ব্যাখ্যাঃ চাকাটি 1 মিনিটে (60 সেকেন্ডে) ঘোরে 10 বার।
চাকাটি 1 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{10}{60}$ বার = $\frac{1}{6}$ বার।

আমরা জানি, 1 বার ঘোরা মানে 360 ডিগ্রি ঘোরা।
সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{1}{6} \times 5$ বার = $\frac{5}{6}$ বার।

ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে, চাকাটি 5 সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{5}{6} \times 360$ ডিগ্রি।
$= 5 \times 60$ ডিগ্রি
$= 300$ ডিগ্রি।

সুতরাং, চাকাটি 5 সেকেন্ডে 300 ডিগ্রি ঘোরে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, কোণটি হল $A$ ডিগ্রি।
প্রশ্নানুসারে, কোণটির 4 গুণ 180°।
$4A = 180$
$A = \frac{180}{4}$
$A = 45$ ডিগ্রি।

আমরা জানি, দুটি কোণের যোগফল 180° হলে তারা পরস্পর সম্পূরক কোণ হয়।
সুতরাং, কোণটির সম্পূরক কোণ হবে $180 - A$ ডিগ্রি।
সম্পূরক কোণ = $180 - 45$
সম্পূরক কোণ = $135$ ডিগ্রি।

অতএব, কোণটির সম্পূরক কোণ হল 135 ডিগ্রি।

ব্যাখ্যাঃ যখন একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করা হয়, তখন প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে একটি করে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়। প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের সাথে মিলে 180° তৈরি করে।

ধরি, একটি ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল $A, B, C$ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণগুলি হল $A', B', C'$।

তাহলে,
$A + A' = 180^\circ$
$B + B' = 180^\circ$
$C + C' = 180^\circ$

এই তিনটি সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(A + A') + (B + B') + (C + C') = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ$
$(A + B + C) + (A' + B' + C') = 540^\circ$

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$।
এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$180^\circ + (A' + B' + C') = 540^\circ$
$A' + B' + C' = 540^\circ - 180^\circ$
$A' + B' + C' = 360^\circ$

সুতরাং, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি 360° হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নানুসারে, PQ রেখাংশকে R বিন্দুতে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করা হয়েছে যে:
PQ : PR = PR : QR

ধরি, PR = $x$ এবং QR = $y$।
তাহলে, PQ = PR + QR = $x+y$।

এই মানগুলো সমানুপাতে বসিয়ে পাই:
$(x+y) : x = x : y$

বা, $\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$
$y(x+y) = x^2$
$xy + y^2 = x^2$
$x^2 - xy - y^2 = 0$

এই সমীকরণটিকে $y^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} - 1 = 0$

ধরি, $\frac{x}{y} = k$।
$k^2 - k - 1 = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে $k$ এর মান পাই:
$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

যেহেতু PR > QR, তাই $\frac{PR}{QR} = \frac{x}{y} = k$ এর মান ধনাত্মক হবে।
$k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx \frac{3.236}{2} \approx 1.618$

সুতরাং, অনুপাতটি হলো $PR : QR = k : 1 = 1.618 : 1$।

সঠিক উত্তর: গঃ 1.618 : 1