ২: চলার দিক নির্ধারণ - প্রথম ব্যক্তি ৪ মিটার পূর্ব দিকে গেলেন, তারপর বামে (উত্তর) ঘুরে ৩ মিটার হাঁটলেন। - দ্বিতীয় ব্যক্তি ৪ মিটার পশ্চিম দিকে গেলেন, তারপর বামে (দক্ষিণ) ঘুরে ৩ মিটার হাঁটলেন। এখন, আমাদের এই দুই ব্যক্তির মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ৩: পিথাগোরাস সূত্র প্রয়োগ দুই ব্যক্তির অবস্থান একটি সমকোণী ত্রিভুজের বিপরীত কোণে অবস্থান করছে, যেখানে— - অনুভূমিক দূরত্ব = \( 4 + 4 = 8 \) মিটার - উল্লম্ব দূরত্ব = \( 3 + 3 = 6 \) মিটার এখন, পিথাগোরাস সূত্র ব্যবহার করি: \[ \text{দূরত্ব} = \sqrt{(\text{অনুভূমিক দূরত্ব})^2 + (\text{উল্লম্ব দূরত্ব})^2} \] \[ = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} \] \[ = \sqrt{64 + 36} \] \[ = \sqrt{100} \] \[ = 10 \text{ মিটার} \] ### চূড়ান্ত উত্তর: দুই ব্যক্তির মধ্যকার দূরত্ব ১০ মিটার। ✅
১৬. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
[ বিসিএস ২৭তম ]
৩৬
৪৮
৫৬
৭২
ব্যাখ্যাঃ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, দুইটি বাহু সমান এবং 90° কোণে অবস্থান করে। যদি এই ত্রিভুজের অতিভুজ \( 12 \) সেমি হয়, তবে আমরা প্রথমে প্রতিটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব। ### ধাপ ১: বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় পাইথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ h^2 = a^2 + a^2 \] যেখানে, - \( h = 12 \) সেমি (অতিভুজ) - \( a \) = প্রতিটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য \[ 12^2 = 2a^2 \] \[ 144 = 2a^2 \] \[ a^2 = 72 \] \[ a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ সেমি} \] ### ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, \[ A = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} \] \[ A = \frac{1}{2} \times (6\sqrt{2}) \times (6\sqrt{2}) \] \[ A = \frac{1}{2} \times 72 \] \[ A = 36 \text{ বর্গ সেমি} \] ### চূড়ান্ত উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ সেমি।
১৭. একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?
[ বিসিএস ২৫তম ]
14 মিটার
16 মিটার
18 মিটার
20 মিটার
ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করব। প্রদত্ত: - খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 48 মিটার - খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে ধরি: - খুঁটিটি \(x\) মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে - ভাঙ্গার পর খুঁটির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য = \(48 - x\) মিটার সমাধান: খুঁটিটি ভেঙ্গে গিয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে, তাই আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই যেখানে: - লম্ব = \(x\) মিটার (খুঁটির ভাঙ্গা অংশের উচ্চতা) - অতিভুজ = \(48 - x\) মিটার (ভাঙ্গার পর খুঁটির উপরের অংশের দৈর্ঘ্য) - কোণ = 30° ত্রিকোণমিতি অনুযায়ী, \[ \sin(30°) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} \] \[ \sin(30°) = \frac{x}{48 - x} \] আমরা জানি, \[ \sin(30°) = \frac{1}{2} \] সুতরাং, \[ \frac{1}{2} = \frac{x}{48 - x} \] এই সমীকরণটি সমাধান করলে: \[ 2x = 48 - x \] \[ 2x + x = 48 \] \[ 3x = 48 \] \[ x = \frac{48}{3} = 16 \] উত্তর: \[ \boxed{16 \text{ মিটার}} \]
একটি সমকোণী ত্রিভুজ
একটি সমবাহু ত্রিভুজ
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যাঃ
দুটি সরলরেখার ঢালের পরমমান সমান এবং তৃতীয় সরলরেখাটি কোনো একটি অক্ষের সমান্তরাল হলে, উক্ত রেখা দুইটি তৃতীয় রেখা দ্বারা সমানভাবে বিভক্ত হবে। এই কারণে (y=3x+2) এবং (y=-3x+2) রেখা দুইটির ঢাল যথাক্রমে 3 এবং -3, যাদের পরমমান সমান। সুতরাং, রেখা দুইটি তৃতীয় রেখা দ্বারা সমান অংশে বিভক্ত হবে
এখানে তৃতীয় রেখাটি হলো (y=-2)। তৃতীয় রেখাটি x অক্ষের সমান্তরাল। সুতরাং, (y=3x+2) এবং (y=-3x+2) সরলরেখা দুটি (y=-2) রেখা দ্বারা সমানভাবে বিভক্ত হবে। অতএব, (y=3x+2), (y=-3x+2) এবং (y=-2) দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
যদি তৃতীয় রেখাটি (x=0) বা (y=2) হয়, অর্থাৎ মূলবিন্দু দিয়ে যায়, তাহলে কোনো ত্রিভুজ তৈরি হবে না।
অতএব, উত্তর হলো: (y=3x+2), (y=-3x+2) এবং (y=-2) দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
১৯. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬ ও ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ২৪তম ]
১৬ বর্গমিটার
১৫ বর্গমিটার
১৭ বর্গমিটার
১৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যাঃ আমরা হেরনের সূত্র (Heron's formula) ব্যবহার করে এই ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, ত্রিভুজটির পরিসীমার অর্ধেক \(s\) নির্ণয় করি: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] যেখানে \( a = 5 \) মিটার, \( b = 6 \) মিটার এবং \( c = 7 \) মিটার। \[ s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] এখন হেরনের সূত্র প্রয়োগ করি: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} \] \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} \] \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \sqrt{216} \] \[ \text{ক্ষেত্রফল} \approx 14.7 \] নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হল ১৫ বর্গমিটার।
২০. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
[ বিসিএস ২৩তম ]
২৪
৩৬
৪৮
৫০
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব, যেখানে— - ভূমি, \( b = 16 \) একক - প্রত্যেক বাহু, \( a = 10 \) একক ### ধাপ ১: লম্ব উচ্চতা নির্ণয় সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভূমির লম্ব সমদ্বিখণ্ডিত হবে। তাহলে, লম্ব রেখাটি ভূমিকে দুই সমান ভাগে ভাগ করবে: \[ \frac{16}{2} = 8 \text{ একক} \] এখন, আমরা উচ্চতা \( h \) নির্ণয়ের জন্য পাইথাগোরাস উপপাদ্য প্রয়োগ করব: \[ a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \] \[ 10^2 = h^2 + 8^2 \] \[ 100 = h^2 + 64 \] \[ h^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} = 6 \] ### ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} \times b \times h \] \[ = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 \] \[ = 8 \times 6 = 48 \text{ বর্গ একক} \] ### উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ একক
২১. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ২০তম ]
৩৬ ব.মি.
৪২ ব.মি
৪৮ ব.মি.
৫০ ব.মি.
ব্যাখ্যাঃ প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের:
- ভূমি = ১৬ মি.
- অপর দুটি বাহু = ১০ মি.
ক্ষেত্রফল বের করার জন্য প্রথমে ত্রিভুজটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা বের করার সূত্র: \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} \] এখানে,
\(a = ১০\) মি. (বাহু)
\(b = ১৬\) মি. (ভূমি)
\[ h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{16}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{100 - 64} \] \[ = \sqrt{36} \] \[ = 6 \text{ মি.} \] এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times b \times h \] \[ = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 \] \[ = 8 \times 6 \] \[ = 48 \text{ বর্গ মি.} \] তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে ৪৮ বর্গ মিটার।
- ভূমি = ১৬ মি.
- অপর দুটি বাহু = ১০ মি.
