ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে গুণ করি: \[ 0.4 \times 0.02 = 0.008 \] \[ 0.008 \times 0.08 = 0.00064 \] সুতরাং, \(0.4 × 0.02 × 0.08 = 0.00064\)

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)।
শর্ত অনুযায়ী, \( x \) থেকে এর ৪০% বিয়োগ করলে ৩০ পাওয়া যায়: \[ x - \frac{40}{100}x = 30 \] \[ x - 0.4x = 30 \] \[ (1 - 0.4)x = 30 \] \[ 0.6x = 30 \] \[ x = \frac{30}{0.6} = 50 \] সুতরাং, সংখ্যাটি হবে ৫০।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক,
বাবুর কাছে \( x \) টি মার্বেল আছে
তপুর কাছে \( y \) টি মার্বেল আছে

প্রথম শর্ত অনুযায়ী:
যদি বাবু ১০ টি মার্বেল তপুকে দেয়, তবে তাদের সংখ্যা সমান হবে।
অর্থাৎ, \[ x - 10 = y + 10 \] \[ x - y = 20 \] দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী:
যদি তপু ২০ টি মার্বেল বাবুকে দেয়, তবে বাবুর মার্বেলের সংখ্যা তপুর মার্বেলের দ্বিগুণ হবে।
অর্থাৎ, \[ x + 20 = 2(y - 20) \] \[ x + 20 = 2y - 40 \] \[ x - 2y = -60 \] দুইটি সমীকরণ:
1. \( x - y = 20 \)
2. \( x - 2y = -60 \)

প্রথম সমীকরণ থেকে \( x = y + 20 \) বসাই দ্বিতীয় সমীকরণে: \[ (y + 20) - 2y = -60 \] \[ y + 20 - 2y = -60 \] \[ - y + 20 = -60 \] \[ y = 80 \] এখন, \( x = y + 20 \) থেকে: \[ x = 80 + 20 = 100 \] বাবুর কাছে ১০০ টি মার্বেল আছে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, যাত্রার এক পাশের দূরত্ব \( d \) কিলোমিটার।
সময় নির্ণয়:
স্রোতের অনুকূলে যাওয়ার সময়: \( \frac{d}{10} \) ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ফেরার সময়: \( \frac{d}{6} \) ঘণ্টা

মোট সময়: \[ \frac{d}{10} + \frac{d}{6} = \frac{3d}{30} + \frac{5d}{30} = \frac{8d}{30} \] মোট দূরত্ব: \[ 2d \] গড় গতিবেগ: \[ \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{2d}{\frac{8d}{30}} \] \[ = \frac{2d \times 30}{8d} \] \[ = \frac{60}{8} = 7.5 \] সুতরাং, গড় গতিবেগ হবে ৭.৫ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।

ব্যাখ্যাঃ

এখানে লক্ষণীয় যে ৫টি বিড়াল ৫টি ইঁদুর ধরতে ৫ মিনিট সময় নেয়। প্রতিটি বিড়াল স্বাধীনভাবে কাজ করছে, তাই ১টি বিড়াল ১টি ইঁদুর ধরতে ৫ মিনিট সময় নেয়।

এখন, যদি ১০০টি বিড়াল থাকে, তাহলে ১০০টি ইঁদুর ধরতে প্রতিটি বিড়ালের জন্য ৫ মিনিটই লাগবে।
কারণ, বিড়ালের সংখ্যা ও ইঁদুরের সংখ্যা অনুপাতে বেড়েছে, কিন্তু প্রত্যেক বিড়াল তাদের কাজ একই সময়ে শেষ করছে।

সুতরাং, ১০০টি বিড়াল ১০০টি ইঁদুর ধরতে ৫ মিনিট সময় নেবে!

