ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশি: $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$

প্রথম পদ: $\log_{49}{7}$
আমরা জানি $49 = 7^2$।
তাহলে, $\log_{49}{7} = \log_{7^2}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^2}{7} = \frac{1}{2}\log_7{7}$
যেহেতু $\log_b{b} = 1$, তাই $\log_7{7} = 1$।
অতএব, $\log_{49}{7} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

দ্বিতীয় পদ: $\log_{\sqrt{7}}{7}$
আমরা জানি $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$।
তাহলে, $\log_{\sqrt{7}}{7} = \log_{7^{\frac{1}{2}}}{7}$
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী, $\log_{b^n}{a} = \frac{1}{n}\log_b{a}$
সুতরাং, $\log_{7^{\frac{1}{2}}}{7} = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_7{7}$
$= 2 \times 1 = 2$

এখন, দুটি পদ যোগ করে পাই:
$\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7} = \frac{1}{2} + 2$
$= \frac{1+4}{2}$
$= \frac{5}{2}$

অতএব, $\log_{49}{7} + \log_{\sqrt{7}}{7}$ এর মান হলো $\frac{5}{2}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা হল $x$ এবং $x+1$।
প্রশ্নানুসারে, তাদের বর্গের অন্তর 119।
$(x+1)^2 - x^2 = 119$

সূত্র অনুযায়ী, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
তাহলে, $x^2 + 2x + 1 - x^2 = 119$
$2x + 1 = 119$
$2x = 119 - 1$
$2x = 118$
$x = \frac{118}{2}$
$x = 59$

ছোট সংখ্যাটি হল $x$, অর্থাৎ 59।
বড় সংখ্যাটি হল $x+1$, অর্থাৎ 59+1 = 60।

যাচাই: $60^2 - 59^2 = 3600 - 3481 = 119$।

অতএব, ছোট সংখ্যাটি হল 59।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $(\frac{x}{5})^p = 1$

যদি কোনো রাশির ঘাত (power) 0 হয়, তবে সেই রাশির মান 1 হয় (যখন রাশিটি 0 না হয়)।
অর্থাৎ, $a^0 = 1$ (যেখানে $a \ne 0$)

এখানে, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ হয়, তাহলে $p$ এর মান অবশ্যই 0 হবে।

যদি $\frac{x}{5} = 1$ হয়, তাহলে $p$ এর যেকোনো মান হতে পারে।
যদি $\frac{x}{5} = -1$ হয়, তাহলে $p$ এর মান জোড় সংখ্যা হতে পারে।

তবে, সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে ভিত্তি (base) 1 না হলে এবং 0 না হলে, সূচক (exponent) 0 হয়ে থাকে।

সুতরাং, যদি $\frac{x}{5} \ne 0$ এবং $\frac{x}{5} \ne 1$ হয়, তবে $p = 0$।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে রাশিগুলিকে $3$ এর ঘাতে প্রকাশ করি:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{1}{2}}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}$

এবার মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে দিই:
$(3^{\frac{1}{2}})^{2x+1} = (3^{\frac{1}{6}})^{x-1}$

ঘাতের সূত্র অনুযায়ী, $(a^m)^n = a^{mn}$
$3^{\frac{1}{2}(2x+1)} = 3^{\frac{1}{6}(x-1)}$
$3^{\frac{2x+1}{2}} = 3^{\frac{x-1}{6}}$

যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (base) সমান, তাই ঘাতগুলোও (powers) সমান হবে:
$\frac{2x+1}{2} = \frac{x-1}{6}$

এখন আর গুণন (cross-multiplication) করি:
$6(2x+1) = 2(x-1)$
$12x + 6 = 2x - 2$

$x$ এর পদগুলিকে একপাশে এবং ধ্রুবক পদগুলিকে অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$12x - 2x = -2 - 6$
$10x = -8$
$x = \frac{-8}{10}$
$x = -\frac{4}{5}$

সুতরাং, $x$ এর মান হলো $-\frac{4}{5}$।

ব্যাখ্যাঃ $(-27)^{\frac{4}{3}} = ((-3)^3)^{\frac{4}{3}}$
$= (-3)^{3 \times \frac{4}{3}}$
$= (-3)^4$
$= (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)$
$= 81$

সুতরাং, $(-27)^{\frac{4}{3}}$ এর মান 81।

ব্যাখ্যাঃ $(x^{p-q})^{p+q} \cdot (x^{q-r})^{q+r} \cdot (x^{r-p})^{r+p}$

ঘাতের ঘাত থাকার কারণে, সূচকগুলো গুণ হবে:
$x^{(p-q)(p+q)} \cdot x^{(q-r)(q+r)} \cdot x^{(r-p)(r+p)}$

আমরা জানি, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$। এই সূত্র ব্যবহার করে পাই:
$x^{p^2-q^2} \cdot x^{q^2-r^2} \cdot x^{r^2-p^2}$

যেহেতু ভিত্তি একই, তাই সূচকগুলো যোগ হবে:
$= x^{(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2)}$
$= x^{p^2-q^2+q^2-r^2+r^2-p^2}$
$= x^0$

যে কোনো কিছুর উপর সূচক ০ হলে তার মান ১ হয়।
$= 1$

সুতরাং, রাশিটির মান 1।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে,
$log_{10} x = -2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে,
$x = 10^{-2}$

আমরা জানি, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
$x = \frac{1}{10^2}$
$x = \frac{1}{100}$
$x = 0.01$

সুতরাং, $x$ এর মান 0.01।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
$( log_{10} x )^2 = log_{10} x^2$

আমরা জানি, $log_a m^n = n log_a m$।
তাহলে, $log_{10} x^2 = 2 log_{10} x$।

সমীকরণটিতে মান বসিয়ে পাই:
$( log_{10} x )^2 = 2 log_{10} x$

ধরি, $y = log_{10} x$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$y^2 = 2y$
$y^2 - 2y = 0$
$y(y - 2) = 0$

এখান থেকে আমরা পাই,
$y = 0$ অথবা $y - 2 = 0$, অর্থাৎ $y = 2$

যখন $y = 0$:
$log_{10} x = 0$
$x = 10^0$
$x = 1$

যখন $y = 2$:
$log_{10} x = 2$
$x = 10^2$
$x = 100$

সুতরাং, $x$ এর মান 1 অথবা 100।