ক্ষেত্রফল বের করার জন্য প্রথমে ত্রিভুজটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা বের করার সূত্র: \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} \] এখানে,
\(a = ১০\) মি. (বাহু)
\(b = ১৬\) মি. (ভূমি)
\[ h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{16}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{100 - 64} \] \[ = \sqrt{36} \] \[ = 6 \text{ মি.} \] এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times b \times h \] \[ = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 \] \[ = 8 \times 6 \] \[ = 48 \text{ বর্গ মি.} \] তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে ৪৮ বর্গ মিটার।
২২. একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
[ বিসিএস ১৮তম ]
৪৮ ফুট
৪১ ফুট
৪৪ ফুট
৪৩ ফুট
ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভূজের মাধ্যমে সমাধান করা যায়। দেয়ালের উচ্চতা এবং মইয়ের তলদেশের দূরত্ব ত্রিভুজের দুইটি পা, আর মইটি হলো ত্রিভুজের অতিভুজ।
ধরি, মইটির দৈর্ঘ্য \( L \)। \[ \text{অতিভুজ}^2 = \text{পা}_1^2 + \text{পা}_2^2 \] \[ L^2 = ৪০^2 + ৯^2 \] \[ L^2 = ১৬০০ + ৮১ \] \[ L^2 = ১৬৮১ \] \[ L = \sqrt{১৬৮১} \] \[ L = ৪১ \] অতএব, মইটি ৪১ ফুট লম্বা।
ধরি, মইটির দৈর্ঘ্য \( L \)। \[ \text{অতিভুজ}^2 = \text{পা}_1^2 + \text{পা}_2^2 \] \[ L^2 = ৪০^2 + ৯^2 \] \[ L^2 = ১৬০০ + ৮১ \] \[ L^2 = ১৬৮১ \] \[ L = \sqrt{১৬৮১} \] \[ L = ৪১ \] অতএব, মইটি ৪১ ফুট লম্বা।
২৩. একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির ওপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ১৭তম ]
১০ গজ
১২ গজ
১৪ গজ
৭ গজ
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( A \) এবং উচ্চতা \( h \)।
প্রশ্নে প্রদত্ত অনুযায়ী: \[ A = ৮৪ \text{ বর্গগজ} \] \[ h = ১২ \text{ গজ} \] ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী: \[ A = \frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times h \] অতএব, ভূমির দৈর্ঘ্য \( b \) নির্ণয় করি: \[ ৮৪ = \frac{১}{২} \times b \times ১২ \] \[ ৮৪ = ৬b \] \[ b = \frac{৮৪}{৬} \] \[ b = ১৪ \text{ গজ} \] অতএব, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ১৪ গজ।
প্রশ্নে প্রদত্ত অনুযায়ী: \[ A = ৮৪ \text{ বর্গগজ} \] \[ h = ১২ \text{ গজ} \] ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী: \[ A = \frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times h \] অতএব, ভূমির দৈর্ঘ্য \( b \) নির্ণয় করি: \[ ৮৪ = \frac{১}{২} \times b \times ১২ \] \[ ৮৪ = ৬b \] \[ b = \frac{৮৪}{৬} \] \[ b = ১৪ \text{ গজ} \] অতএব, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ১৪ গজ।
২৪. $$x+y$$ এবং $$2x-y+3=0$$ সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
[ বিসিএস ১৭তম ]
$$\frac{১}{৩},\frac{১}{৩}$$
$$(১, ১)$$
$$(-৩, ৩)$$
$$(-১,১)$$
ব্যাখ্যাঃ দুটি সরলরেখার ছেদ বিন্দু বের করতে তাদের সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করতে হবে।
ধরি,
\( x + y = 0 \) (প্রথম সরলরেখা)
\( 2x - y + 3 = 0 \) (দ্বিতীয় সরলরেখা)
প্রথম সমীকরণ থেকে \( y \) এর মান পাই: \[ y = -x \] এখন দ্বিতীয় সমীকরণে \( y \) এর মানটি বসাই: \[ 2x - (-x) + 3 = 0 \] \[ 2x + x + 3 = 0 \] \[ 3x + 3 = 0 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \] এখন, \( x = -1 \) মানটি প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ y = -x \] \[ y = -(-1) \] \[ y = 1 \] অতএব, সরলরেখা দুটি \( (-1, 1) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
ধরি,
\( x + y = 0 \) (প্রথম সরলরেখা)
\( 2x - y + 3 = 0 \) (দ্বিতীয় সরলরেখা)
প্রথম সমীকরণ থেকে \( y \) এর মান পাই: \[ y = -x \] এখন দ্বিতীয় সমীকরণে \( y \) এর মানটি বসাই: \[ 2x - (-x) + 3 = 0 \] \[ 2x + x + 3 = 0 \] \[ 3x + 3 = 0 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \] এখন, \( x = -1 \) মানটি প্রথম সমীকরণে বসাই: \[ y = -x \] \[ y = -(-1) \] \[ y = 1 \] অতএব, সরলরেখা দুটি \( (-1, 1) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
২৫. দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে?
[ বিসিএস ১৬তম ]
দুই বাহু অন্তর্ভুক্ত কোণ
দুই কোণ ও এক বাহু
তিন কোণ
তিন বাহু
ব্যাখ্যাঃ
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হতে নাও পারে এমন উপাদানগুলোর মধ্যে হলো:
1. দুটি কোণ এবং একটি বাহু: দুই ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং একটি বাহু সমান হলেও, যদি সমান বাহু দুটি সমান কোণের মাঝখানে না থাকে, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে। (এটি "এএসএ" নিয়মে পতিত হয় না)
2. দুটি বাহু এবং একটি কোণ: দুই ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং একটি কোণ সমান হলেও, যদি সমান কোণ দুটি সমান বাহুর মাঝে না থাকে, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে। (এটি "এসএএস" নিয়মে পতিত হয় না)
এই দুটি ক্ষেত্রে ত্রিভুজ সমান হওয়ার জন্য শুধু উল্লেখিত উপাদানগুলো যথেষ্ট নয়; সেইসব উপাদানগুলি উপযুক্ত ক্রমে না থাকলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হতে নাও পারে।
সমবাহু
বিষমবাহু
সমকোণী
সমদ্বিবাহু
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি হলো:
1. \( x + y - 1 = 0 \)
2. \( x - y + 1 = 0 \)
3. \( y + 3 = 0 \)
এই সরলরেখাগুলির ছেদবিন্দুগুলি নির্ণয় করে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি বের করব।
### ধাপ ১: ছেদবিন্দু নির্ণয়
1. প্রথম ও দ্বিতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু: \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = -1 \end{cases} \] সমাধান করলে: \[ x = 0, \quad y = 1 \] ছেদবিন্দু: \( (0, 1) \)
2. প্রথম ও তৃতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু: \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ y = -3 \end{cases} \] সমাধান করলে: \[ x = 4, \quad y = -3 \] ছেদবিন্দু: \( (4, -3) \)
3. দ্বিতীয় ও তৃতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু: \[ \begin{cases} x - y = -1 \\ y = -3 \end{cases} \] সমাধান করলে: \[ x = -4, \quad y = -3 \] ছেদবিন্দু: \( (-4, -3) \)
### ধাপ ২: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো: - \( A(0, 1) \)
- \( B(4, -3) \)
- \( C(-4, -3) \)
### ধাপ ৩: ত্রিভুজের ধরণ নির্ণয়
1. বাহুর দৈর্ঘ্য:
- \( AB = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)
- \( AC = \sqrt{(-4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)
- \( BC = \sqrt{(-4-4)^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{64 + 0} = 8 \)
2. ত্রিভুজের ধরণ:
- যেহেতু \( AB = AC \) এবং \( BC \) ভিন্ন, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
### চূড়ান্ত উত্তর: ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
1. \( x + y - 1 = 0 \)
2. \( x - y + 1 = 0 \)
3. \( y + 3 = 0 \)
এই সরলরেখাগুলির ছেদবিন্দুগুলি নির্ণয় করে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি বের করব।
### ধাপ ১: ছেদবিন্দু নির্ণয়
1. প্রথম ও দ্বিতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু: \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = -1 \end{cases} \] সমাধান করলে: \[ x = 0, \quad y = 1 \] ছেদবিন্দু: \( (0, 1) \)
2. প্রথম ও তৃতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু: \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ y = -3 \end{cases} \] সমাধান করলে: \[ x = 4, \quad y = -3 \] ছেদবিন্দু: \( (4, -3) \)
3. দ্বিতীয় ও তৃতীয় সরলরেখার ছেদবিন্দু: \[ \begin{cases} x - y = -1 \\ y = -3 \end{cases} \] সমাধান করলে: \[ x = -4, \quad y = -3 \] ছেদবিন্দু: \( (-4, -3) \)
### ধাপ ২: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো: - \( A(0, 1) \)
- \( B(4, -3) \)
- \( C(-4, -3) \)
### ধাপ ৩: ত্রিভুজের ধরণ নির্ণয়
1. বাহুর দৈর্ঘ্য:
- \( AB = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)
- \( AC = \sqrt{(-4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)
- \( BC = \sqrt{(-4-4)^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{64 + 0} = 8 \)
2. ত্রিভুজের ধরণ:
- যেহেতু \( AB = AC \) এবং \( BC \) ভিন্ন, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
### চূড়ান্ত উত্তর: ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
১০
৩০
২০
২৫
ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করব।
ধাপ ১: সমস্যা বিশ্লেষণ
- মইয়ের দৈর্ঘ্য (\( L \)) = ৫০ মিটার
- দেওয়ালের উচ্চতা (\( h \)) = ৪০ মিটার
- মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (\( d \)) = ?
