প্রশ্নঃ 60 লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত 2 : 1। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি 1 : 2 হবে?
[ বিসিএস ৩৫তম ]
ক. 40
খ. 50
গ. 60
ঘ. 70
উত্তরঃ 60
ব্যাখ্যাঃ মোট ফলের রস = ৬০ লিটার।
আম ও কমলার অনুপাত = ২ : ১।
মোট অনুপাতের ভাগ = $২ + ১ = ৩$ ভাগ।
আমের রসের পরিমাণ = ৬০ লিটারের $\frac{২}{৩}$ অংশ = $\frac{৬০ \times ২}{৩} = ২০ \times ২ = ৪০$ লিটার।
কমলার রসের পরিমাণ = ৬০ লিটারের $\frac{১}{৩}$ অংশ = $\frac{৬০ \times ১}{৩} = ২০ \times ১ = ২০$ লিটার।
ধরা যাক, কমলার রসের পরিমাণ $x$ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে।
তাহলে, কমলার রসের নতুন পরিমাণ = $(২০ + x)$ লিটার।
আমের রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে = ৪০ লিটার।
নতুন অনুপাত হবে: আম : কমলা = ৪০ : $(২০ + x)$।
প্রশ্নানুসারে, নতুন অনুপাতটি ১ : ২ হবে।
সুতরাং,
$\frac{৪০}{২০ + x} = \frac{১}{২}$
$১ \times (২০ + x) = ৪০ \times ২$
$২০ + x = ৮০$
$x = ৮০ - ২০$
$x = ৬০$ লিটার।
অতএব, কমলার রসের পরিমাণ ৬০ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে।
আম ও কমলার অনুপাত = ২ : ১।
মোট অনুপাতের ভাগ = $২ + ১ = ৩$ ভাগ।
আমের রসের পরিমাণ = ৬০ লিটারের $\frac{২}{৩}$ অংশ = $\frac{৬০ \times ২}{৩} = ২০ \times ২ = ৪০$ লিটার।
কমলার রসের পরিমাণ = ৬০ লিটারের $\frac{১}{৩}$ অংশ = $\frac{৬০ \times ১}{৩} = ২০ \times ১ = ২০$ লিটার।
ধরা যাক, কমলার রসের পরিমাণ $x$ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে।
তাহলে, কমলার রসের নতুন পরিমাণ = $(২০ + x)$ লিটার।
আমের রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে = ৪০ লিটার।
নতুন অনুপাত হবে: আম : কমলা = ৪০ : $(২০ + x)$।
প্রশ্নানুসারে, নতুন অনুপাতটি ১ : ২ হবে।
সুতরাং,
$\frac{৪০}{২০ + x} = \frac{১}{২}$
$১ \times (২০ + x) = ৪০ \times ২$
$২০ + x = ৮০$
$x = ৮০ - ২০$
$x = ৬০$ লিটার।
অতএব, কমলার রসের পরিমাণ ৬০ লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে।
Related MCQ
ক. ২ : ৫
খ. ২ : ৩
ক. ২ : ৩
খ. ৩ : ৫
গ. ২ : ৫
ক. ১ : ৯
খ. ২ : ৫
গ. ২ : ৩
ঘ. ৩ : ৫
উত্তরঃ ২ : ৩
ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুইটি পূর্ণসংখ্যা \( x \) ও \( y \), যেখানে \( x + y = 300 \) এবং \( x, y > 100 \)।
চলুন একটি সাধারণ সমাধানের দিকে যাই:
1. যেহেতু \( x + y = 300 \), সংখ্যা দুটি হতে পারে:
⇒ \( x = 120, y = 180 \) → অনুপাত \( \frac{120}{180} = \frac{2}{3} \)।
⇒ \( x = 140, y = 160 \) → অনুপাত \( \frac{140}{160} = \frac{7}{8} \)।
চলুন একটি সাধারণ সমাধানের দিকে যাই:
1. যেহেতু \( x + y = 300 \), সংখ্যা দুটি হতে পারে:
⇒ \( x = 120, y = 180 \) → অনুপাত \( \frac{120}{180} = \frac{2}{3} \)।
⇒ \( x = 140, y = 160 \) → অনুপাত \( \frac{140}{160} = \frac{7}{8} \)।
প্রশ্নঃ একটি কমিটিতে পুরুষ এবং মহিলার সংখ্যা একটি অনুপাতে ৩ : ২ হলে এবং মহিলা সংখ্যা ২৫ জন হলে পুরুষের সংখ্যা কত?
[ বিসিএস ৪৬তম ]
ক. কোনটি সঠিক নয়।
খ. ৩০
ক. ৩০
খ. ৪০
গ. কোনটি সঠিক নয়।
ক. ৩০
খ. ৩৫
গ. ৪০
ঘ. ৪৫
উত্তরঃ কোনটি সঠিক নয়।
ব্যাখ্যাঃ এখানে অনুপাত দেওয়া আছে \(৩:২\), যার মানে প্রতি ৩ জন পুরুষের জন্য ২ জন মহিলা থাকবে।
ধরি, পুরুষের সংখ্যা = \(৩x\)
মহিলার সংখ্যা = \(২x\)
প্রশ্নে বলা হয়েছে যে মহিলা সংখ্যা \(২৫\), অর্থাৎ \[ ২x = ২৫ \] \[ x = \frac{২৫}{২} = ১২.৫ \] এখন, পুরুষের সংখ্যা হবে \[ ৩x = ৩ \times ১২.৫ = ৩৭.৫ \] যদি বাস্তবিক সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি, তাহলে সাধারণত মানুষ পূর্ণসংখ্যায় গণনা করা হয়। যেহেতু সংখ্যাটি দশমিক এসেছে, এর অর্থ হয়তো প্রশ্নের তথ্য সম্পূর্ণ ঠিক নেই, অথবা বাস্তবে সংখ্যা পূর্ণসংখ্যায় হতে পারে।
ধরি, পুরুষের সংখ্যা = \(৩x\)
মহিলার সংখ্যা = \(২x\)
প্রশ্নে বলা হয়েছে যে মহিলা সংখ্যা \(২৫\), অর্থাৎ \[ ২x = ২৫ \] \[ x = \frac{২৫}{২} = ১২.৫ \] এখন, পুরুষের সংখ্যা হবে \[ ৩x = ৩ \times ১২.৫ = ৩৭.৫ \] যদি বাস্তবিক সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি, তাহলে সাধারণত মানুষ পূর্ণসংখ্যায় গণনা করা হয়। যেহেতু সংখ্যাটি দশমিক এসেছে, এর অর্থ হয়তো প্রশ্নের তথ্য সম্পূর্ণ ঠিক নেই, অথবা বাস্তবে সংখ্যা পূর্ণসংখ্যায় হতে পারে।
ক. 3 : 5 : 7
খ. 10 : 15 : 21
ক. 6 : 9 : 14
খ. 10 : 15 : 21
গ. 2 : 5 : 7
ক. 6 : 9 : 14
খ. 10 : 15 : 21
গ. 2 : 5 : 7
ঘ. 3 : 5 : 7
উত্তরঃ 10 : 15 : 21
ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দুটি অনুপাতকে একই ভিত্তিতে আনতে হবে।
প্রথম অনুপাত: \( x : y = 2 : 3 \)
দ্বিতীয় অনুপাত: \( y : z = 5 : 7 \)
এখন, y-এর সাধারণ মান বের করতে হলে দুটি অনুপাতকে সমান করতে হবে।
\( y = 3 \) এবং \( y = 5 \) – এখানে \( y \)-এর ল.সা.গু হবে 15।
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করি:
\( x : y = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15 \)
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
\( y : z = (5 \times 3) : (7 \times 3) = 15 : 21 \)
এখন, দুটি অনুপাত একত্র করলে পাই:
\( x : y : z = 10 : 15 : 21 \)
প্রথম অনুপাত: \( x : y = 2 : 3 \)
দ্বিতীয় অনুপাত: \( y : z = 5 : 7 \)
এখন, y-এর সাধারণ মান বের করতে হলে দুটি অনুপাতকে সমান করতে হবে।
\( y = 3 \) এবং \( y = 5 \) – এখানে \( y \)-এর ল.সা.গু হবে 15।
ধাপে ধাপে সমাধান:
প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করি:
\( x : y = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15 \)
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
\( y : z = (5 \times 3) : (7 \times 3) = 15 : 21 \)
এখন, দুটি অনুপাত একত্র করলে পাই:
\( x : y : z = 10 : 15 : 21 \)
প্রশ্নঃ পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?
