ব্যাখ্যাঃ বীজগণিতের সূত্র অনুসারে আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$।

এখন, প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 49 - 25$
$2ab = 24$
$ab = \frac{24}{2}$
$ab = 12$

সুতরাং, $ab$ এর মান হবে ১২।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: \[ 3x^3 + 2x^2 - 21x - 20 \] আমরা এই রাশিটির একটি উৎপাদক বের করতে চাই। উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য আমরা সাধারণত উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করি। উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি \( (x - a) \) রাশিটির একটি উৎপাদক হয়, তবে \( x = a \) বসালে রাশিটির মান শূন্য হবে, অর্থাৎ \( f(a) = 0 \)। ### ধাপ 1: সম্ভাব্য উৎপাদক নির্ণয় রাশিটির সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো ধ্রুবক পদ \(-20\) এর উৎপাদকগুলিকে সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ \(3\) এর উৎপাদক দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{10}{3}, \pm \frac{20}{3} \] ### ধাপ 2: উৎপাদক উপপাদ্য প্রয়োগ আমরা এই মানগুলিকে \( x \) এ বসিয়ে দেখবো কোনটি রাশিটিকে শূন্য করে। #### \( x = 1 \) বসিয়ে: \[ f(1) = 3(1)^3 + 2(1)^2 - 21(1) - 20 = 3 + 2 - 21 - 20 = -36 \neq 0 \] \( x = 1 \) উৎপাদক নয়। #### \( x = -1 \) বসিয়ে: \[ f(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 21(-1) - 20 = -3 + 2 + 21 - 20 = 0 \] \( x = -1 \) বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই \( (x + 1) \) রাশিটির একটি উৎপাদক। ### ধাপ 3: উৎপাদক নিশ্চিতকরণ যেহেতু \( x = -1 \) বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই \( (x + 1) \) রাশিটির একটি উৎপাদক। ### উত্তর: রাশিটির একটি উৎপাদক হলো: \[ \boxed{x + 1} \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \[ f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9 \] আমাদের \( f(3) = 0 \) হলে \( k \) এর মান বের করতে হবে। ধাপ 1: \( x = 3 \) বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি। \[ f(3) = (3)^3 + k(3)^2 - 6(3) - 9 \] ধাপ 2: মানগুলি গণনা করি। \[ f(3) = 27 + 9k - 18 - 9 \] ধাপ 3: সমীকরণটি সরলীকরণ করি। \[ f(3) = 27 - 18 - 9 + 9k = 0 + 9k = 9k \] ধাপ 4: \( f(3) = 0 \) হলে, \[ 9k = 0 \] ধাপ 5: \( k \) এর মান নির্ণয় করি। \[ k = \frac{0}{9} = 0 \] সুতরাং, \( k \) এর মান হলো: \[ \boxed{0} \]

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদীটি \( x^2 - y^2 + 2y - 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। --- ### ধাপ ১: পরিচিত রূপে সাজানো প্রদত্ত বহুপদীটি লিখতে পারি: \[ x^2 - (y^2 - 2y + 1) \] এখানে, \( y^2 - 2y + 1 \) অংশটিকে পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা যায়: \[ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \] তাহলে, সমীকরণটি হয়: \[ x^2 - (y - 1)^2 \] --- ### ধাপ ২: উৎপাদক রূপে লেখা (\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) সূত্র প্রয়োগ) \[ x^2 - (y - 1)^2 = (x - (y - 1))(x + (y - 1)) \] \[ = (x - y + 1)(x + y - 1) \] --- ### উত্তর: একটি উৎপাদক হলো \( (x + y - 1) \) ✅

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, বহুপদের গুণনীয়ক বিশ্লেষণের মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

প্রদত্ত বহুপদ: \[ x^4 + x^2 + 1 \] এটির একটি উৎপাদক \( x^2 + x + 1 \), তাহলে অপর উৎপাদক \( f(x) \) ধরি।

অর্থাৎ, \[ (x^2 + x + 1) \times f(x) = x^4 + x^2 + 1 \] এখন, \( x^2 + x + 1 \) দ্বারা ভাগ করি—

পদক্রম অনুসারে ভাগ করলে পাই: \[ f(x) = x^2 - x + 1 \] সুতরাং, অপর উৎপাদক হবে \( x^2 - x + 1 \)।

ব্যাখ্যাঃ একটি বহুপদী রাশি $P(x)$ যদি $(x-a)$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে $P(a) = 0$ হবে।

এখানে, $P(x) = x^2 + 7x + p$ এবং এটি $(x-5)$ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে, $a = 5$।

শর্তানুযায়ী, $P(5) = 0$ হবে।
$(5)^2 + 7(5) + p = 0$
$25 + 35 + p = 0$
$60 + p = 0$
$p = -60$

উত্তর: $p$ এর মান $-60$ হবে।

ব্যাখ্যাঃ রাশিটিকে $(a)^3 + (\sqrt{3})^3$ আকারে লেখা যেতে পারে।

আমরা জানি, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
এখানে, $x=a$ এবং $y=\sqrt{3}$

সুতরাং, $a^3 + 3\sqrt{3} = a^3 + (\sqrt{3})^3 = (a+\sqrt{3})(a^2 - a\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$
$= (a+\sqrt{3})(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$

অতএব, $a^3 + 3\sqrt{3}$ এর উৎপাদক হল $(a+\sqrt{3})$ এবং $(a^2 - \sqrt{3}a + 3)$।

ব্যাখ্যাঃ $x^3+6x^2y+11xy^2+6y^3$
$=(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)-xy^2-2y^3$
$=(x^3+3\cdot x^2\cdot2y+3\cdot x\cdot(2y)^2+(2y)^3)-xy^2-2y^3$
$=(x+2y)^3-y^2(x+2y)$
$=(x+2y)\{(x+2y)^2-y^2\}$
$=(x+2y)(x+2y+y)(x+2y-y)$
$=(x+2y)(x+3y)(x+y)$
$=(x+y)(x+2y)(x+3y)$