ধাপ ২: পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ L^2 = h^2 + d^2 \] মান বসিয়ে: \[ 50^2 = 40^2 + d^2 \] \[ 2500 = 1600 + d^2 \] \[ d^2 = 2500 - 1600 \] \[ d^2 = 900 \] \[ d = \sqrt{900} \] \[ d = 30 \] চূড়ান্ত উত্তর:
মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব ৩০ মিটার।
ধাপ ১: সমস্যা বিশ্লেষণ
- মইয়ের দৈর্ঘ্য (\( L \)) = ৫০ মিটার
- দেওয়ালের উচ্চতা (\( h \)) = ৪০ মিটার
- মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (\( d \)) = ?
ধাপ ২: পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ L^2 = h^2 + d^2 \] মান বসিয়ে: \[ 50^2 = 40^2 + d^2 \] \[ 2500 = 1600 + d^2 \] \[ d^2 = 2500 - 1600 \] \[ d^2 = 900 \] \[ d = \sqrt{900} \] \[ d = 30 \] চূড়ান্ত উত্তর:
মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব ৩০ মিটার।
১২ ফুট
৯ ফুট
৬ ফুট
৩ ফুট
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, খুঁটিটি মাটি থেকে \( h \) ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছে। খুঁটিটির মোট উচ্চতা ১৮ ফুট, তাই ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য হবে \( ১৮ - h \) ফুট।
ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে \( ৩০° \) কোণ তৈরি করে, তাই আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পাই: \[ \sin(৩০°) = \frac{h}{১৮ - h} \] যেহেতু \( \sin(৩০°) = \frac{১}{২} \), তাই: \[ \frac{১}{২} = \frac{h}{১৮ - h} \] \[ ১৮ - h = ২h \] \[১৮ = ৩h \] \[h = \frac{১৮}{৩} \] \[h = ৬ \] অতএব, খুঁটিটি মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।
ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে \( ৩০° \) কোণ তৈরি করে, তাই আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পাই: \[ \sin(৩০°) = \frac{h}{১৮ - h} \] যেহেতু \( \sin(৩০°) = \frac{১}{২} \), তাই: \[ \frac{১}{২} = \frac{h}{১৮ - h} \] \[ ১৮ - h = ২h \] \[১৮ = ৩h \] \[h = \frac{১৮}{৩} \] \[h = ৬ \] অতএব, খুঁটিটি মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।
২৯. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ বিসিএস ১৪তম ]
৬ সেমি
৫ সেমি
৮ সেমি
৭ সেমি
ব্যাখ্যাঃ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ নির্ণয় করতে আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: \[ h^2 = a^2 + b^2 \] এখানে, \( a = ৩ \) সেন্টিমিটার \( b = ৪ \) সেন্টিমিটার \( h \) = অতিভুজ তাহলে, \[ h^2 = ৩^2 + ৪^2 \] \[ h^2 = ৯ + ১৬ \] \[ h^2 = ২৫ \] \[ h = \sqrt{২৫} \] \[ h = ৫ \] সেন্টিমিটার অতএব, অতিভুজের মান ৫ সেন্টিমিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: \[ h^2 = a^2 + b^2 \] এখানে, \( a = ৩ \) সেন্টিমিটার \( b = ৪ \) সেন্টিমিটার \( h \) = অতিভুজ তাহলে, \[ h^2 = ৩^2 + ৪^2 \] \[ h^2 = ৯ + ১৬ \] \[ h^2 = ২৫ \] \[ h = \sqrt{২৫} \] \[ h = ৫ \] সেন্টিমিটার অতএব, অতিভুজের মান ৫ সেন্টিমিটার।
একটি সমবাহু ত্রিভুজ
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ
একটি সমকোণী ত্রিভুজ
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রেখাগুলি হল:
1. \( y = 3x + 2 \)
2. \( y = -3x + 2 \)
3. \( y = -2 \)
এই রেখাগুলি দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি ত্রিভুজ। নিম্নলিখিত ধাপে এটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:
১. রেখাগুলির ছেদবিন্দু নির্ণয়:
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3x + 2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -3x + 2 \\ 6x = 0 \\ x = 0 \\ y = 3(0) + 2 = 2 \] ছেদবিন্দু: \( (0, 2) \)
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -2 \\ 3x = -4 \\ x = -\frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( y = -3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ -3x + 2 = -2 \\ -3x = -4 \\ x = \frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
২. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু:
\( (0, 2) \)
\( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। কারণ, দুটি বাহু (\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3\)
1. \( y = 3x + 2 \)
2. \( y = -3x + 2 \)
3. \( y = -2 \)
এই রেখাগুলি দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি ত্রিভুজ। নিম্নলিখিত ধাপে এটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:
১. রেখাগুলির ছেদবিন্দু নির্ণয়:
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3x + 2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -3x + 2 \\ 6x = 0 \\ x = 0 \\ y = 3(0) + 2 = 2 \] ছেদবিন্দু: \( (0, 2) \)
\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ 3x + 2 = -2 \\ 3x = -4 \\ x = -\frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( y = -3x + 2 \) এবং \( y = -2 \) এর ছেদবিন্দু: \[ -3x + 2 = -2 \\ -3x = -4 \\ x = \frac{4}{3} \\ y = -2 \] ছেদবিন্দু: \( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
২. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু:
\( (0, 2) \)
\( \left( -\frac{4}{3}, -2 \right) \)
\( \left( \frac{4}{3}, -2 \right) \)
এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। কারণ, দুটি বাহু (\( y = 3x + 2 \) এবং \( y = -3\)
\( ৬৪\sqrt{ ৩}\) বর্গমিটার
১৯২ বর্গমিটার
৬৪ বর্গমিটার
\(৩২\sqrt{৩}\) বর্গমিটার
ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সাধারণ সূত্রটি হলো: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}^2 \] ধরি, ত্রিভুজটির এক একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \( a = ১৬ \) মিটার।
তাহলে, \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times ১৬^2 \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times ২৫৬ \] \[ = ৬৪\sqrt{3} \text{ বর্গ মিটার} \] অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( ৬৪\sqrt{3} \) বর্গ মিটার।
তাহলে, \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times ১৬^2 \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times ২৫৬ \] \[ = ৬৪\sqrt{3} \text{ বর্গ মিটার} \] অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( ৬৪\sqrt{3} \) বর্গ মিটার।
৩২. সমবাহু ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি ‘a’ হয় তবে ক্ষেত্রফল হবে-
[ বিসিএস ১০তম ]
\(\frac{\sqrt{৩}}{৪}a^2\)
\(\sqrt{\frac{৩}{২}a^2}\)
\(\frac{৩}{২}a^2\)
\(\sqrt{\frac{১}{২}a^2}\)
ব্যাখ্যাঃ সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি সাধারণ সূত্র হল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] এখানে, \( a \) হলো সমবাহু ত্রিভূজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য।
৩৩. ত্রিভুজ ABC এর BE = FE = CF। AEC এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?