[ বিসিএস ৪০তম ]
ক. ৭২ টাকা
খ. ৩৬ টাকা
ক. ৭২ টাকা
খ. ৮৪ টাকা
গ. ৩৬ টাকা
ক. ৩৬ টাকা
খ. ১২ টাকা
গ. ৭২ টাকা
ঘ. ৮৪ টাকা
উত্তরঃ ৭২ টাকা
ব্যাখ্যাঃ ধরি, পনিরের আয় $4x$ টাকা এবং তপনের আয় $3x$ টাকা।
প্রশ্নানুসারে, পনিরের আয় ১২০ টাকা।
সুতরাং, $4x = 120$
$x = \frac{120}{4} = 30$
অতএব, তপনের আয় $= 3x = 3 \times 30 = 90$ টাকা।
এখন, তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪।
ধরি, তপনের আয় $5y$ টাকা এবং রবিনের আয় $4y$ টাকা।
আমরা জানি, তপনের আয় ৯০ টাকা।
সুতরাং, $5y = 90$
$y = \frac{90}{5} = 18$
অতএব, রবিনের আয় $= 4y = 4 \times 18 = 72$ টাকা।
সুতরাং, রবিনের আয় ৭২ টাকা।
প্রশ্নানুসারে, পনিরের আয় ১২০ টাকা।
সুতরাং, $4x = 120$
$x = \frac{120}{4} = 30$
অতএব, তপনের আয় $= 3x = 3 \times 30 = 90$ টাকা।
এখন, তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪।
ধরি, তপনের আয় $5y$ টাকা এবং রবিনের আয় $4y$ টাকা।
আমরা জানি, তপনের আয় ৯০ টাকা।
সুতরাং, $5y = 90$
$y = \frac{90}{5} = 18$
অতএব, রবিনের আয় $= 4y = 4 \times 18 = 72$ টাকা।
সুতরাং, রবিনের আয় ৭২ টাকা।
ক. 6
খ. 12
ক. 12
খ. 6
গ. 16
ক. 6
খ. 12
গ. 8
ঘ. 16
উত্তরঃ 12
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু দুটি সংখ্যার অনুপাত $2 : 3$ এবং তাদের গ.সা.গু. $4$, তাহলে:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $2x$ এবং $3x$, যেখানে $x$ হলো তাদের সাধারণ উৎপাদক।
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. হলো তাদের সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি। এক্ষেত্রে $x$ হলো $2x$ এবং $3x$ এর সাধারণ উৎপাদক।
দেওয়া আছে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. $4$।
সুতরাং, $x = 4$।
এখন, সংখ্যা দুটি নির্ণয় করি:
প্রথম সংখ্যা = $2x = 2 \times 4 = 8$
দ্বিতীয় সংখ্যা = $3x = 3 \times 4 = 12$
সংখ্যা দুটি হলো $8$ এবং $12$।
তাদের মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটি হলো $12$।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $2x$ এবং $3x$, যেখানে $x$ হলো তাদের সাধারণ উৎপাদক।
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. হলো তাদের সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি। এক্ষেত্রে $x$ হলো $2x$ এবং $3x$ এর সাধারণ উৎপাদক।
দেওয়া আছে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. $4$।
সুতরাং, $x = 4$।
এখন, সংখ্যা দুটি নির্ণয় করি:
প্রথম সংখ্যা = $2x = 2 \times 4 = 8$
দ্বিতীয় সংখ্যা = $3x = 3 \times 4 = 12$
সংখ্যা দুটি হলো $8$ এবং $12$।
তাদের মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটি হলো $12$।
প্রশ্নঃ 261 টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে $$\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{9}$$ অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে?
[ বিসিএস ৩৭তম ]
ক. 45
খ. 135
ক. 81
খ. 135
গ. 90
ক. 45
খ. 81
গ. 90
ঘ. 135
উত্তরঃ 135
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অনুপাত $\frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{9}$।
প্রথমে অনুপাতটিকে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হবে। এর জন্য ৩, ৫, ৯ এর ল.সা.গু. (লসাগু) বের করতে হবে।
৩, ৫, ৯ এর ল.সা.গু. হলো ৪৫।
এবার প্রতিটি পদকে ৪৫ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{3} \times 45 = 15$
$\frac{1}{5} \times 45 = 9$
$\frac{1}{9} \times 45 = 5$
সুতরাং, অনুপাতটি হলো $15:9:5$।
অনুপাতের পদগুলির যোগফল: $15 + 9 + 5 = 29$
মোট আম সংখ্যা ২৬১টি।
প্রথম ভাই আম পাবে:
$\frac{15}{29} \times 261$
এখন গণনা করি:
$261 \div 29 = 9$
$15 \times 9 = 135$
সুতরাং, প্রথম ভাই ১৩৫টি আম পাবে।
প্রথমে অনুপাতটিকে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হবে। এর জন্য ৩, ৫, ৯ এর ল.সা.গু. (লসাগু) বের করতে হবে।
৩, ৫, ৯ এর ল.সা.গু. হলো ৪৫।
এবার প্রতিটি পদকে ৪৫ দিয়ে গুণ করি:
$\frac{1}{3} \times 45 = 15$
$\frac{1}{5} \times 45 = 9$
$\frac{1}{9} \times 45 = 5$
সুতরাং, অনুপাতটি হলো $15:9:5$।
অনুপাতের পদগুলির যোগফল: $15 + 9 + 5 = 29$
মোট আম সংখ্যা ২৬১টি।
প্রথম ভাই আম পাবে:
$\frac{15}{29} \times 261$
এখন গণনা করি:
$261 \div 29 = 9$
$15 \times 9 = 135$
সুতরাং, প্রথম ভাই ১৩৫টি আম পাবে।
ক. $$\frac{5}{3}$$
খ. $$\frac{3}{5}$$
ক. $$\frac{5}{3}$$
খ. $$\frac{3}{5}$$
গ. $$\frac{2}{3}$$
ক. $$\frac{5}{3}$$
খ. $$\frac{2}{3}$$
গ. $$\frac{3}{5}$$
ঘ. $$\frac{5}{7}$$
উত্তরঃ $$\frac{5}{3}$$
ব্যাখ্যাঃ যেহেতু $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$।
তাহলে, $P = 4Q$।
এখন, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মধ্যে $P$ এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{4Q+Q}{4Q-Q}$
$= \frac{5Q}{3Q}$
$= \frac{5}{3}$
সুতরাং, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মান হলো $\frac{5}{3}$।
তাহলে, $P = 4Q$।
এখন, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মধ্যে $P$ এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{4Q+Q}{4Q-Q}$
$= \frac{5Q}{3Q}$
$= \frac{5}{3}$
সুতরাং, $\frac{P+Q}{P-Q}$ এর মান হলো $\frac{5}{3}$।
প্রশ্নঃ ৩, ৯ ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?
