ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বহুপদের গুণনীয়ক বিশ্লেষণের মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

প্রদত্ত বহুপদ: \[ x^4 + x^2 + 1 \] এটির একটি উৎপাদক \( x^2 + x + 1 \), তাহলে অপর উৎপাদক \( f(x) \) ধরি।

অর্থাৎ, \[ (x^2 + x + 1) \times f(x) = x^4 + x^2 + 1 \] এখন, \( x^2 + x + 1 \) দ্বারা ভাগ করি—

পদক্রম অনুসারে ভাগ করলে পাই: \[ f(x) = x^2 - x + 1 \] সুতরাং, অপর উৎপাদক হবে \( x^2 - x + 1 \)।

ব্যাখ্যাঃ একটি বহুপদী রাশি $P(x)$ যদি $(x-a)$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে $P(a) = 0$ হবে।

এখানে, $P(x) = x^2 + 7x + p$ এবং এটি $(x-5)$ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে, $a = 5$।

শর্তানুযায়ী, $P(5) = 0$ হবে।
$(5)^2 + 7(5) + p = 0$
$25 + 35 + p = 0$
$60 + p = 0$
$p = -60$

উত্তর: $p$ এর মান $-60$ হবে।