ব্যাখ্যাঃ প্রথম ধাপ: অক্টাল সংখ্যা থেকে বাইনারি রূপে রূপান্তর

অক্টাল সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ককে তার ৩-বিট বাইনারি রূপে প্রকাশ করি:

⇒ ২ = ০১০
⇒ ৪ = ১০০

এখন একসাথে লিখি: \[ ২\,(০১০),\,৪\,(১০০) \] তাহলে, (২৪)₈ এর বাইনারি রূপ: \[ 010\,100 \]

ব্যাখ্যাঃ সঠিক উত্তর হলো গঃ NOR।

NOR গেট এবং NAND গেট এই দুটি গেটকে সার্বজনীন ডিজিটাল লজিক গেট বলা হয়। এর কারণ হলো, শুধুমাত্র NOR গেট ব্যবহার করে অথবা শুধুমাত্র NAND গেট ব্যবহার করে অন্য যেকোনো মৌলিক লজিক গেট (AND, OR, NOT, XOR, XNOR) তৈরি করা সম্ভব।

আসুন দেখি কিভাবে NOR গেট ব্যবহার করে অন্যান্য গেট তৈরি করা যায়:

* NOT গেট তৈরি: একটি NOR গেটের উভয় ইনপুটকে একসাথে যুক্ত করলে এটি NOT গেটের মতো কাজ করে। যদি ইনপুট A হয়, তবে আউটপুট হবে $\overline{A+A} = \overline{A}$।

* OR গেট তৈরি: প্রথমে NOR গেট ব্যবহার করে NOT গেট তৈরি করুন। তারপর NOR গেটের আউটপুটকে আবার NOT গেটের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করলে OR গেট পাওয়া যায়। অর্থাৎ, $\overline{\overline{A+B}} = A+B$।

* AND গেট তৈরি: NOR গেট ব্যবহার করে প্রথমে NOT গেট তৈরি করুন। তারপর AND গেট তৈরি করার জন্য প্রথমে A এবং B ইনপুটকে আলাদা NOT গেটের মাধ্যমে $\overline{A}$ এবং $\overline{B}$ করুন। এরপর এই দুটি আউটপুটকে একটি NOR গেটের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করলে $\overline{\overline{A} + \overline{B}} = A \cdot B$ (ডি-মরগানের উপপাদ্য অনুসারে) পাওয়া যায়, যা AND গেটের আউটপুট।

যেহেতু শুধুমাত্র NOR গেট ব্যবহার করে AND, OR এবং NOT - এই তিনটি মৌলিক গেট তৈরি করা যায়, তাই NOR গেট একটি সার্বজনীন ডিজিটাল লজিক গেট। একই যুক্তিতে NAND গেটও একটি সার্বজনীন গেট।

অন্যদিকে, XOR, AND এবং OR গেট সার্বজনীন নয়, কারণ এদের ব্যবহার করে অন্য যেকোনো গেট তৈরি করার জন্য অতিরিক্ত গেটের প্রয়োজন হয়।

ব্যাখ্যাঃ

ডেসিমেল (Decimal) সংখ্যা ৫৫-কে অক্টাল (Octal) সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য, ৫৫-কে ৮ দিয়ে ভাগ করে ভাগফল এবং ভাগশেষ নির্ণয় করতে হবে। এই প্রক্রিয়াটি ততক্ষণ পর্যন্ত চলবে যতক্ষণ না ভাগফল শূন্য হয়। এরপর ভাগশেষগুলোকে বিপরীত দিক থেকে সাজিয়ে লিখলে অক্টাল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

১. ৫৫ ÷ ৮ = ৬ (ভাগফল), ৭ (ভাগশেষ) ২. ৬ ÷ ৮ = ০ (ভাগফল), ৬ (ভাগশেষ)

ভাগশেষগুলোকে বিপরীত দিক থেকে লিখলে আমরা পাই ৬৭।

সুতরাং, ডেসিমেল সংখ্যা ৫৫-এর সমতুল্য অক্টাল সংখ্যা হলো ৬৭।

ব্যাখ্যাঃ ১০১১১০ বাইনারি নাম্বারের সমতুল্য ডেসিমাল নাম্বার হল ৪৬।

এখানে ধাপে ধাপে দেখানো হল:

$$
\begin{aligned}
(101110)_2 &= (1 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0) \\
&= (1 \times 32) + (0 \times 16) + (1 \times 8) + (1 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1) \\
&= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 \\
&= 46_{10}
\end{aligned}
$$