[ বিসিএস ৩১তম ]
ক. ১৪
খ. ১২
ক. ১২
খ. ১৪
গ. ১৬
ক. ৪
খ. ১৪
গ. ১৬
ঘ. ১২
উত্তরঃ ১২
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতিকটি হলো $x$।
সমানুপাতিকের সংজ্ঞা অনুযায়ী,
প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি
$৩ : ৯ = ৪ : x$
সমানুপাতের সূত্র অনুসারে,
$\frac{৩}{৯} = \frac{৪}{x}$
এখন, আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
$৩ \times x = ৯ \times ৪$
$৩x = ৩৬$
$x = \frac{৩৬}{৩}$
$x = ১২$
সুতরাং, চতুর্থ সমানুপাতিকটি হলো ১২।
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতিকটি হলো $x$।
সমানুপাতিকের সংজ্ঞা অনুযায়ী,
প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি
$৩ : ৯ = ৪ : x$
সমানুপাতের সূত্র অনুসারে,
$\frac{৩}{৯} = \frac{৪}{x}$
এখন, আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
$৩ \times x = ৯ \times ৪$
$৩x = ৩৬$
$x = \frac{৩৬}{৩}$
$x = ১২$
সুতরাং, চতুর্থ সমানুপাতিকটি হলো ১২।
প্রশ্নঃ একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত?
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ২ লিটার
খ. ৬ লিটার
ক. ২ লিটার
খ. ৪ লিটার
গ. ১০ লিটার
ক. ২ লিটার
খ. ৪ লিটার
গ. ৬ লিটার
ঘ. ১০ লিটার
উত্তরঃ ২ লিটার
ব্যাখ্যাঃ
ধরা যাক, পানির পরিমাণ W লিটার, তাহলে দুধের পরিমাণ হবে 5W লিটার।
উল্লেখ্য, দুধের পরিমাণ পানি থেকে ৮ লিটার বেশি, অর্থাৎ:
5W = W + 8
⇒ 5W - W = 8
⇒ 4W = 8
⇒ W = 2 অতএব, পানির পরিমাণ ২ লিটার।
প্রশ্নঃ ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A-এর ১৭ ভাগ, B-এর ৩ ভাগ এবং C-এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে?
[ বিসিএস ২৩তম ]
ক. ১৭ কেজি
খ. ৯ কেজি
ক. ৯ কেজি
খ. ৫১ কেজ
গ. ১২ কেজি
ক. ৯ কেজি
খ. ১২ কেজি
গ. ১৭ কেজি
ঘ. ৫১ কেজ
উত্তরঃ ৯ কেজি
ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, মিশ্রণটি A : B : C = ১৭ : ৩ : ৪ অনুপাতে গঠিত এবং মোট ওজন ৭২ কেজি। ### ধাপ ১: মোট অনুপাত নির্ণয় \[ \text{মোট অনুপাত} = ১৭ + ৩ + ৪ = ২৪ \] ### ধাপ ২: B-এর ওজন নির্ণয় B-এর অনুপাত ৩, তাই মিশ্রণে B-এর পরিমাণ হবে— \[ \frac{3}{24} \times 72 \] \[ = 9 \text{ কেজি} \] --- ### উত্তর: মিশ্রণে B-এর পরিমাণ ৯ কেজি
ক. ৮ মিটার; ২২ মিটার; ৩০ মিটার
খ. ৯ মিটার; ২১ মিটার; ৩০ মিটার
ক. ১০ মিটার; ২০ মিটার; ৩০ মিটার
খ. ৯ মিটার; ২১ মিটার; ৩০ মিটার
গ. ১২ মিটার; ২০ মিটার; ২৮ মিটার
ক. ৮ মিটার; ২২ মিটার; ৩০ মিটার
খ. ১০ মিটার; ২০ মিটার; ৩০ মিটার
গ. ৯ মিটার; ২১ মিটার; ৩০ মিটার
ঘ. ১২ মিটার; ২০ মিটার; ২৮ মিটার
উত্তরঃ ৯ মিটার; ২১ মিটার; ৩০ মিটার
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা বাঁশটির মোট অংশের সংখ্যা নির্ণয় করব। অনুপাতটি \(৩:৭:১০\)। মোট অংশের সংখ্যা: \[ ৩ + ৭ + ১০ = ২০ \] তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটির প্রতিটি অংশের আকার হবে: \[ \frac{৬০}{২০} = ৩ \text{ মিটার} \] এখন, অনুপাত অনুযায়ী অংশগুলোর সাইজ নির্ণয় করি:
- প্রথম অংশ: \( ৩ \times ৩ = ৯ \text{ মিটার} \)
- দ্বিতীয় অংশ: \( ৭ \times ৩ = ২১ \text{ মিটার} \)
- তৃতীয় অংশ: \( ১০ \times ৩ = ৩০ \text{ মিটার} \)
তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটি ৩ : ৭ : ১০ অনুপাত ভাগ করলে টুকরাগুলোর সাইজ হবে যথাক্রমে ৯ মিটার, ২১ মিটার, এবং ৩০ মিটার।
- প্রথম অংশ: \( ৩ \times ৩ = ৯ \text{ মিটার} \)
- দ্বিতীয় অংশ: \( ৭ \times ৩ = ২১ \text{ মিটার} \)
- তৃতীয় অংশ: \( ১০ \times ৩ = ৩০ \text{ মিটার} \)
তাহলে, ৬০ মিটার বাঁশটি ৩ : ৭ : ১০ অনুপাত ভাগ করলে টুকরাগুলোর সাইজ হবে যথাক্রমে ৯ মিটার, ২১ মিটার, এবং ৩০ মিটার।
প্রশ্নঃ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?
[ বিসিএস ২১তম ]
ক. ৪ গ্রাম
খ. ৬ গ্রাম
ক. ৮ গ্রাম
খ. ৬ গ্রাম
গ. ৪ গ্রাম
ক. ৮ গ্রাম
খ. ৬ গ্রাম
গ. ৩ গ্রাম
ঘ. ৪ গ্রাম
উত্তরঃ ৪ গ্রাম
ব্যাখ্যাঃ ধরি, গহনার সোনা এবং তামার ওজন যথাক্রমে \(3x\) এবং \(x\) গ্রাম।
আমাদের মোট ওজন ১৬ গ্রাম, তাই: \[ 3x + x = 16 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] তাহলে, গহনার মধ্যে সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: \(3x = 3 \times 4 = 12 \) গ্রাম - তামা: \(x = 4 \) গ্রাম ধরি, \(y\) গ্রাম সোনা মেশাতে হবে যাতে অনুপাত ৪ : ১ হয়। তাহলে নতুন সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: \(12 + y\) - তামা: ৪ গ্রাম (যেটা অপরিবর্তিত থাকবে) এখন অনুপাত হবে: \[ \frac{12 + y}{4} = 4 \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 12 + y = 4 \times 4 \] \[ 12 + y = 16 \] \[ y = 16 - 12 \] \[ y = 4 \] তাহলে, অনুপাত ৪ : ১ করতে ৪ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।
আমাদের মোট ওজন ১৬ গ্রাম, তাই: \[ 3x + x = 16 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] তাহলে, গহনার মধ্যে সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: \(3x = 3 \times 4 = 12 \) গ্রাম - তামা: \(x = 4 \) গ্রাম ধরি, \(y\) গ্রাম সোনা মেশাতে হবে যাতে অনুপাত ৪ : ১ হয়। তাহলে নতুন সোনা এবং তামার ওজন: - সোনা: \(12 + y\) - তামা: ৪ গ্রাম (যেটা অপরিবর্তিত থাকবে) এখন অনুপাত হবে: \[ \frac{12 + y}{4} = 4 \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 12 + y = 4 \times 4 \] \[ 12 + y = 16 \] \[ y = 16 - 12 \] \[ y = 4 \] তাহলে, অনুপাত ৪ : ১ করতে ৪ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।
প্রশ্নঃ ১,০০০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ-এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?
