ব্যাখ্যাঃ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
এখানে, ক্ষেত্রফল = 35 বর্গ সেমি
দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি
প্রস্থ = $(x-2)$ সেমি

প্রশ্নানুসারে,
$x(x-2) = 35$
$x^2 - 2x = 35$
$x^2 - 2x - 35 = 0$

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:
$x^2 - 7x + 5x - 35 = 0$
$x(x-7) + 5(x-7) = 0$
$(x-7)(x+5) = 0$

এখানে দুটি সমাধান পাওয়া যায়:
$x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$
অথবা
$x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$

যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 7$।

অতএব, $x$ এর মান হল 7।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ একক।

প্রশ্নানুসারে, এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 6 একক।
$2a = 6$
$a = \frac{6}{2}$
$a = 3$ একক।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হল $d = a\sqrt{2}$।
এখানে, $a = 3$ একক।
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য $d = 3\sqrt{2}$ একক।

এখন, কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ বের করতে হবে।
কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ = $2 \times d$
$= 2 \times 3\sqrt{2}$
$= 6\sqrt{2}$ একক।

অতএব, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ $6\sqrt{2}$ একক।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $L$ মিটার এবং প্রস্থ = $W$ মিটার।

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,
পরিসীমা = 40 মিটার
প্রস্থ ($W$) = 5 মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2(L + W)$।
তাহলে,
$2(L + 5) = 40$
$L + 5 = \frac{40}{2}$
$L + 5 = 20$
$L = 20 - 5$
$L = 15$

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 15 মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = $x$ মিটার।
তাহলে, দৈর্ঘ্য = $x \times 1.5 = 1.5x$ মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
$1.5x \times x = 216$
$1.5x^2 = 216$
$x^2 = \frac{216}{1.5}$
$x^2 = 144$
$x = \sqrt{144}$
$x = 12$

সুতরাং,
প্রস্থ ($x$) = 12 মিটার
দৈর্ঘ্য ($1.5x$) = $1.5 \times 12 = 18$ মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times$ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= $2 \times (18 + 12)$
= $2 \times 30$
= 60 মিটার।

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 60 মিটার।