ব্যাখ্যাঃ \(= (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

ব্যাখ্যাঃ

৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ এর লসাগু ২১০। তাই সর্বনিম্ন ২১০ টি গাছ লাগাগে কম বেশি হবে না।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, দুটি সংখ্যা যথাক্রমে \( 3x \) এবং \( 7x \)।

উভয় সংখ্যার সাথে ১০ যোগ করলে নতুন সংখ্যা হবে \( 3x + 10 \) এবং \( 7x + 10 \)।

এখন, নতুন অনুপাত দেওয়া আছে ১:২, অর্থাৎ, \[ \frac{3x + 10}{7x + 10} = \frac{1}{2} \] \[ 2(3x + 10) = 1(7x + 10) \] \[ 6x + 20 = 7x + 10 \] \[ 7x - 6x = 20 - 10 \] \[ x = 10 \] সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি হবে \( 3x = 3 \times 10 = 30 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স \( x \) বছর।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স \( 3x \) বছর।

৫ বছর আগে:
⇒ পুত্রের বয়স ছিল \( x - 5 \) বছর।
⇒ পিতার বয়স ছিল \( 3x - 5 \) বছর।

প্রশ্ন অনুযায়ী, ৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, অর্থাৎ: \[ 3x - 5 = 4(x - 5) \] \[ 3x - 5 = 4x - 20 \] \[ 3x - 4x = -20 + 5 \] \[ - x = -15 \] \[ x = 15 \] সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স \( 15 \) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \( 3 \times 15 = 45 \) বছর।

ব্যাখ্যাঃ ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়ের জন্য, আমাদের প্রথমে ট্রেনটি যে মোট দূরত্ব অতিক্রম করেছে তা বের করতে হবে।

মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য \[ = 150 + 450 = 600 \text{ মিটার} \] এটি অতিক্রম করতে সময় লেগেছে ২০ সেকেন্ড।
গতিবেগ নির্ণয়ের সূত্র: \[ \text{গতিবেগ} = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{সময়}} \] \[ = \frac{600}{20} = 30 \text{ মিটার/সেকেন্ড} \] সুতরাং, ট্রেনের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে ৩০ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করার জন্য আমরা প্রথম \( n \) প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল সূত্র ব্যবহার করতে পারি: \[ S = \frac{n(n+1)}{2} \] এখানে \( n = 99 \), সুতরাং: \[ S = \frac{99 \times 100}{2} = \frac{9900}{2} = 4950 \] সুতরাং, ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল ৪৯৫০।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা হলো \( p, q, r \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
প্রথম দুটি সংখ্যা \( p \) এবং \( q \), যাদের গুণফল: \[ p \times q = 91 \] শেষ দুটি সংখ্যা \( q \) এবং \( r \), যাদের গুণফল: \[ q \times r = 143 \] এখন, আমরা মৌলিক সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করি—
\( 91 = 7 \times 13 \),
\( 143 = 11 \times 13 \)।

এখানে \( q = 13 \) হলে, প্রথম সংখ্যা \( p = 7 \) এবং শেষ সংখ্যা \( r = 11 \)।

সুতরাং, তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যা ৭, ১৩, ১১।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পুরো কাজটি শেষ করতে ক-এর প্রয়োজন \( x \) দিন এবং খ-এর প্রয়োজন ১৪ দিন।
তাহলে, ক ও খ একসাথে ১ দিনে কাজ করে: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{14} = \frac{1}{10} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \] \[ = \frac{14 - 10}{140} = \frac{4}{140} = \frac{1}{35} \] সুতরাং, ক একা কাজটি ৩৫ দিনে শেষ করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ব্যক্তি \( x \) কিলোমিটার পথ ঘন্টায় ৬০ কিমি বেগে অতিক্রম করেছে।
তাহলে অবশিষ্ট পথ হবে \( 240 - x \) কিলোমিটার, যা ঘন্টায় ৪০ কিমি বেগে অতিক্রম করা হয়েছে।

মোট সময় ৫ ঘণ্টা, তাই সময়ের সমীকরণ: \[ \frac{x}{60} + \frac{240 - x}{40} = 5 \] \[ \frac{x}{60} + \frac{240 - x}{40} = 5 \] \[ \frac{2x}{120} + \frac{3(240 - x)}{120} = 5 \] \[ \frac{2x + 720 - 3x}{120} = 5 \] \[ \frac{720 - x}{120} = 5 \] \[ 720 - x = 600 \] \[ x = 120 \] সুতরাং, ব্যক্তি ১২০ কিলোমিটার পথ ঘন্টায় ৬০ কিমি বেগে অতিক্রম করেছে।