[ বিসিএস ২১তম ]
ক. ৪০০ টাকা
খ. ২০০ টাকা
ক. ১০০ টাকা
খ. ৪০০ টাকা
গ. ২০০ টাকা
ক. ১০০ টাকা
খ. ৪০০ টাকা
গ. ২০০ টাকা
ঘ. ৮০০ টাকা
উত্তরঃ ২০০ টাকা
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা ১,০০০ টাকা ক ও খ এর মধ্যে ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করব।
তাহলে, ক-এর অংশ হবে: \[ \frac{১}{১+৪} \times ১০০০ = \frac{১}{৫} \times ১০০০ = ২০০ \text{ টাকা} \] আর খ-এর অংশ হবে: \[ \frac{৪}{১+৪} \times ১০০০ = \frac{৪}{৫} \times ১০০০ = ৮০০ \text{ টাকা} \] এখন, খ-এর অংশ (৮০০ টাকা) সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করব।
মোট অংশের সংখ্যা: \[ ২ + ১ + ১ = ৪ \] মেয়ের অংশ হবে: \[ \frac{১}{৪} \times ৮০০ = ২০০ \text{ টাকা} \] তাহলে, মেয়ের অংশ হবে ২০০ টাকা।
তাহলে, ক-এর অংশ হবে: \[ \frac{১}{১+৪} \times ১০০০ = \frac{১}{৫} \times ১০০০ = ২০০ \text{ টাকা} \] আর খ-এর অংশ হবে: \[ \frac{৪}{১+৪} \times ১০০০ = \frac{৪}{৫} \times ১০০০ = ৮০০ \text{ টাকা} \] এখন, খ-এর অংশ (৮০০ টাকা) সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করব।
মোট অংশের সংখ্যা: \[ ২ + ১ + ১ = ৪ \] মেয়ের অংশ হবে: \[ \frac{১}{৪} \times ৮০০ = ২০০ \text{ টাকা} \] তাহলে, মেয়ের অংশ হবে ২০০ টাকা।
ক. ১৬ : ১৫
খ. ২০ : ১২
ক. ১৬ : ১৫
খ. ১২ : ২০
গ. ১৫ : ১৬
ক. ১৫ : ১৬
খ. ২০ : ১২
গ. ১৬ : ১৫
ঘ. ১২ : ২০
উত্তরঃ ১৬ : ১৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, - কুকুরের প্রতিটি লাফের দৈর্ঘ্য = \( C \) - খরগোশের প্রতিটি লাফের দৈর্ঘ্য = \( R \) ### ধাপ ১: দূরত্বের সম্পর্ক নির্ণয় প্রশ্নানুসারে, খরগোশ ৪ লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। অর্থাৎ, \[ 4R = 3C \] ### ধাপ ২: নির্দিষ্ট সময়ে কুকুর ও খরগোশের মোট গতিপথ প্রশ্নে আরও বলা হয়েছে যে, কুকুর ৪ বার লাফ দিলে খরগোশ ৫ বার লাফ দেয়। তাহলে, - কুকুর ৪ লাফে যাবে = \( 4C \) - খরগোশ ৫ লাফে যাবে = \( 5R \) এখন, \( 4R = 3C \) সমীকরণ থেকে, \( R = \frac{3C}{4} \) তাহলে, খরগোশের মোট দূরত্ব— \[ 5R = 5 \times \frac{3C}{4} = \frac{15C}{4} \] ### ধাপ ৩: গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় একই সময়ে, কুকুর ৪C দূরত্ব অতিক্রম করে, আর খরগোশ \( \frac{15C}{4} \) দূরত্ব অতিক্রম করে। অতএব, তাদের গতিবেগের অনুপাত— \[ \frac{\text{কুকুরের গতি}}{\text{খরগোশের গতি}} = \frac{4C}{\frac{15C}{4}} \] \[ = 4C \times \frac{4}{15C} = \frac{16}{15} \] ### উত্তর: কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত \( 16:15 \)
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫∶৮ । উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২∶৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
[ বিসিএস ২০তম ]
ক. ১০ ও ১৬
খ. ১২ ও ১৮
ক. ১২ ও ১৮
খ. ১০ ও ১৬
গ. ১০ ও ২৪
ক. ৭ ও ১১
খ. ১২ ও ১৮
গ. ১০ ও ২৪
ঘ. ১০ ও ১৬
উত্তরঃ ১০ ও ১৬
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৫x এবং ৮x।
উভয়ের সাথে ২ যোগ করার পর, অনুপাতটি ২∶৩ হয়: \[ \frac{৫x + ২}{৮x + ২} = \frac{২}{৩} \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৩(৫x + ২) = ২(৮x + ২) \] \[ ১৫x + ৬ = ১৬x + ৪ \] \[ ১৫x - ১৬x = ৪ - ৬ \] \[ -x = -২ \] \[ x = ২ \] অতএব, সংখ্যা দুটি: \[ ৫x = ৫ \times ২ = ১০ \] \[ ৮x = ৮ \times ২ = ১৬ \] সংখ্যা দুটি হলো ১০ এবং ১৬।
উভয়ের সাথে ২ যোগ করার পর, অনুপাতটি ২∶৩ হয়: \[ \frac{৫x + ২}{৮x + ২} = \frac{২}{৩} \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৩(৫x + ২) = ২(৮x + ২) \] \[ ১৫x + ৬ = ১৬x + ৪ \] \[ ১৫x - ১৬x = ৪ - ৬ \] \[ -x = -২ \] \[ x = ২ \] অতএব, সংখ্যা দুটি: \[ ৫x = ৫ \times ২ = ১০ \] \[ ৮x = ৮ \times ২ = ১৬ \] সংখ্যা দুটি হলো ১০ এবং ১৬।
প্রশ্নঃ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম । এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১ । এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?
[ বিসিএস ১৭তম ]
ক. ৬ গ্রাম
খ. ৪ গ্রাম
ক. ৬ গ্রাম
খ. ৪ গ্রাম
গ. ৩ গ্রাম
ক. ৮ গ্রাম
খ. ৬ গ্রাম
গ. ৩ গ্রাম
ঘ. ৪ গ্রাম
উত্তরঃ ৪ গ্রাম
ব্যাখ্যাঃ ধরুন, সোনার পরিমাণ \( 3x \) এবং তামার পরিমাণ \( x \)।
প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুযায়ী: \[ 3x + x = 16 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] অতএব, প্রাথমিকভাবে সোনার পরিমাণ হলো: \[ 3x = 3 \times 4 = 12 \text{ গ্রাম} \] এখন, নতুন অনুপাত হবে ৪ : ১ এবং মিশ্রণের মোট পরিমাণ (নতুন সোনা সহ): ধরুন \( y \) গ্রাম নতুন সোনা মেশাতে হবে।
অতএব, নতুন সোনা মেশানোর পর মোট সোনার পরিমাণ হবে \( 12 + y \) এবং মোট তামার পরিমাণ হবে ৪ গ্রাম। অনুপাত অনুযায়ী: \[ \frac{12 + y}{4} = 4 \] \[ 12 + y = 4 \times 4 \] \[ 12 + y = 16 \] \[ y = 16 - 12 \] \[ y = 4 \text{ গ্রাম} \] অতএব, ৪ গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে।
প্রশ্নে দেয়া তথ্য অনুযায়ী: \[ 3x + x = 16 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] অতএব, প্রাথমিকভাবে সোনার পরিমাণ হলো: \[ 3x = 3 \times 4 = 12 \text{ গ্রাম} \] এখন, নতুন অনুপাত হবে ৪ : ১ এবং মিশ্রণের মোট পরিমাণ (নতুন সোনা সহ): ধরুন \( y \) গ্রাম নতুন সোনা মেশাতে হবে।
অতএব, নতুন সোনা মেশানোর পর মোট সোনার পরিমাণ হবে \( 12 + y \) এবং মোট তামার পরিমাণ হবে ৪ গ্রাম। অনুপাত অনুযায়ী: \[ \frac{12 + y}{4} = 4 \] \[ 12 + y = 4 \times 4 \] \[ 12 + y = 16 \] \[ y = 16 - 12 \] \[ y = 4 \text{ গ্রাম} \] অতএব, ৪ গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে।
প্রশ্নঃ \(a ∶ b = 4 : 7 \) এবং \(b:c=5:6\) হলে \(a:b:c=\) কত?