[ বিসিএস ১০তম ]
৭২
৬০
৪৮
৬৪
ব্যাখ্যাঃ 
BE = EF = CF হওয়ায়, AE ও AF মধ্যমা। এখানে, ΔAEC = 48 বর্গফুট এবং ΔABE = ΔAEF = ΔAFC = 24 বর্গফুট।
∴ ΔABC = ΔABE + ΔAEC = 24 + 48 = 72 বর্গফুট।
BE = EF = CF হওয়ায়, AE ও AF মধ্যমা। এখানে, ΔAEC = 48 বর্গফুট এবং ΔABE = ΔAEF = ΔAFC = 24 বর্গফুট।
∴ ΔABC = ΔABE + ΔAEC = 24 + 48 = 72 বর্গফুট।
সমকোণী
স্হুলকোণী
সমবাহু
সূক্ষ্মকোণী
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে সেই ত্রিভুজটি অবশ্যই একটি সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled triangle) হবে।
কারণ, ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ৯০° হয়, তাহলে বাকি দুটি কোণ মিলে ৯০° হবে। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হলে, বাকি দুটি কোণ মিলে ৯০° হবে এবং সেই দুটি কোণের যোগফল ঐ ত্রিভুজের সমকোণী কোণের সমান হবে।
৩৫. একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m,21m এবং 29m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
\(200m^2\)
\(210m^2\)
\(290m^2\)
\(300m^2\)
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হলো ২০ মি., ২১ মি. এবং ২৯ মি.।
প্রথমে অর্ধ-পরিসীমা ($s$) নির্ণয় করি:
$s = \frac{20 + 21 + 29}{2}$
$s = \frac{70}{2}$
$s = 35$ মি.
এখন, হেরনের সূত্র ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)}$
$= \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}$
$= \sqrt{(5 \times 7) \times (3 \times 5) \times (2 \times 7) \times (2 \times 3)}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2}$
$= 2 \times 3 \times 5 \times 7$
$= 210$ বর্গ মি.
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২১০ বর্গ মিটার।
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হলো ২০ মি., ২১ মি. এবং ২৯ মি.।
প্রথমে অর্ধ-পরিসীমা ($s$) নির্ণয় করি:
$s = \frac{20 + 21 + 29}{2}$
$s = \frac{70}{2}$
$s = 35$ মি.
এখন, হেরনের সূত্র ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)}$
$= \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}$
$= \sqrt{(5 \times 7) \times (3 \times 5) \times (2 \times 7) \times (2 \times 3)}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2}$
$= 2 \times 3 \times 5 \times 7$
$= 210$ বর্গ মি.
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২১০ বর্গ মিটার।
সমকোণী
সমবাহু
সমদ্বিবাহু
স্থূলকোণী
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
∴ ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ = ১৮০° - (৫৫° + ৩৫°) = ৯০°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
1 মিটার
2 মিটার
3 মিটার
4 মিটার
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) মিটার।
তাহলে, এর ক্ষেত্রফল হবে $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গমিটার।
বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে নতুন দৈর্ঘ্য হবে \((a+2)\) মিটার।
নতুন ক্ষেত্রফল হবে $\frac{\sqrt{3}}{4} (a+2)^2$ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, নতুন ক্ষেত্রফল থেকে পুরাতন ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে $3\sqrt{3}$ হয়।
$\frac{\sqrt{3}}{4} (a+2)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 3\sqrt{3}$
উভয় পক্ষ থেকে $\frac{\sqrt{3}}{4}$ কমন নিয়ে পাই:
$\frac{\sqrt{3}}{4} [(a+2)^2 - a^2] = 3\sqrt{3}$
এখন উভয় পক্ষকে $\frac{4}{\sqrt{3}}$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$(a+2)^2 - a^2 = 12$
$a^2+4a+4-a^2 = 12$
$4a+4 = 12$
$4a = 12-4$
$4a = 8$
$a = 2$
সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার।
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) মিটার।
তাহলে, এর ক্ষেত্রফল হবে $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্গমিটার।
বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে নতুন দৈর্ঘ্য হবে \((a+2)\) মিটার।
নতুন ক্ষেত্রফল হবে $\frac{\sqrt{3}}{4} (a+2)^2$ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, নতুন ক্ষেত্রফল থেকে পুরাতন ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে $3\sqrt{3}$ হয়।
$\frac{\sqrt{3}}{4} (a+2)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 3\sqrt{3}$
উভয় পক্ষ থেকে $\frac{\sqrt{3}}{4}$ কমন নিয়ে পাই:
$\frac{\sqrt{3}}{4} [(a+2)^2 - a^2] = 3\sqrt{3}$
এখন উভয় পক্ষকে $\frac{4}{\sqrt{3}}$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$(a+2)^2 - a^2 = 12$
$a^2+4a+4-a^2 = 12$
$4a+4 = 12$
$4a = 12-4$
$4a = 8$
$a = 2$
সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার।
৩৮. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ হবে-
[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]
সন্নিহিত কোণ
সরলকোণ
সম্পূরক কোণ
সুক্ষ্ম কোণ
ব্যাখ্যাঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজে এক কোণ সর্বদা \(90^\circ\) হয়, যাকে সমকোণ বলা হয়। ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল সর্বদা \(180^\circ\)।
অতএব, বাকি দুই কোণের যোগ হবে: \[ 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] তাহলে, সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ অবশ্যই হবে সুক্ষ্ম কোণ (acute angles), যেহেতু প্রতিটি কোণের মান \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট হবে।
সুতরাং, উত্তর হলো: সুক্ষ্ম কোণ।
অতএব, বাকি দুই কোণের যোগ হবে: \[ 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] তাহলে, সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ অবশ্যই হবে সুক্ষ্ম কোণ (acute angles), যেহেতু প্রতিটি কোণের মান \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট হবে।
সুতরাং, উত্তর হলো: সুক্ষ্ম কোণ।
৩৯. একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উচ্চতায় দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
২৫
৩০
১০
২০
ব্যাখ্যাঃ এটি একটি সরল পিথাগোরাস উপপাদ্যের সমস্যা। ধরি, দেয়ালের দূরত্বটি \(x\) মিটার।
পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ \text{Hypotenuse}^2 = \text{Base}^2 + \text{Height}^2 \] অতএব, \[ ৫০^2 = x^2 + ৪০^2 \] \[ ২৫০০ = x^2 + ১৬০০ \] \[ x^2 = ২৫০০ - ১৬০০ = ৯০০ \] \[ x = \sqrt{৯০০} = ৩০ \] সুতরাং, দেয়ালের দূরত্ব হলো ৩০ মিটার।
পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী: \[ \text{Hypotenuse}^2 = \text{Base}^2 + \text{Height}^2 \] অতএব, \[ ৫০^2 = x^2 + ৪০^2 \] \[ ২৫০০ = x^2 + ১৬০০ \] \[ x^2 = ২৫০০ - ১৬০০ = ৯০০ \] \[ x = \sqrt{৯০০} = ৩০ \] সুতরাং, দেয়ালের দূরত্ব হলো ৩০ মিটার।
৪০. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬:৮:১০ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
৫৫
৬৫
৭৫
৪৫
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো ৬x, ৮x এবং ১০x।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
সুতরাং, ৬x + ৮x + ১০x = ১৮০ ডিগ্রি
বা, ২৪x = ১৮০ ডিগ্রি
বা, x = ১৮০/২৪ = ৭.৫ ডিগ্রি
এখন, বৃহত্তম কোণটি হলো ১০x।
সুতরাং, বৃহত্তম কোণ = ১০ × ৭.৫ ডিগ্রি = ৭৫ ডিগ্রি।
অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ ৭৫ ডিগ্রি।
৪১. সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত কোনটি?