ব্যাখ্যাঃ

যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করা হয় এবং এর ফলে যে দুটি বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, তারা পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা \( n \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দিয়েছে, অর্থাৎ প্রত্যেকে \( n - 1 \) টাকা দিয়েছে।

তাহলে মোট চাঁদার হিসাব হবে: \[ n \times (n - 1) = 420 \] \[ n^2 - n = 420 \] \[ n^2 - n - 420 = 0 \] \[ n^2 - n - 420 = 0 \] \[ (n - 21)(n + 20) = 0 \] এখানে দুটি সম্ভাব্য মান \( n = 21 \) অথবা \( n = -20 \)।
যেহেতু ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ধনাত্মক হবে, তাই \( n = 21 \)।

সুতরাং, শ্রেণিতে মোট ২১ জন ছাত্র-ছাত্রী ছিল।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে, \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] এখন, প্রদত্ত মান বসাই: \[ 9^2 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 81 = 29 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 81 - 29 = 2(ab + bc + ca) \] \[ 52 = 2(ab + bc + ca) \] \[ ab + bc + ca = \frac{52}{2} = 26 \] সুতরাং, \( ab + bc + ca = 26 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ \( x \) মিটার এবং দৈর্ঘ্য \( 3x \) মিটার।

ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে, \[ x \times 3x = 768 \] \[ 3x^2 = 768 \] \[ x^2 = \frac{768}{3} = 256 \] \[ x = \sqrt{256} = 16 \] তাহলে,
⇒ প্রস্থ = ১৬ মিটার
⇒ দৈর্ঘ্য = \( 3 \times 16 = 48 \) মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা: \[ 2 \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2 \times (48 + 16) = 2 \times 64 = 128 \text{ মিটার} \] যেহেতু বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একই, তাই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য \( s \) হলে: \[ 4s = 128 \] \[ s = \frac{128}{4} = 32 \] সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ

দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় (১৮০° < কোণ) এবং চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট (কোণ < ৩৬০°) কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল সমান।

অর্থাৎ, \[ সংখ্যা ১ \times সংখ্যা ২ = \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু} \] প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, \[ 10 \times x = 2 \times 360 \] \[ 10x = 720 \] \[ x = \frac{720}{10} = 72 \] সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হবে ৭২।

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো:
$\frac{2x + 3y}{ 3x + 2y} = \frac{5}{ 6}$

এখন আমরা আড়াআড়ি গুণ করব:
$6(2x + 3y) = 5(3x + 2y)$
$12x + 18y = 15x + 10y$

$y$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং $x$ যুক্ত পদগুলো অন্যপাশে নিয়ে আসি:
$18y - 10y = 15x - 12x$
$8y = 3x$

এখন $x:y$ অনুপাত বের করার জন্য, $x$ এবং $y$ কে একপাশে নিয়ে আসি:
$\frac{x}{y} = \frac{8}{3}$

সুতরাং, $x:y = 8:3$

উত্তর: $x:y$ হলো $8:3$।

ব্যাখ্যাঃ $4 \times 5 \times 0 \times 7 \times 1 = 0$

কারণ, যেকোনো সংখ্যাকে শূন্য (০) দিয়ে গুণ করলে গুণফল শূন্যই হয়।

ব্যাখ্যাঃ এখানে দেওয়া আছে:

• একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ১৬ বর্গমিটার
  
• বৃত্তের পরিধি = ৮ মিটার
  

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $A = \pi r^2$
বৃত্তের পরিধির সূত্র: $C = 2 \pi r$

যেখানে $A$ হলো ক্ষেত্রফল, $C$ হলো পরিধি, এবং $r$ হলো ব্যাসার্ধ।

আমরা পরিধির সূত্র ব্যবহার করে ব্যাসার্ধ বের করতে পারি:
$C = 2 \pi r$
$8 = 2 \pi r$
$r = \frac{8}{2\pi}$
$r = \frac{4}{\pi}$ মিটার