ব্যাখ্যাঃ

যে ইলেক্ট্রনিক লজিক গেইটের আউটপুট লজিক 0 শুধুমাত্র যখন সকল ইনপুট লজিক 1, তার নাম NAND গেইট।

NAND মানে হলো NOT-AND। এটি একটি AND গেইটের বিপরীত কাজ করে।

• AND গেইটের আউটপুট 1 হয় শুধুমাত্র যখন তার সকল ইনপুট 1 থাকে। অন্যথায় আউটপুট 0 হয়।
• NAND গেইটের আউটপুট 0 হয় শুধুমাত্র যখন তার সকল ইনপুট 1 থাকে। অন্যথায় আউটপুট 1 হয়।

নিচে একটি দুই-ইনপুট NAND গেইটের সত্যসারণী (Truth Table) দেওয়া হলো:

ইনপুট A	ইনপুট B	আউটপুট (Y)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

ব্যাখ্যাঃ

(১০০)₂ একটি বাইনারি সংখ্যা। এর ১ কমপ্লিমেন্ট বের করার নিয়ম হলো প্রতিটি বিটকে বিপরীত করা।

• প্রথম বিট ১, তাই এটি ০ হবে।
• দ্বিতীয় বিট ০, তাই এটি ১ হবে।
• তৃতীয় বিট ০, তাই এটি ১ হবে।

সুতরাং, (১০০)₂ এর ১ কমপ্লিমেন্ট হলো (০১১)₂।

ব্যাখ্যাঃ সঠিক উত্তর হলো $$\overline{(A+B)}=\overline{A}+\overline{B}$$

এটি বুলিয়ান বীজগণিতের ডিমর্গানের উপপাদ্যের ভুল উপস্থাপনা। ডিমর্গানের প্রথম উপপাদ্য অনুসারে:

$$\overline{(A+B)}=\overline{A}.\overline{B}$$

অন্যদিকে, ডিমর্গানের দ্বিতীয় উপপাদ্য হলো:

$$\overline{(A.B)}=\overline{A}+\overline{B}$$

আপনার দেওয়া অন্য অপশনগুলো (ক, গ, ঘ) ডিমর্গানের উপপাদ্য এবং এর সম্প্রসারণের সঠিক উপস্থাপনা।

ব্যাখ্যাঃ

অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিতে (Octal number system) শুধুমাত্র ০ থেকে ৭ পর্যন্ত অঙ্ক ব্যবহার করা হয়।

অতএব, নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কঃ 19 একটি অক্টাল সংখ্যা নয়, কারণ এতে ৯ অঙ্কটি রয়েছে যা অক্টাল পদ্ধতির বাইরে।

অন্যান্য সংখ্যাগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

• খঃ 77: এই সংখ্যাটিতে শুধুমাত্র ৭ অঙ্কটি রয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।
• গঃ 15: এই সংখ্যাটিতে ১ এবং ৫ অঙ্ক দুটিই রয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।
• ঘঃ 101: এই সংখ্যাটিতে ১ এবং ০ অঙ্ক দুটিই রয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।

ব্যাখ্যাঃ $52_{(16)}$ এর বাইনারী রূপ বের করার জন্য, আমরা প্রথমে হেক্সাডেসিমাল (Hexadecimal) এর প্রতিটি অঙ্ককে ৪-বিট বাইনারিতে রূপান্তর করব।

হেক্সাডেসিমাল অঙ্ক এবং তাদের ৪-বিট বাইনারী সমতুল্য নিচে দেওয়া হলো:

• $0_{(16)} = 0000_{(2)}$
  
• $1_{(16)} = 0001_{(2)}$
  
• $2_{(16)} = 0010_{(2)}$
  
• $3_{(16)} = 0011_{(2)}$
  
• $4_{(16)} = 0100_{(2)}$
  
• $5_{(16)} = 0101_{(2)}$
  
• $6_{(16)} = 0110_{(2)}$
  
• $7_{(16)} = 0111_{(2)}$
  
• $8_{(16)} = 1000_{(2)}$
  
• $9_{(16)} = 1001_{(2)}$
  
• $A_{(16)} = 1010_{(2)}$
  
• $B_{(16)} = 1011_{(2)}$
  
• $C_{(16)} = 1100_{(2)}$
  
• $D_{(16)} = 1101_{(2)}$
  
• $E_{(16)} = 1110_{(2)}$
  
• $F_{(16)} = 1111_{(2)}$
  

এখন, হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা $52_{(16)}$ এর প্রতিটি অঙ্ককে বাইনারিতে রূপান্তর করি:

• $5_{(16)} = 0101_{(2)}$
  
• $2_{(16)} = 0010_{(2)}$
  

এরপর, এই বাইনারী মানগুলোকে একসাথে লিখি:

$52_{(16)} = 0101 \quad 0010_{(2)}$

সুতরাং, $52_{(16)}$ এর বাইনারী রূপ হলো $\boxed{01010010_{(2)}}$।

ব্যাখ্যাঃ ১ এর পরিপূরক (1's complement) পেতে হলে বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি ০ কে ১ দ্বারা এবং প্রতিটি ১ কে ০ দ্বারা পরিবর্তন করতে হয়।

তাহলে, $10101111$ এর $1$'s complement হবে:

$01010000$

ব্যাখ্যাঃ

সঠিক নয় হলো A.A’ = 1।

ব্যাখ্যা:

বুলিয়ান বীজগণিত অনুযায়ী:

• কঃ A + 0 = A (এটি সঠিক)
  • ব্যাখ্যা: যেকোনো চলকের সাথে ০ যোগ করলে সেই চলকটিই হয়। এটি অর (OR) গেটের ০ ইনপুটের মতো।
• খঃ A.1 = A (এটি সঠিক)
  • ব্যাখ্যা: যেকোনো চলকের সাথে ১ গুণ করলে সেই চলকটিই হয়। এটি অ্যান্ড (AND) গেটের ১ ইনপুটের মতো।
• গঃ A + A’ = 1 (এটি সঠিক)
  • ব্যাখ্যা: একটি চলক (A) এবং তার পূরক (A', যা A এর বিপরীত) যোগ করলে সর্বদা ১ হয়। কারণ, A যদি ০ হয়, A’ হবে ১ (০+১=১), আর A যদি ১ হয়, A’ হবে ০ (১+০=১)।
• ঘঃ A.A’ = 1 (এটি ভুল)
  • সঠিক নিয়ম: A.A’ = 0
  • ব্যাখ্যা: একটি চলক (A) এবং তার পূরকের (A') গুণফল সর্বদা ০ হয়। কারণ, A যদি ০ হয়, A’ হবে ১ (০.১=০), আর A যদি ১ হয়, A’ হবে ০ (১.০=০)।

সুতরাং, ঘঃ A.A’ = 1 এই বিবৃতিটি সঠিক নয়।

ব্যাখ্যাঃ

একটি নান্দ গেট (NAND Gate) হলো একটি লজিক গেট যা অ্যান্ড (AND) গেটের বিপরীত কাজ করে। এর নাম এসেছে "NOT AND" (নট অ্যান্ড) থেকে। এর আউটপুট তখনই 0 (শূন্য) হয় যখন এর সব ইনপুট 1 (এক) থাকে। অন্যথায়, এর আউটপুট 1 (এক) হয়।

ব্যাখ্যা:

• যখন A এবং B উভয়ই 0 হয়, আউটপুট 1 হয়।
• যখন A 0 এবং B 1 হয়, আউটপুট 1 হয়।
• যখন A 1 এবং B 0 হয়, আউটপুট 1 হয়।
• যখন A এবং B উভয়ই 1 হয়, আউটপুট 0 হয়।

ব্যাখ্যাঃ

"একটি ২ (দুই) ইনপুট লজিক সেটের আউটপুট ∅ (শূন্য/False) হবে, যদি এর ইনপুটগুলো সমান হয়" – এই উক্তিটি এক্স-অর (XOR) গেটের জন্য সত্য।