[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]
১৩ : ১২: ৫
৬: ৪: ৩
৬ : ৫ : ৩
১২ : ৮ : ৪
ব্যাখ্যাঃ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত নির্ণয় করতে, আমাদের পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে। এই উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, \[ \text{অতিভুজ}^2 = \text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2 \] প্রদত্ত বিকল্পগুলি পরীক্ষা করা যাক:
ক) ১৩ : ১২ : ৫
ধরি, বাহুগুলি: ১৩, ১২, ৫
অতিভুজ (সবচেয়ে বড় বাহু) = ১৩
পরীক্ষা: \( ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২ \)
\[ ১৬৯ = ১৪৪ + ২৫ \] \[ ১৬৯ = ১৬৯ \] খ) ৬ : ৪ : ৩
বাহুগুলি: ৬, ৪, ৩
অতিভুজ = ৬
পরীক্ষা: \( ৬^২ = ৪^২ + ৩^২ \) \[ ৩৬ = ১৬ + ৯ \] \[ ৩৬ \neq ২৫ \] গ) ৬ : ৫ : ৩
বাহুগুলি: ৬, ৫, ৩
অতিভুজ = ৬
পরীক্ষা: \( ৬^২ = ৫^২ + ৩^২ \)
\[ ৩৬ = ২৫ + ৯ \] \[ ৩৬ \neq ৩৪ \] ঘ) ১২ : ৮ : ৪
বাহুগুলি: ১২, ৮, ৪
অতিভুজ = ১২
পরীক্ষা: \( ১২^২ = ৮^২ + ৪^২ \)
\[ ১৪৪ = ৬৪ + ১৬ \] \[ ১৪৪ \neq ৮০ \] সিদ্ধান্ত:
শুধুমাত্র ক) ১৩ : ১২ : ৫ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
ক) ১৩ : ১২ : ৫
ধরি, বাহুগুলি: ১৩, ১২, ৫
অতিভুজ (সবচেয়ে বড় বাহু) = ১৩
পরীক্ষা: \( ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২ \)
\[ ১৬৯ = ১৪৪ + ২৫ \] \[ ১৬৯ = ১৬৯ \] খ) ৬ : ৪ : ৩
বাহুগুলি: ৬, ৪, ৩
অতিভুজ = ৬
পরীক্ষা: \( ৬^২ = ৪^২ + ৩^২ \) \[ ৩৬ = ১৬ + ৯ \] \[ ৩৬ \neq ২৫ \] গ) ৬ : ৫ : ৩
বাহুগুলি: ৬, ৫, ৩
অতিভুজ = ৬
পরীক্ষা: \( ৬^২ = ৫^২ + ৩^২ \)
\[ ৩৬ = ২৫ + ৯ \] \[ ৩৬ \neq ৩৪ \] ঘ) ১২ : ৮ : ৪
বাহুগুলি: ১২, ৮, ৪
অতিভুজ = ১২
পরীক্ষা: \( ১২^২ = ৮^২ + ৪^২ \)
\[ ১৪৪ = ৬৪ + ১৬ \] \[ ১৪৪ \neq ৮০ \] সিদ্ধান্ত:
শুধুমাত্র ক) ১৩ : ১২ : ৫ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
৪২. স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের সংখ্যা -
[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]
১ টি
২ টি
৩ টি
কোনটিই নয়
ব্যাখ্যাঃ
স্থুলকোণী ত্রিভুজে একটি মাত্র স্থুলকোণ থাকতে পারে।
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০° হয়। যদি একটি কোণ ৯০°-এর বেশি হয় (অর্থাৎ স্থুলকোণ হয়), তাহলে বাকি দুইটি কোণের যোগফল ৯০°-এর কম হতে হবে।
অতএব, একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজে সর্বোচ্চ ১টি স্থুলকোণ থাকতে পারে।
৪৩. এক সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৩ ও ৪ সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 26-06-2019 ]
৪ সে.মি .
৫সে.মি.
৭ সে.মি.
৮ সে.মি.
ব্যাখ্যাঃ আমরা পিথাগোরাস সূত্র ব্যবহার করে অতিভুজ নির্ণয় করতে পারি: \[ h^2 = a^2 + b^2 \] এখানে, - \( a = 3 \) সেমি - \( b = 4 \) সেমি তাহলে, \[ h^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ h = \sqrt{25} = 5 \text{ সেমি} \] সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৫ সেমি।
৪৪. একটি সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গএকক । সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটির কত একক?
[ প্রা.বি.স.শি. 21-06-2019 ]
১৫
৩০
২৪
২০
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: \[ \frac{1}{2} \times \text{ভিত্তি} \times \text{উচ্চতা} = \text{ক্ষেত্রফল} \] প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,
⇒ ক্ষেত্রফল = ১৪৪
⇒ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২
এখন, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য \( x \) হলে, সূত্র প্রয়োগ করি: \[ \frac{1}{2} \times 12 \times x = 144 \] \[ 12x = 144 \times 2 \] \[ 12x = 288 \] \[ x = \frac{288}{12} = 24 \] সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ একক।
⇒ ক্ষেত্রফল = ১৪৪
⇒ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২
এখন, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য \( x \) হলে, সূত্র প্রয়োগ করি: \[ \frac{1}{2} \times 12 \times x = 144 \] \[ 12x = 144 \times 2 \] \[ 12x = 288 \] \[ x = \frac{288}{12} = 24 \] সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ একক।
৪৫. একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 5 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে, খুঁটিটির উচ্চতা কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
\(2\sqrt{5}\)
10
\(5 ( 1 + \sqrt{2} )\)
\(5 + 2\sqrt{ 5}\)
ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।
ধরি, খুঁটিটির যে অংশটি মাটি থেকে ভেঙ্গেছে তার উচ্চতা $h_1$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি ভূমিতে যে দূরত্বে স্পর্শ করেছে, সেই দূরত্ব $d$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি (যেটি উপরের দিকে ছিল) অতিভুজ হিসাবে কাজ করবে, ধরি এর দৈর্ঘ্য $h_2$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$h_2^2 = h_1^2 + d^2$
$h_2^2 = 5^2 + 5^2$
$h_2^2 = 25 + 25$
$h_2^2 = 50$
$h_2 = \sqrt{50}$
$h_2 = \sqrt{25 \times 2}$
$h_2 = 5\sqrt{2}$ মিটার
খুঁটিটির মোট উচ্চতা = ভাঙ্গা অংশের উপরের অংশ ($h_2$) + মাটির উপরের অংশ ($h_1$)
মোট উচ্চতা = $h_1 + h_2$
মোট উচ্চতা = $5 + 5\sqrt{2}$ মিটার।
অতএব, খুঁটিটির উচ্চতা হল $(5 + 5\sqrt{2})$ মিটার।
ধরি, খুঁটিটির যে অংশটি মাটি থেকে ভেঙ্গেছে তার উচ্চতা $h_1$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি ভূমিতে যে দূরত্বে স্পর্শ করেছে, সেই দূরত্ব $d$ = 5 মিটার।
খুঁটির ভাঙ্গা অংশটি (যেটি উপরের দিকে ছিল) অতিভুজ হিসাবে কাজ করবে, ধরি এর দৈর্ঘ্য $h_2$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$h_2^2 = h_1^2 + d^2$
$h_2^2 = 5^2 + 5^2$
$h_2^2 = 25 + 25$
$h_2^2 = 50$
$h_2 = \sqrt{50}$
$h_2 = \sqrt{25 \times 2}$
$h_2 = 5\sqrt{2}$ মিটার
খুঁটিটির মোট উচ্চতা = ভাঙ্গা অংশের উপরের অংশ ($h_2$) + মাটির উপরের অংশ ($h_1$)
মোট উচ্চতা = $h_1 + h_2$
মোট উচ্চতা = $5 + 5\sqrt{2}$ মিটার।
অতএব, খুঁটিটির উচ্চতা হল $(5 + 5\sqrt{2})$ মিটার।
৪৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি 30° ও 60°; ত্রিভুজটির বাহু তিনটির অনুপাত কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
1 : √ 3 : 2
1 : 3 : √ 2
1 : 2 : 3
1 : 3 : 2
ব্যাখ্যাঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটি $30^\circ$ এবং $60^\circ$ হলে, আমরা জানি, $30^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু, $60^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু এবং অতিভুজের অনুপাত হলো $1 : \sqrt{3} : 2$।
প্রমাণ:
ধরি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\angle B = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ এবং $\angle C = 60^\circ$।
sin $30^\circ = \frac{\text{বিপরীত বাহু}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
cos $30^\circ = \frac{\text{সংলগ্ন বাহু}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
এখন, $\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ থেকে পাই $BC : AC = 1 : 2$।
এবং $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ থেকে পাই $AB : AC = \sqrt{3} : 2$।