[ বিসিএস ১৬তম ]
ক. 20 ∶ 35 ∶ 42
খ. 24 ∶ 35 ∶ 30
ক. 4 ∶ 7 ∶ 6
খ. 24 ∶ 35 ∶ 30
গ. 20 ∶ 35 ∶ 42
ক. 4 ∶ 7 ∶ 6
খ. 20 ∶ 35 ∶ 24
গ. 20 ∶ 35 ∶ 42
ঘ. 24 ∶ 35 ∶ 30
উত্তরঃ 20 ∶ 35 ∶ 42
ব্যাখ্যাঃ ধরি, \[ a : b = 4 : 7 \] এবং \[ b : c = 5 : 6 \] আমরা \(b\) কে সাধারণ করে \(a:b:c\) নির্ণয় করব।
এখন, \(b\)-কে সাধারণ (LCM) আকারে আনতে হবে। \[ b = 7 \times 5 = 35 \] অতএব, \(a : b = 4 \times 5 : 7 \times 5 = 20 : 35 \) এবং \[ b : c = 5 \times 7 : 6 \times 7 = 35 : 42 \] তাহলে, \[ a : b : c = 20 : 35 : 42 \] অতএব, \(a:b:c = 20:35:42\)।
এখন, \(b\)-কে সাধারণ (LCM) আকারে আনতে হবে। \[ b = 7 \times 5 = 35 \] অতএব, \(a : b = 4 \times 5 : 7 \times 5 = 20 : 35 \) এবং \[ b : c = 5 \times 7 : 6 \times 7 = 35 : 42 \] তাহলে, \[ a : b : c = 20 : 35 : 42 \] অতএব, \(a:b:c = 20:35:42\)।
প্রশ্নঃ ৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত?
[ বিসিএস ১২তম ]
ক. ৩৫ : ৭২
খ. ৭২ : ৩৫
ক. ৭২ : ১০৫
খ. ৩৫ : ৭২
গ. ১৫ : ৭২
ক. ৭২ : ১০৫
খ. ৭২ : ৩৫
গ. ৩৫ : ৭২
ঘ. ১৫ : ৭২
উত্তরঃ ৩৫ : ৭২
ব্যাখ্যাঃ
মিশ্র অনুপাত নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে প্রতিটি অনুপাতের প্রথম পদগুলি গুণ করতে হবে এবং দ্বিতীয় পদগুলি গুণ করতে হবে। তারপর, দুটি গুণফলের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।
প্রথম পদগুলোর গুণফল: ৫ × ৭ × ৩ = ১০৫
দ্বিতীয় পদগুলোর গুণফল: ১৮ × ২ × ৬ = ২১৬
সুতরাং, মিশ্র অনুপাতটি হবে ১০৫ : ২১৬।
এখন, এই অনুপাতটিকে সরল করা যেতে পারে। ১০৫ এবং ২১৬ উভয়কেই ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়:
১০৫ ÷ ৩ = ৩৫
২১৬ ÷ ৩ = ৭২
সুতরাং, মিশ্র অনুপাতটি হবে ৩৫ : ৭২।
প্রশ্নঃ একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় পানির পরিমাণ-
[ বিসিএস ১১তম ]
ক. ৬ লিটার
খ. ৪ লিটার
ক. ৪ লিটার
খ. ১০ লিটার
গ. ৬ লিটার
ক. ১৪ লিটার
খ. ৬ লিটার
গ. ১০ লিটার
ঘ. ৪ লিটার
উত্তরঃ ৪ লিটার
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, পানির পরিমাণ \( x \) লিটার।
অনুপাত অনুসারে, দুধের পরিমাণ হবে \( 5x/2 \) লিটার। দেওয়া আছে যে দুধের পরিমাণ পানির চেয়ে ৬ লিটার বেশি, সুতরাং: \[ \frac{5x}{2} = x + 6 \] \[ \frac{5x}{2} - x = 6 \] \[ \frac{5x - 2x}{2} = 6 \] \[ \frac{3x}{2} = 6 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] তাহলে পানির পরিমাণ ৪ লিটার।
অনুপাত অনুসারে, দুধের পরিমাণ হবে \( 5x/2 \) লিটার। দেওয়া আছে যে দুধের পরিমাণ পানির চেয়ে ৬ লিটার বেশি, সুতরাং: \[ \frac{5x}{2} = x + 6 \] \[ \frac{5x}{2} - x = 6 \] \[ \frac{5x - 2x}{2} = 6 \] \[ \frac{3x}{2} = 6 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] তাহলে পানির পরিমাণ ৪ লিটার।
প্রশ্নঃ ৬০ লিটার কেরোসিনের ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে কত লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
[ বিসিএস ১০তম ]
ক. ৮০
খ. ৭০
ক. ৭০
খ. ৮০
গ. ৯৮
ক. ৭০
খ. ৮০
গ. ৯০
ঘ. ৯৮
উত্তরঃ ৮০
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
1. মিশ্রণের মোট পরিমাণ = ৬০ লিটার
2. কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত = ৭ : ৩
কেরোসিনের পরিমাণ: \[ \frac{7}{7+3} \times 60 = \frac{7}{10} \times 60 = 42 \text{ লিটার} \] পেট্রোলের পরিমাণ: \[ \frac{3}{7+3} \times 60 = \frac{3}{10} \times 60 = 18 \text{ লিটার} \] ধরা যাক:
- \( x \) লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে।
নতুন অনুপাত: \[ \frac{42}{18 + x} = \frac{3}{7} \] সমীকরণ সমাধান: \[ 42 \times 7 = 3 \times (18 + x) \] \[294 = 54 + 3x \] \[294 - 54 = 3x \] \[240 = 3x \] \[x = \frac{240}{3} \] \[x = 80 \] উত্তর: \[ \boxed{80 \text{ লিটার}} \]
1. মিশ্রণের মোট পরিমাণ = ৬০ লিটার
2. কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত = ৭ : ৩
কেরোসিনের পরিমাণ: \[ \frac{7}{7+3} \times 60 = \frac{7}{10} \times 60 = 42 \text{ লিটার} \] পেট্রোলের পরিমাণ: \[ \frac{3}{7+3} \times 60 = \frac{3}{10} \times 60 = 18 \text{ লিটার} \] ধরা যাক:
- \( x \) লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে।
নতুন অনুপাত: \[ \frac{42}{18 + x} = \frac{3}{7} \] সমীকরণ সমাধান: \[ 42 \times 7 = 3 \times (18 + x) \] \[294 = 54 + 3x \] \[294 - 54 = 3x \] \[240 = 3x \] \[x = \frac{240}{3} \] \[x = 80 \] উত্তর: \[ \boxed{80 \text{ লিটার}} \]
প্রশ্নঃ একটি রাশি অপর রাশির ৬৪% হলে রাশি দুটির অনুপাত কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. ২৫:১৬
খ. ১৬:২৫
ক. ১৬:২৫
খ. ৯:১৬
গ. ১৬:৯
ক. ২৫:১৬
খ. ৯:১৬
গ. ১৬:৯
ঘ. ১৬:২৫
উত্তরঃ ১৬:২৫
ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রথম রাশি \(x\) এবং দ্বিতীয় রাশি \(y\)। প্রশ্ন অনুসারে: \[ x = 64\% \, \text{of} \, y = \frac{64}{100}y \] এখন \(x : y\)-এর অনুপাত নির্ণয় করি: \[ x : y = \frac{64}{100}y : y \] \[ x : y = 64 : 100 \] \[ x : y = 16 : 25 \] উত্তর: রাশি দুটির অনুপাত হলো \(16 : 25\)।
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে, তাদের ল.সা.গু হবে-
[ প্রা.বি.স.শি. 20-05-2022 ]