এক্স-অর (XOR) গেটের কার্যকারিতা:

এক্স-অর গেটের আউটপুট '১' (True) হয় শুধুমাত্র তখনই যখন এর ইনপুটগুলো ভিন্ন হয়। যদি ইনপুটগুলো সমান হয় (অর্থাৎ উভয়ই ০ অথবা উভয়ই ১), তাহলে এর আউটপুট '০' (False) হয়।

ট্রুথ টেবিল (Truth Table) of XOR Gate:

ইনপুট A	ইনপুট B	আউটপুট (A XOR B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

সুতরাং, যখন ইনপুটগুলো সমান (0,0) বা (1,1) হয়, তখন আউটপুট 0 হয়, যা আপনার দেওয়া উক্তির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

ব্যাখ্যাঃ বাইনারি যোগফলটি নিম্নরূপ:

1011₂
+ 0101₂
-------
10000₂

ব্যাখ্যা:

• ডান দিক থেকে প্রথম কলাম (সর্বনিম্ন গুরুত্বপূর্ণ বিট): $1 + 1 = 10_2$ (বাইনারিতে ১০ মানে দশমিকে ২)। ০ বসবে, ১ হাতে থাকবে।
  
• দ্বিতীয় কলাম: হাতে থাকা $1 + 1 + 0 = 10_2$। ০ বসবে, ১ হাতে থাকবে।
  
• তৃতীয় কলাম: হাতে থাকা $1 + 0 + 1 = 10_2$। ০ বসবে, ১ হাতে থাকবে।
  
• চতুর্থ কলাম: হাতে থাকা $1 + 1 + 0 = 10_2$। $10$ বসবে।
  

সুতরাং, $(1011)_2 + (0101)_2 = (10000)_2$।

ব্যাখ্যাঃ A, B, C, D... এইগুলো সবই হলো বুলিয়ান ভেরিয়েবল, যাদের মান কেবল $0$ বা $1$ হতে পারে। $\overline{A}$ হলো $A$-এর পরিপূরক (complement), অর্থাৎ $A$ যদি $0$ হয়, তাহলে $\overline{A}$ হবে $1$ এবং $A$ যদি $1$ হয়, তাহলে $\overline{A}$ হবে $0$।

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়ম অনুযায়ী, নিচের কোনটি সঠিক?

কঃ $A+\overline{A}=1$

যদি $A=0$ হয়, তাহলে $0+\overline{0} = 0+1 = 1$
যদি $A=1$ হয়, তাহলে $1+\overline{1} = 1+0 = 1$
এই উক্তিটি সঠিক।

খঃ $A+A=1$
যদি $A=0$ হয়, তাহলে $0+0=0$ (যা $1$ নয়)
যদি $A=1$ হয়, তাহলে $1+1=1$ (বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় $1+1=1$)
কিন্তু, $A+A$ সবসময় $1$ হবে না। এই উক্তিটি সঠিক নয়।

গঃ $A+A=2A$
বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় $2A$ বলে কিছু নেই, কারণ মান কেবল $0$ বা $1$ হতে পারে। এই উক্তিটি সঠিক নয়।

ঘঃ উপরের কোনোটিই নয়

সুতরাং, সঠিক উক্তিটি হলো কঃ $A+\overline{A}=1$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশি: $$a-[a-\{a-(a-\overline{a-1})\}]$$

প্রথমে, সর্বভ্যন্তরস্থ বন্ধনী থেকে শুরু করি:
1. $(a-\overline{a-1})$
$\overline{a-1}$ মানে $(a-1)$।
সুতরাং, $a-(a-1) = a-a+1 = 1$

এবার এই মানটি বসিয়ে পাই:
$$a-[a-\{a-1\}]$$

2. $\{a-1\}$
এই অংশটি ইতিমধ্যেই সরলীকৃত।

এবার এই মানটি বসিয়ে পাই:
$$a-[a-1]$$

3. $[a-1]$
এই অংশটিও সরলীকৃত।

এবার সম্পূর্ণ রাশিতে বসিয়ে পাই:
$$a-1$$

সুতরাং, রাশিটির সরলীকৃত মান হলো $a-1$।