সুতরাং, বাহু তিনটির অনুপাত $BC : AB : AC = 1 : \sqrt{3} : 2$।
অর্থাৎ, $30^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু : $60^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু : অতিভুজ = $1 : \sqrt{3} : 2$।
প্রমাণ:
ধরি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\angle B = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ এবং $\angle C = 60^\circ$।
sin $30^\circ = \frac{\text{বিপরীত বাহু}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
cos $30^\circ = \frac{\text{সংলগ্ন বাহু}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
এখন, $\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ থেকে পাই $BC : AC = 1 : 2$।
এবং $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ থেকে পাই $AB : AC = \sqrt{3} : 2$।
সুতরাং, বাহু তিনটির অনুপাত $BC : AB : AC = 1 : \sqrt{3} : 2$।
অর্থাৎ, $30^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু : $60^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু : অতিভুজ = $1 : \sqrt{3} : 2$।
৪৭. 1 সে.মি., 2 সে.মি., 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি রেখাংশ দ্বারা কয়টি ত্রিভুজ অংকন করা যাবে?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
1
2
3
4
ব্যাখ্যাঃ
ত্রিভুজ গঠনের শর্ত হলো, যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।
প্রদত্ত চারটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য হলো: 1 সেমি, 2 সেমি, 3 সেমি এবং 4 সেমি।
এই চারটি রেখাংশ থেকে তিনটি করে নিয়ে সম্ভাব্য ত্রিভুজগুলো পরীক্ষা করি:
১. 1 সেমি, 2 সেমি, 3 সেমি: 1 + 2 = 3 যেহেতু দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান, তাই এটি দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
২. 1 সেমি, 2 সেমি, 4 সেমি: 1 + 2 = 3 < 4 যেহেতু দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট, তাই এটি দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
৩. 1 সেমি, 3 সেমি, 4 সেমি: 1 + 3 = 4 যেহেতু দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান, তাই এটি দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
৪. 2 সেমি, 3 সেমি, 4 সেমি: 2 + 3 = 5 > 4 (শর্ত পূরণ করে) 3 + 4 = 7 > 2 (শর্ত পূরণ করে) 2 + 4 = 6 > 3 (শর্ত পূরণ করে) যেহেতু এই তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠনের শর্ত পূরণ হয়, তাই এটি দিয়ে একটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।
সুতরাং, এই চারটি রেখাংশ দ্বারা কেবল 1 টি ত্রিভুজ অংকন করা যাবে।
৪৮. কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অংকিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে বলে -
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
অন্তঃকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
লম্ব কেন্দ্র
ভর কেন্দ্র
৪৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি হলে এর উচ্চতা কত সে.মি?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$2\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
৫০. একটি ত্রিভুজের ভূমি 6 সে.মি এবং এর উচ্চতা 5 সে.মি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
11 বর্গ সে.মি
15 বর্গ সে.মি
30 বর্গ সে.মি
25 বর্গ সে.মি
৫১. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ঃ ৪ঃ ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
৪৫ ডিগ্রি
৭৫ ডিগ্রি
৯০ ডিগ্রি
১৮০ ডিগ্রি
৫২. নিচের চিত্রে $∠ B = 75$ এবং $∠ ACE = 150°$ হলে $∠ A$ কোণের মান কত?
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
30°
45°
75°
105°
৫৩. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি x এবং উচ্চতা y হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$xy$
$\frac{1}{2}xy$
$x^{2}+y^{2}$
$\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$
৫৪. একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে ৩ মিটার ওপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে ৪ মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?
[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
৫ মিটার
৮ মিটার
৭ মিটার
৯ মিটার
৫৫. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সেমি হলে, এর উচ্চতা কত?
[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
27 সেমি
28 সেমি
25 সেমি
24 সেমি
৫৬. একটি $\Delta ABC$ এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, যেখানে $\angle A=45^{\circ}$ এবং $\angle B=60^{\circ}$ হলে $\angle ACD$ ?
[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$90^{\circ}$
$120^{\circ}$
$105^{\circ}$
$160^{\circ}$
৫৭. সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি a হয় তবে ক্ষেত্রফল হবে-
[ ১২তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{4}a$
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$
৫৯. সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
১০০ বর্গ সে.মি
৫০ সে.মি
$২৫\sqrt{৩}$ বর্গ সে.মি
$৫০\sqrt{২}$ বর্গ সে.মি
৬০. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে, সেখানে উহার সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 50 সেমি ও ভূমি ৬০ সেমি?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
10000 বর্গ সেমি
11000 বর্গ সেমি
1200 বর্গ সেমি
1100 বর্গ সেমি
৬১. $\triangle ABC$ এর BC বাহুকে D বর্ধিত করা হল। $\angle A=60°$ এবং $\angle B=90°$ হলে $\angle ACD =$ কত?
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
90°
60°
150°
120°
৬২. সমকোণী ত্রিভূজের অপর কোণদ্বয়
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
55ডিগ্রী, 35ডিগ্রী
35ডিগ্রী, 45ডিগ্রী
45ডিগ্রী, 55ডিগ্রী
55ডিগ্রী, 60ডিগ্রী
৬৩. একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ঃ৩:৫। এর বৃহত্তম কোণটি
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
18ডিগ্রী
36ডিগ্রী
54ডিগ্রী
90 ডিগ্রী
৬৪. সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $$2\sqrt{3}$$ একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ বর্গ একক
$$3\sqrt{3}$$ বর্গ একক
9 বর্গ একক
3 একক
৬৫. একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় কিরূপ হবে?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
সমান
সর্বসম
অসমান
সদৃশকোণী
৬৬. একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি হলে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$25\sqrt{3}$ ব. সে.মি
$25\sqrt{2}$ ব. সে.মি
100 ব. সে.মি
50 ব.সে.মি
৬৭. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ কোণ $20^{\circ}$ হলে, এর অপর দুটি কোণের প্রত্যেকটির মান কত?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$60^{\circ}$
$80^{\circ}$
$90^{\circ}$
$100^{\circ}$
৬৮. কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ ১০ ডিগ্রী এবং ৮০ ডিগ্রী হলে ত্রিভুজটি হবে
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
স্থুলকোণী
সমকোণী
সূক্ষ্মকোণী
সমবাহু ত্রিভুজ
৬৯. $$\Delta ABC$$ এর $$\angle A=45^{\circ}$$, $$\angle B=30^{\circ}$$ হলে $$\angle C$$ এর মান কত?