ক. ২৮০
খ. ২৬০
ক. ৩১২
খ. ২৮০
গ. ২৬০
ক. ২৯২
খ. ৩১২
গ. ২৬০
ঘ. ২৮০
উত্তরঃ ২৮০
ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, দুটি সংখ্যা হলো \(5x\) এবং \(7x\), যেখানে \(x\) তাদের গ.সা.গু।
প্রশ্ন অনুসারে, \(x = ৮\)।
এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু বের করার জন্য সূত্রটি প্রযোজ্য: \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{\text{গুণফল}}}{{\text{গ.সা.গু}}} \] সুতরাং, \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{(5x) \times (7x)}}{x} \] এখানে \(x = ৮\) বসাই: \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{5 \times 7 \times ৮}}{{৮}} \] \[ \text{ল.সা.গু} = 5 \times 7 = ৩৫ \] সুতরাং, তাদের ল.সা.গু হবে ৩৫x = ২৮০।
প্রশ্ন অনুসারে, \(x = ৮\)।
এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু বের করার জন্য সূত্রটি প্রযোজ্য: \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{\text{গুণফল}}}{{\text{গ.সা.গু}}} \] সুতরাং, \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{(5x) \times (7x)}}{x} \] এখানে \(x = ৮\) বসাই: \[ \text{ল.সা.গু} = \frac{{5 \times 7 \times ৮}}{{৮}} \] \[ \text{ল.সা.গু} = 5 \times 7 = ৩৫ \] সুতরাং, তাদের ল.সা.গু হবে ৩৫x = ২৮০।
প্রশ্নঃ ক এর ১৫% যদি খ এর ২০% এর সমান হয় তবে ক:খ = কত?
[ প্রা.বি.স.শি. (৩য় ধাপ) 03-06-2022 ]
ক. ৪:৩
খ. ৫:৩
ক. ৫:৩
খ. ৪:৩
গ. ৫:২
ক. ৫:৩
খ. ৪:৩
গ. ৩:৪
ঘ. ৫:২
উত্তরঃ ৪:৩
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, ক = x এবং খ = y
প্রশ্নমতে,
x এর ১৫% = y এর ২০%
বা, ১৫x/১০০ = ২০y/১০০
বা, ১৫x = ২০y
বা, ৩x = ৪y
বা, x/y = ৪/৩
সুতরাং, ক : খ = ৪ : ৩
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮। উভয়ের সাথে ২ যােগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কী কী?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ১০ ও ১৬
খ. ৭ ও ১১
ক. ৭ ও ১১
খ. ১০ ও ১৬
গ. ১২ ও ১৮
ক. ১০ ও ২৪
খ. ১০ ও ১৬
গ. ৭ ও ১১
ঘ. ১২ ও ১৮
উত্তরঃ ১০ ও ১৬
ব্যাখ্যাঃ ১. ধরি, সংখ্যা দুটি হলো \(5x\) এবং \(8x\)
২. প্রশ্নমতে, উভয় সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে নতুন অনুপাত হবে: \[ \frac{5x + 2}{8x + 2} = \frac{2}{3} \] ৩. সমীকরণ সমাধান: \[ 3(5x + 2) = 2(8x + 2) \] \[ 15x + 6 = 16x + 4 \] \[ 15x - 16x = 4 - 6 \] \[ -x = -2 \implies x = 2 \] ৪. সংখ্যা দুটি নির্ণয়: \[ \text{প্রথম সংখ্যা} = 5x = 5 \times 2 = 10 \] \[ \text{দ্বিতীয় সংখ্যা} = 8x = 8 \times 2 = 16 \] উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো \(\boxed{10}\) এবং \(\boxed{16}\)।
২. প্রশ্নমতে, উভয় সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে নতুন অনুপাত হবে: \[ \frac{5x + 2}{8x + 2} = \frac{2}{3} \] ৩. সমীকরণ সমাধান: \[ 3(5x + 2) = 2(8x + 2) \] \[ 15x + 6 = 16x + 4 \] \[ 15x - 16x = 4 - 6 \] \[ -x = -2 \implies x = 2 \] ৪. সংখ্যা দুটি নির্ণয়: \[ \text{প্রথম সংখ্যা} = 5x = 5 \times 2 = 10 \] \[ \text{দ্বিতীয় সংখ্যা} = 8x = 8 \times 2 = 16 \] উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো \(\boxed{10}\) এবং \(\boxed{16}\)।
প্রশ্নঃ একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশী হয়, তবে পানির পরিমাণ কত লিটার?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ৫
খ. ২
ক. ৫
খ. ৪
গ. ২
ক. ৫
খ. ৬
গ. ৪
ঘ. ২
উত্তরঃ ২
ব্যাখ্যাঃ জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১।
ধরি, দুধের পরিমাণ $5x$ লিটার এবং পানির পরিমাণ $1x$ লিটার।
প্রশ্নানুযায়ী, দুধের পরিমাণ পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি।
অর্থাৎ, $5x - 1x = 8$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$
অতএব, পানির পরিমাণ হলো $1x = 1 \times 2 = 2$ লিটার।
উত্তর: পানির পরিমাণ ২ লিটার।
ধরি, দুধের পরিমাণ $5x$ লিটার এবং পানির পরিমাণ $1x$ লিটার।
প্রশ্নানুযায়ী, দুধের পরিমাণ পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি।
অর্থাৎ, $5x - 1x = 8$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$
অতএব, পানির পরিমাণ হলো $1x = 1 \times 2 = 2$ লিটার।
উত্তর: পানির পরিমাণ ২ লিটার।
প্রশ্নঃ ১৪৩ টাকাকে ২ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য কত টাকা হবে?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ৩৯
খ. ৩৭
ক. ৩৯
খ. ৩৬
গ. ৪২
ক. ৪২
খ. ৩৬
গ. ৩৭
ঘ. ৩৯
উত্তরঃ ৩৯
ব্যাখ্যাঃ অনুপাতের সমষ্টি = $২ + ৪ + ৫ = ১১$
মোট টাকা = ১৪৩ টাকা।
ক্ষুদ্রতম অংশ = $\frac{২}{১১} \times ১৪৩ = ২ \times ১৩ = ২৬$ টাকা।
বৃহত্তম অংশ = $\frac{৫}{১১} \times ১৪৩ = ৫ \times ১৩ = ৬৫$ টাকা।
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = $৬৫ - ২৬ = ৩৯$ টাকা।
উত্তর: বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য ৩৯ টাকা।
মোট টাকা = ১৪৩ টাকা।
ক্ষুদ্রতম অংশ = $\frac{২}{১১} \times ১৪৩ = ২ \times ১৩ = ২৬$ টাকা।
বৃহত্তম অংশ = $\frac{৫}{১১} \times ১৪৩ = ৫ \times ১৩ = ৬৫$ টাকা।
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = $৬৫ - ২৬ = ৩৯$ টাকা।
