ব্যাখ্যাঃ শব্দ CONIC-এর অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে আমরা Permutation প্রয়োগ করি।

CONIC-এ মোট ৫টি অক্ষর রয়েছে, যেখানে C দুটি বার পুনরাবৃত্ত হয়েছে। যদি সব অক্ষর আলাদা থাকত, তাহলে মোট বিন্যাস সংখ্যা হত: $$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$ কিন্তু এখানে C দু’বার রয়েছে, তাই পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলোর জন্য ভাগ দিতে হবে: $$\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60$$ অতএব, CONIC শব্দের অক্ষরগুলো পুনর্বিন্যাসের মোট সংখ্যা ৬০।

ব্যাখ্যাঃ এখানে,
মোট লোকসংখ্যা = 50 জন
ইংরেজি বলতে পারেন = 35 জন
ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন = 25 জন

আমরা জানি, যারা শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = (যারা ইংরেজি বলতে পারেন) - (যারা ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন = $35-25=10$ জন

যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র ইংরেজি বলতে পারেন) + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)

যেহেতু প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন, তাহলে মোট লোকসংখ্যাই হলো যারা অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন।

তাহলে,
50 = 10 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + 25
50 = 35 + (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন)
শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন = $50-35=15$ জন

যারা বাংলা বলতে পারেন = (শুধুমাত্র বাংলা বলতে পারেন) + (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই বলতে পারেন)
যারা বাংলা বলতে পারেন = $15+25=40$ জন

সুতরাং, 40 জন বাংলায় কথা বলতে পারেন।

ব্যাখ্যাঃ CALCUTTA শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে।
এদের মধ্যে C আছে 2 বার, A আছে 2 বার, L আছে 1 বার, U আছে 1 বার, T আছে 2 বার।
CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = $\frac{8!}{2!\times 2!\times 2!}=\frac{40320}{2\times 2\times 2}=\frac{40320}{8}=5040$

AMERICA শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ আছে।
এদের মধ্যে A আছে 2 বার, M আছে 1 বার, E আছে 1 বার, R আছে 1 বার, I আছে 1 বার, C আছে 1 বার।
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = $\frac{7!}{2!}=\frac{5040}{2}=2520$

CALCUTTA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ জানতে চাওয়া হয়েছে।
$\frac{5040}{2520}=2$

সুতরাং, CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার 2 গুণ।

ব্যাখ্যাঃ আমরা ২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করার উপায় গণনা করব।

--- ### ধাপ ১: পদ্ধতি নির্ধারণ এটি বিন্যাস (Permutation) সমস্যা, কারণ অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক ভিন্ন ব্যক্তি হতে হবে এবং তাদের অবস্থান গুরুত্বপূর্ণ। ### ধাপ ২: বিন্যাস সূত্র প্রয়োগ কোনো $n$ সংখ্যক বস্তু থেকে $r$ সংখ্যক বস্তু ক্রম অনুসারে বাছাই করার উপায় হলো: $$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$ এখানে, - $n=20$ (মোট সদস্য), - $r=2$ (২টি ভিন্ন পদ: অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক)। তাহলে, $$P(20,2)=\frac{20!}{(20-2)!}=\frac{20!}{18!}$$ $$=20\times 19=380$$ --- ### উত্তর: অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করার উপায় ৩৮০টি