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$$90^{\circ}$$
$$100^{\circ}$$
$$105^{\circ}$$
$$110^{\circ}$$
৭০. সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ $60^{\circ}$ হলে অপর কোণটি কত?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
$30^{\circ}$
$120^{\circ}$
$60^{\circ}$
$90^{\circ}$
৭১. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
$$\pi r^{2}$$
$$\frac{1}{2}$$ × ভূমি × উচ্চতা
ভুতুমতি উচচতল
$$2\pi r^{2}$$
৭২. নিচের $Δ ABC$ এর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b । বাহুদুইটর অন্তর্ভূক্ত কোণ θ । সে ক্ষেত্রে $Δ ABC$ এর ক্ষেত্রঢফল নির্ণয়ের সূত্র হবে-
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
$\frac{1}{ 2} ab~ sin θ$
$\frac{1}{ 2} ab ~sin^2 θ$
$a b ~cos θ$
$\frac{1}{ 2} ab~ cos^2 θ$
৭৩. একটি ত্রিভুজের যে কোন একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
স্থুলকোণী
সূক্ষ্মকোণী
সমকোণী
সমবাহু
৭৪. একটি সমবাহু ত্রিভুজের উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত?
[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
120 ডিগ্রী
60 ডিগ্রী
240 ডিগ্রী
100 ডিগ্রী
৭৫. যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি ও 12 সেমি হয়, তবে ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
9 সেমি
13 সেমি
12 সেমি
10 সেমি
৭৬. $$ \Delta ABC $$ এর AD, $$ \angle ADB $$ সূক্ষকোণ হলে,
[ ৮ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$AD > AC$
$AB > AC$
$BD$
$AB$
৭৮. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6 ডিগ্রী হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
38 ডিগ্রী
41 ডিগ্রী
42 ডিগ্রী
39 ডিগ্রী
৭৯. ত্রিভুজের কোণগুলোর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকত্রয়ের ছেদ বিন্দুটির নাম কী?
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ভরকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
লম্ববিন্দু
অন্তঃকেন্দ্র
৮০. ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। $\angle ACD=160^{\circ}$; $\angle ABC=7\angle BAC$
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$20^{\circ}$
$40^{\circ}$
$70^{\circ}$
$60^{\circ}$
৮১. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$9\sqrt{3}$
$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
$\frac{2\sqrt{3}}{4}$
৮২. নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
3,5,8
3, 4, 5
3, 5, 6
3,6,9
৮৩. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ a হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
$a^2$
$\frac{\sqrt{3a^2}}{4}$
$πa^2$
$\frac{4a^2}{3}$
৮৪. Δ ABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E। যদি BC=12 সে.মি হয়, তবে DE= কত?
[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
3 সে.মি
6 সে.মি
14 সে.মি
24 সে.মি
৮৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেমি হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি.১০-১০-২০১২ ]
৫ সেমি
৬ সেমি
৭ সেমি
৮ সেমি
৮৬. সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে $3$ ও $4$ সেমি হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১৩-০৯-২০০৯ ]
6 সেমি
4 সেমি
5 সেমি
7 সেমি
৮৭. ত্রিভূজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-০৯-২০০৯ ]
২ : ১
৩ : ১
১ : ২
১ : ৩
৮৮. ত্রিভূজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক হবে?
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১০-০৯-২০০৯ ]
তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ছোট হবে
তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান হবে
তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা বড় হবে
উপরের কোনটিই নয়
৮৯. ABC সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা AD হলে $$\angle BAD$$ এর মান কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
$$30^{\circ}$$
$$60^{\circ}$$
$$90^{\circ}$$
$$120^{\circ}$$
৯০. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 cm হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৬-০৯-২০১৯ ]
$$20cm^2$$
$$25cm^2$$
$$10cm^2$$
$$15cm^2$$
৯১. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে ৩,৫ এবং ৭ একক হলে স্কুল কোণটির মান কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
১৬০ ডিগ্রী
১২০ ডিগ্রী
১২৫ ডিগ্রী
১৩৬ ডিগ্রী
৯২. কোনো ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $x^2+1, x^2-1$ এবং $2x যেখানে x>1,$ ত্রিভুজটি কিরুপ হবে?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০৯-১০-২০০৯ ]
সমকোণী ত্রিভুজ
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
স্থুলকোণী ত্রিভুজ
সমবাহু ত্রিভুজ
৯৩. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কি কোণ?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
সমকোণ
সূক্ষ্মকোণ
স্থূলকোণ
পূরককোণ
৯৪. একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ৯ সে. মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১০-১০-২০০৮ ]
১৩
১০.৫
২১
১৫
৯৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ সেন্টিমিটার ও ৪ সেন্টিমিটার হলে অতিভুজ কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১৪-০৭-২০০৬ ]
৫ সেন্টিমিটার
৬ সেন্টিমিটার
৭ সেন্টিমিটার
উপরের কোনটিই নয়
৯৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ সেন্টিমিটার ও ৪ সেন্টিমিটার হলে অতিভুজ কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ১৪-০৭-২০০৬ ]
৫ সেমি
৬ সেমি
৭ সেমি
উপরের কোনোটিই নয়
৯৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের দ্বিতীয় কোণটির মাপ $২০^{\circ}$ হলে তৃতীয় কোণটির মাপ কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ০১-০৫-২০০৪ ]
৪০°
৫০°
৬০°
৭০°
৯৮. সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ২০-০৫-২০০১ ]
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
$\sqrt{\frac{3a}{4}}$
$\frac{1}{9}$
$\sqrt{\frac{3}{4}a}$
৯৯. $\triangle ABC$ কোনটি সত্য?
[ সর. মা. বি. সহ. শি. নি. ২০-০৫-২০০১ ]
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2AB \cdot BC$
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC$
$AB^2 + BC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
১০০. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০১৮ ]
৬৪ বর্গমি.
৩২ বর্গমি.
১৬ বর্গমি.