উত্তর: বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য ৩৯ টাকা।
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার যোগফল, তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 3 : 1
খ. 2 : 1
ক. 3 : 1
খ. 3 : 2
গ. 4 : 3
ক. 2 : 1
খ. 3 : 1
গ. 4 : 3
ঘ. 3 : 2
উত্তরঃ 3 : 1
ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যা দুটি হল $x$ এবং $y$।
প্রশ্নানুসারে, দুটি সংখ্যার যোগফল তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ।
$x + y = 2(x - y)$
এখন সমীকরণটি সমাধান করি:
$x + y = 2x - 2y$
$y$ পদগুলো একপাশে এবং $x$ পদগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$y + 2y = 2x - x$
$3y = x$
সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ $x:y$।
$x = 3y$
$\frac{x}{y} = 3$
$\frac{x}{y} = \frac{3}{1}$
সুতরাং, সংখ্যা দুটির অনুপাত হল $3:1$।
প্রশ্নানুসারে, দুটি সংখ্যার যোগফল তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ।
$x + y = 2(x - y)$
এখন সমীকরণটি সমাধান করি:
$x + y = 2x - 2y$
$y$ পদগুলো একপাশে এবং $x$ পদগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$y + 2y = 2x - x$
$3y = x$
সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ $x:y$।
$x = 3y$
$\frac{x}{y} = 3$
$\frac{x}{y} = \frac{3}{1}$
সুতরাং, সংখ্যা দুটির অনুপাত হল $3:1$।
প্রশ্নঃ একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত লিটার?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ২
খ. ৩
ক. ৩
খ. ৬
গ. ২
ক. ২
খ. ৩
গ. ৪
ঘ. ৬
উত্তরঃ ২
ব্যাখ্যাঃ ধরি,
জারে দুধের পরিমাণ = $৫x$ লিটার
জারে পানির পরিমাণ = $১x$ বা $x$ লিটার
প্রশ্নানুসারে, দুধের পরিমাণ পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি।
$৫x - x = ৮$
$৪x = ৮$
$x = ২$
পানির পরিমাণ = $x$ লিটার = ২ লিটার।
সুতরাং, পানির পরিমাণ ২ লিটার।
জারে দুধের পরিমাণ = $৫x$ লিটার
জারে পানির পরিমাণ = $১x$ বা $x$ লিটার
প্রশ্নানুসারে, দুধের পরিমাণ পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি।
$৫x - x = ৮$
$৪x = ৮$
$x = ২$
পানির পরিমাণ = $x$ লিটার = ২ লিটার।
সুতরাং, পানির পরিমাণ ২ লিটার।
প্রশ্নঃ ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ৭ : ৮ হলে ক : গ = কত?
[ ১৮তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ৭ : ১০
খ. ৪ : ৮
ক. ৭ : ১০
খ. ৫ :৮
গ. ৪ : ৮
ক. ১ : ২
খ. ৪ : ৮
গ. ৭ : ১০
ঘ. ৫ :৮
উত্তরঃ ৭ : ১০
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অনুপাতগুলো হলো:
ক : খ = ৪ : ৫
খ : গ = ৭ : ৮
আমাদেরকে ক : গ এর মান বের করতে হবে।
আমরা ক, খ এবং গ-এর অনুপাত এক সাথে লিখতে পারি:
$\frac{ক}{খ} = \frac{৪}{৫}$ এবং $\frac{খ}{গ} = \frac{৭}{৮}$
এখন, $\frac{ক}{গ}$ বের করার জন্য দুটি অনুপাত গুণ করি:
$\frac{ক}{গ} = \frac{ক}{খ} \times \frac{খ}{গ}$
$= \frac{৪}{৫} \times \frac{৭}{৮}$
$= \frac{৪ \times ৭}{৫ \times ৮}$
$= \frac{২৮}{৪০}$
$= \frac{৭}{১০}$
সুতরাং, ক : গ = ৭ : ১০।
সঠিক উত্তর: গঃ ৭ : ১০
ক : খ = ৪ : ৫
খ : গ = ৭ : ৮
আমাদেরকে ক : গ এর মান বের করতে হবে।
আমরা ক, খ এবং গ-এর অনুপাত এক সাথে লিখতে পারি:
$\frac{ক}{খ} = \frac{৪}{৫}$ এবং $\frac{খ}{গ} = \frac{৭}{৮}$
এখন, $\frac{ক}{গ}$ বের করার জন্য দুটি অনুপাত গুণ করি:
$\frac{ক}{গ} = \frac{ক}{খ} \times \frac{খ}{গ}$
$= \frac{৪}{৫} \times \frac{৭}{৮}$
$= \frac{৪ \times ৭}{৫ \times ৮}$
$= \frac{২৮}{৪০}$
$= \frac{৭}{১০}$
সুতরাং, ক : গ = ৭ : ১০।
সঠিক উত্তর: গঃ ৭ : ১০
প্রশ্নঃ ৬ টি কাঠির গড় দৈর্ঘ্য ৪৪.২ সে.মি এবং এদের ৫টির গড় দৈর্ঘ্য ৪৬ সে.মি। ৬ষ্ঠ কাঠিটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ৩৫.২
খ. ৩৫.৩
ক. ৩৫.২
খ. ৩৫.৩
গ. ৩৫.৪
ক. ৩৫.১
খ. ৩৫.২
গ. ৩৫.৩
ঘ. ৩৫.৪
উত্তরঃ ৩৫.২
প্রশ্নঃ $a:b=2:3$ এবং b: $c=6:7$ হলে a: $c$ কত?
[ ১৬তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. 2:7
খ. 4:7
ক. 3:7
খ. 2:7
গ. 4:7
ক. 2:6
খ. 3:7
গ. 2:7
ঘ. 4:7
উত্তরঃ 4:7
প্রশ্নঃ একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৩ ও ১২ হলে মধ্যসমানুপাতিক নির্ণয় কর।
[ ১৫তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ১০
খ. ৬
ক. ৪১৫
খ. ১০
গ. ৬
ক. ৯
খ. ৪১৫
গ. ১০
ঘ. ৬
উত্তরঃ ৬
প্রশ্নঃ a:b=4:7 এবং b: c=5:6 হলে a: b: c এর মান কোনটি?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 5:6:7
খ. 20:35:42
ক. 5:6:7
খ. 20:30:37
গ. 20:35:42
ক. 4:7:5
খ. 5:6:7
গ. 20:30:37
ঘ. 20:35:42
উত্তরঃ 20:35:42
প্রশ্নঃ a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে নিচের কোনটি সঠিক?
[ ১৪তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ad=bc
খ. ac=bd
ক. ab=cd
খ. ad=bc
গ. ac=bd
ক. ab=cd
খ. ac=bd
গ. ad=bc
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ ad=bc
প্রশ্নঃ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৫৪ বছর এবং অনুপাত ৭:২। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
[ ১৩তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ২৬:১১
খ. ১৭:১২
ক. ২৬:১১
খ. ১৭:১২
গ. ২ঃ১
ক. ৩১:১৬
খ. ২৬:১১
গ. ১৭:১২
ঘ. ২ঃ১
উত্তরঃ ২৬:১১
প্রশ্নঃ ৪, ৮ ও ১০ এর ৪র্থ সমানুপাতি কোনটি?