কোনোটিই নয়
১০১. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ 50° হলে অপর কোণটি কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০১৮ ]
40°
50°
20°
30°
১০২. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে-
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১১-০৫-২০১৮ ]
৩৬০°
২৪০°
২৮০°
২৯০°
১০৩. একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুয়ে আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১১-০৫-২০১৮ ]
৪২
৪১
৪৭
৪৫
১০৪. $\Delta ABC$ এর $\angle A=45^{\circ},$ $\angle B=30^{\circ}হলে \angle C$ এর মান কত ডিগ্রী?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৪-২০১৮ ]
105°
110°
90°
100°
১০৫. কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহি:স্থ তিনটি কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৪-২০১৮ ]
150°
360°
180°
270°
১০৬. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৪-২০১৮ ]
৭ সে.মি
৮ সে.মি
৪ সে.মি
৫ সে.মি
১০৭. একটি বাড়ির উচ্চতা ৪০ ফুট। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা হয়েছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২৯-১০-২০১৬ ]
৪৮
৪৩
৪৫
৪১
১০৮. কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের কি বলা হয়?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২৭-০৬-২০১৫ ]
সমদ্বিখণ্ডক
অভিভুজ
লম্ব
মধ্যমা
১০৯. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২১-০৪-২০১৪ ]
সরল কোণ
সমকোণ
সূক্ষ্মকোণ
স্থুল কোণ
১১০. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২১-০৪-২০১৪ ]
১৯২
$৩২\sqrt{৩}$
$৬৪\sqrt{৩}$
৬৪
১১১. ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয় -
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ২০-০৪-২০১৪ ]
সূক্ষ্মকোণ
স্থূলকোণ
সমকোণ
সরলকোণ
১১২. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকলে-
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৯-০৪-২০১৪ ]
একটিমাত্র ত্রিভুজ আঁকা যায়
দুটিমাত্র ত্রিভুজ আঁকা যায়
কোনো ত্রিভুজ আঁকা যায় না
অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যায়
১১৩. যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১৩-১১-২০১৩ ]
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$
$\frac{3}{2}a^{2}$
১২
১১৪. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি -
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১২-০৪-২০১৩ ]
৫৪০°
১৮০°
৩৬০°
২৭০°
১১৫. কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১১-০৪-২০১৩ ]
ভরকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
অন্তঃকেন্দ্র
লম্ববিন্দু
১১৬. ত্রিভুজের দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান হলে ত্রিভুজটি-
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১১-০৪-২০১৩ ]
সমবাহু
সমদ্বিবাহু
সমকোণী
কোনোটিই নয়
১১৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে, তার অতিভুজের মান কত?
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ১০-০৪-২০১৩ ]
৭ সে.মি.
৫ সে.মি.
৬ সে.মি.
৮ সে.মি.
১১৮. কোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখন্ডিকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৯-০৪-২০১৩ ]
ভরকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
অন্তঃকেন্দ্র
লম্ববিন্দু
১১৯. সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজ সংলগ্ন কোণ দুইটির প্রত্যেকটি -
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৯-০৪-২০১৩ ]
সূক্ষকোণ
স্থূলকোণ
পূরককোণ
সরলকোণ
১২০. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্ব-দ্বিখন্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৮-০৪-২০১৩ ]
ভরকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
অন্তঃকেন্দ্র
লম্ববিন্দু
১২১. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-
[ প্রাক-প্রা. স. শি. নি. ০৮-০৪-২০১৩ ]
সূক্ষ্মকোণ
সরলকোণ
স্থূলকোণ
সমকোণ
১২২. ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি -
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০২-২০১২ ]
দুই সমকোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর
দুই সমকোণের অর্ধেক
দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর
দুই সমকোণের সমান
১২৩. তিন কোণ দেয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের কি ত্রিভুজ বলে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৫-০২-২০১২ ]
সদৃশ ত্রিভুজ
সমান ত্রিভুজ
সর্বসম ত্রিভুজ
সমানুপাতিক ত্রিভুজ
১২৪. কোনো ত্রিভুজের শিরঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি ভূমির উপর লম্ব হয়, তবে ত্রিভুজটিকে কি বলে?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০২-২০১২ ]
সমকোণী
স্থুলকোণী
সমদ্বিবাহু
সমবাহু
১২৫. কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি -
[ রে. বে. প্রা. স. শি. নি. ১০-১২-২০১১ ]
বিষমবাহু
সমদ্বিবাহু
সমবাহু
সমকোণী
১২৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কি কোণ?
[ রে. বে. প্রা. স. শি. নি. ১০-১২-২০১১ ]
সন্নিহিতকোণ
সরলকোণ
সূক্ষ্মকোণ
পূরককোণ
১২৭. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মি. মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ রে. বে. প্রা. স. শি. নি. ০৮-১২-২০১১ ]
৫ মিমি
৬ সেমি
৭ সেমি
১২ সেমি
১২৮. কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১৩-০১-২০১০ ]
বিষমবাহু
সমবাহু
সমকোণী
সমদ্বিবাহু
১২৯. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার, এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করুন?
[ ১৭তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
60°
30°
45°
90°
১৩০. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1:1:2 হলে ত্রিভুজের কোণ ধরণের ত্রিভুজ?
[ ১৭তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
সমবাহু ত্রিভুজ
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
সমকোণী ত্রিভুজ
বিষমবাহু ত্রিভুজ
১৩১. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 cm বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্ণ cm হলে, এর উচ্চতা কত?
[ ১৭তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
30 cm
27 cm
33 cm
36 cm
১৩২. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৮-১০-২০০৮ ]
৬ সে.মি.
৫ সে.মি
৮ সে.মি
৭ সে.মি
১৩৩. কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি -
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৮-১০-২০০৮ ]
১৮০°
৩০০°
২৭০°
৩৬০°
১৩৪. কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে -
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৭-১০-২০০৮ ]
ভরকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
পরিকেন্দ্র
লম্ববিন্দু
১৩৫. দুটি ত্রিভূজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান সত্বেও ত্রিভূজের দুটি সর্ব সম হবে না
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-১০-২০০৮ ]
দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ
দুই কোন ও এক বাহু
তিন কোণ
তিন বাহু
১৩৬. সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে -
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-১০-২০০৮ ]
সূক্ষকোণ
স্থূলকোণ
সরলকোণ
সমকোণ
১৩৭. অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির পরিমাণ হবে-
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৫-০৯-২০০৭ ]
৩০°
৫০°
৬০০°
৭০°
১৩৮. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর-
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৫-০৯-২০০৭ ]
সমান
দ্বিগুণ
অর্ধেক
এক-তৃতীয়াংশ
১৩৯. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান কোন ক্ষেত্রে সত্য?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ০৬-১২-২০০৬ ]
শুধু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
শুধু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
শুধু স্কুলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
১৪০. ত্রিভুজের শিরঃকোণের সমদ্বিখণ্ডিত রেখা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে ত্রিভুজটি-
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১৭-০২-২০০৬ ]
সমকোণী
স্থূলকোণী
সমবাহু
এর কোনোটিই নয়
১৪১. ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয়-
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ১৭-০২-২০০৬ ]
স্থূলকোণ
সুক্ষকোণ
সমকোণ
সরলকোণ
১৪২. একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৪-০৮-২০০৫ ]
১৫ একক
২৪ একক
২০ একক
৩০ একক
১৪৪. ABC ত্রিভুজে $\angle B=\angle C$ এবং BC বাহুরওপর D একটি বিন্দু। কোন তথ্যটি সঠিক?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২১-০৮-২০০৫ ]
$AB > AC$
$AB < AC$
$AC < AD$
$AC > AD$
১৪৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২৬-০৫-২০০১ ]
৬৪ বর্গমিটার
৪৩২ বর্গমিটার
১৬ বর্গমিটার
কোনটিই নয়
১৪৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. এবং ৪ সে. মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?
[ ১৬তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
24 বর্গ সে. মি.
42 বর্গ সেমি
44 বর্গ সেমি
45 বর্গ সে.মি.
১৪৭. $\Delta ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
[ ১৬তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
$320^{\circ}$
$280^{\circ}$
$240^{\circ}$
$290^{\circ}$
১৪৮. একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?
[ ১৬তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
১২ মিটার
১৫ মিটার
২৪ মিটার
২৮ মিটার
১৪৯. একটি সমাদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 5 একক এবং ভূমি 6 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?
[ ১৭তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
6
8
10
12
১৫০. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোন তিনটির সমষ্টি কত?
[ প্রা. বি. স. শি. নি. ২০২৬ ]
৩৬০°
১৮০°
১৬০°
২৭০°
১৫১. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?
[ ১৫তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
$30^{\circ}$
$60^{\circ}$
$90^{\circ}$
$180^{\circ}$
১৫২. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক?
[ ১৫তম বে. প্রভাষক নিবন্ধন ]
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
কোনটিই নয়