[ ১২তম শি. (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ২০
খ. ৮০
ক. ২০
খ. ১২
গ. ৩২
ক. ১২
খ. ২০
গ. ৩২
ঘ. ৮০
উত্তরঃ ২০
প্রশ্নঃ ৬০ লিটার পানি ও চিনির মিশ্রণের অনুপাত ৭:৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার চিনি মিশালে অনুপাত ৩:৭ হবে
[ ১১তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. ৫০ লিটার
খ. ৮০ লিটার
ক. ৭০ লিটার
খ. ৫০ লিটার
গ. ৮০ লিটার
ক. ৭০ লিটার
খ. ৬০ লিটার
গ. ৮০ লিটার
ঘ. ৫০ লিটার
উত্তরঃ ৮০ লিটার
প্রশ্নঃ ৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ঃ৭ হবে?
[ ১১ তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ৩০ লিটার
খ. ৪০ লিটার
ক. ৪০ লিটার
খ. ৩০ লিটার
গ. ৩৫ লিটার
ক. ২৫ লিটার
খ. ৩০ লিটার
গ. ৩৫ লিটার
ঘ. ৪০ লিটার
উত্তরঃ ৪০ লিটার
প্রশ্নঃ a:b=4:5 এবং b:c=6:7 হলে, a:b:c=
[ ১৩তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 20:35:42
খ. 24:30:35
ক. 24:30:35
খ. 35:30:24
গ. 42:35:20
ক. 20:35:42
খ. 24:30:35
গ. 35:30:24
ঘ. 42:35:20
উত্তরঃ 24:30:35
প্রশ্নঃ a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, নিচের কোন সিদ্ধান্ত সঠিক?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $c^{2}=ab$
খ. $b^{2}=ac$
ক. $c^{2}=ab$
খ. $b^{2}=ac$
গ. $b=ac$
ক. $b=ac$
খ. $c^{2}=ab$
গ. $b^{2}=ac$
ঘ. $b=ac$
উত্তরঃ $b^{2}=ac$
প্রশ্নঃ $$x:y$$ এর ব্যস্তনুপাতিক হবে-
[ ৯ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $\sqrt{x}:\sqrt{y}$
খ. $y:x$
ক. $y:x$
খ. $\frac{1}{x}: \frac{1}{y}$
গ. $y: \frac{1}{x}$
ক. $y:x$
খ. $y: \frac{1}{x}$
গ. $\sqrt{x}:\sqrt{y}$
ঘ. $\frac{1}{x}: \frac{1}{y}$
উত্তরঃ $y:x$
প্রশ্নঃ ২৫:৮১ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?
[ ১০তম শি. নিবন্ধন (স্কুল সমপর্যায়) ]
ক. ৯:৫
খ. $\frac{২৫}{২} : \frac{৮১}{২}$
ক. ৪৫:৯
খ. ৯:৫
গ. $\frac{২৫}{২} : \frac{৮১}{২}$
ক. ৮১:২৫
খ. ৪৫:৯
গ. $\frac{২৫}{২} : \frac{৮১}{২}$
ঘ. ৯:৫
উত্তরঃ ৯:৫
প্রশ্নঃ A:B=3:4 এবং B:C=6:5 হলে, A:C= কত?
[ ৭ম শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. 10:9
খ. 9:10
ক. 3:5
খ. 9:10
গ. 10:9
ক. 3:5
খ. 9:10
গ. 10:9
ঘ. 4:9
উত্তরঃ 9:10
প্রশ্নঃ $$৪ , ৪\frac{১}{ ২} , ২$$ এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করুন।
[ ৬ষ্ঠ শি. নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) ]
ক. $২৬\frac{১}{২}$
খ. $২\frac{১}{৪}$
ক. $৬\frac{১}{৪}$
খ. $২\frac{১}{৪}$
গ. $২৬\frac{১}{২}$
ক. $২\frac{১}{২}$
খ. $৬\frac{১}{৪}$
গ. $২\frac{১}{৪}$
ঘ. $২৬\frac{১}{২}$
উত্তরঃ $২\frac{১}{৪}$
প্রশ্নঃ করিম ও রহিমের নম্বরের অনুপাত ৩: ৪ এবং রহিম ও মোহনের নম্বরের অনুপাত ৬: ৭ হলে করিম ও মোহনের নম্বরের অনুপাত-
[ প্রা. প্র. শি. নি. ১২-১০-২০১২ ]
ক. ৪:৭
খ. ৯:১৪
ক. ৯:১৪
খ. ২:৩
গ. ২:৭
ক. ৪:৭
খ. ২:৩
গ. ২:৭
ঘ. ৯:১৪
উত্তরঃ ৯:১৪
প্রশ্নঃ একটি সোনার গয়নার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার পরিমাণ ৩: ১। তাতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪: ১ হবে?
[ প্রা. প্র. শি. নি.১১-১০-২০১২ ]
ক. ৪ গ্রাম
খ. ৮ গ্রাম
ক. ৪৫ গ্রাম
খ. ৪ গ্রাম
গ. ৮ গ্রাম
ক. ৬ গ্রাম
খ. ৪৫ গ্রাম
গ. ৪ গ্রাম
ঘ. ৮ গ্রাম
উত্তরঃ ৪ গ্রাম
প্রশ্নঃ দুটি রাশির অনুপাত ৮: ১৫। পূর্ব রাশি ৪০ হলে উত্তর রাশি কত?
[ প্রা. প্র. শি. নি.১০-১০-২০১২ ]
ক. ৪৫
খ. ৭৫
ক. ৭৫
খ. ১৫
গ. ৪৫
ক. ১২০
খ. ৪৫
গ. ৭৫
ঘ. ১৫
উত্তরঃ ৭৫
প্রশ্নঃ এক দোকানদার ১৫ টাকা ও ২০ টাকা কেজি দরে দু'ধরনের চা কি অনুপাতে মেশালে দাম ১৬ টাকা ৫০ পয়সা হবে?
[ প্রা. প্র. শি. নি.১০-১০-২০১২ ]
ক. ৩:৭
খ. ৭:৩
ক. ৭:৩
খ. ৪৫:৭
গ. ৪:৫
ক. ৭:৩
খ. ৪৫:৭
গ. ৩:৭
ঘ. ৪:৫
উত্তরঃ ৭:৩
প্রশ্নঃ যদি ক: খ = ৫: ৪ এবং ক: গ= ৬: ৫ হয়, তবে গ: খ=?
[ প্রা. প্র. শি. নি.৯-১০-২০১২ ]
ক. ২৫:২৪
খ. ৩:২
ক. ২৫:২৪
খ. এর কোনোটিই নয়
গ. ২৪:২৫
ক. ২৫:২৪
খ. ২৪:২৫
গ. ৩:২
ঘ. এর কোনোটিই নয়
উত্তরঃ ২৫:২৪
প্রশ্নঃ যদি ক: খ = ৪ : ৫ এবং ক: গ= ৩: ৫ হয়, তবে গ: খ=?
[ প্রা. প্র. শি. নি.০৮-১০-২০১২ ]
ক. ২০: ১৫
খ. এর কোনোটিই নয়
ক. ১৬: ২০
খ. ২০: ১৫
গ. এর কোনোটিই নয়
ক. ১৬: ২০
খ. ১৫:২০
গ. ২০: ১৫
ঘ. এর কোনোটিই নয়
উত্তরঃ ২০: ১৫