ব্যাখ্যাঃ প্রথম ধাপ: অক্টাল সংখ্যা থেকে বাইনারি রূপে রূপান্তর

অক্টাল সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ককে তার ৩-বিট বাইনারি রূপে প্রকাশ করি:

⇒ ২ = ০১০
⇒ ৪ = ১০০

এখন একসাথে লিখি: \[ ২\,(০১০),\,৪\,(১০০) \] তাহলে, (২৪)₈ এর বাইনারি রূপ: \[ 010\,100 \]

ব্যাখ্যাঃ

(2FA)₁₆ হেক্সাডেসিমেল সংখ্যাটিকে অক্টালে রূপান্তর করার জন্য প্রথমে এটিকে বাইনারিতে রূপান্তর করতে হবে, তারপর সেই বাইনারি সংখ্যাকে তিন বিটের গ্রুপে ভাগ করে প্রতি গ্রুপের জন্য অক্টাল মান লিখতে হবে।

ধাপ ১: হেক্সাডেসিমেল থেকে বাইনারিতে রূপান্তর

প্রতিটি হেক্সাডেসিমেল ডিজিটকে ৪-বিট বাইনারি সমতুল্যে রূপান্তর করুন:

• 2₁₆ = 0010₂
• F₁₆ = 1111₂
• A₁₆ = 1010₂

সুতরাং, (2FA)₁₆ এর বাইনারি সমতুল্য হলো: 0010 1111 1010₂

ধাপ ২: বাইনারি থেকে অক্টালে রূপান্তর

বাইনারি সংখ্যাটিকে ডান দিক থেকে শুরু করে তিন বিটের গ্রুপে ভাগ করুন। প্রয়োজনে বাম দিকে অতিরিক্ত 0 যোগ করে তিন বিটের গ্রুপ তৈরি করুন:

001 011 111 010₂

ধাপ ৩: প্রতিটি বাইনারি গ্রুপের জন্য অক্টাল মান লিখুন

• 001₂ = 1
• 011₂ = 3
• 111₂ = 7
• 010₂ = 2

সুতরাং, (2FA)₁₆ এর অক্টাল সমতুল্য হলো: (1372)₈

ব্যাখ্যাঃ

ডেসিমেল (Decimal) সংখ্যা ৫৫-কে অক্টাল (Octal) সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য, ৫৫-কে ৮ দিয়ে ভাগ করে ভাগফল এবং ভাগশেষ নির্ণয় করতে হবে। এই প্রক্রিয়াটি ততক্ষণ পর্যন্ত চলবে যতক্ষণ না ভাগফল শূন্য হয়। এরপর ভাগশেষগুলোকে বিপরীত দিক থেকে সাজিয়ে লিখলে অক্টাল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

১. ৫৫ ÷ ৮ = ৬ (ভাগফল), ৭ (ভাগশেষ) ২. ৬ ÷ ৮ = ০ (ভাগফল), ৬ (ভাগশেষ)

ভাগশেষগুলোকে বিপরীত দিক থেকে লিখলে আমরা পাই ৬৭।

সুতরাং, ডেসিমেল সংখ্যা ৫৫-এর সমতুল্য অক্টাল সংখ্যা হলো ৬৭।

ব্যাখ্যাঃ ১০১১১০ বাইনারি নাম্বারের সমতুল্য ডেসিমাল নাম্বার হল ৪৬।

এখানে ধাপে ধাপে দেখানো হল:

$$
\begin{aligned}
(101110)_2 &= (1 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0) \\
&= (1 \times 32) + (0 \times 16) + (1 \times 8) + (1 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1) \\
&= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 \\
&= 46_{10}
\end{aligned}
$$

ব্যাখ্যাঃ

যে ইলেক্ট্রনিক লজিক গেইটের আউটপুট লজিক 0 শুধুমাত্র যখন সকল ইনপুট লজিক 1, তার নাম NAND গেইট।

NAND মানে হলো NOT-AND। এটি একটি AND গেইটের বিপরীত কাজ করে।

• AND গেইটের আউটপুট 1 হয় শুধুমাত্র যখন তার সকল ইনপুট 1 থাকে। অন্যথায় আউটপুট 0 হয়।
• NAND গেইটের আউটপুট 0 হয় শুধুমাত্র যখন তার সকল ইনপুট 1 থাকে। অন্যথায় আউটপুট 1 হয়।

নিচে একটি দুই-ইনপুট NAND গেইটের সত্যসারণী (Truth Table) দেওয়া হলো:

ইনপুট A	ইনপুট B	আউটপুট (Y)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

ব্যাখ্যাঃ

(১০০)₂ একটি বাইনারি সংখ্যা। এর ১ কমপ্লিমেন্ট বের করার নিয়ম হলো প্রতিটি বিটকে বিপরীত করা।

• প্রথম বিট ১, তাই এটি ০ হবে।
• দ্বিতীয় বিট ০, তাই এটি ১ হবে।
• তৃতীয় বিট ০, তাই এটি ১ হবে।

সুতরাং, (১০০)₂ এর ১ কমপ্লিমেন্ট হলো (০১১)₂।

ব্যাখ্যাঃ

অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিতে (Octal number system) শুধুমাত্র ০ থেকে ৭ পর্যন্ত অঙ্ক ব্যবহার করা হয়।

অতএব, নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কঃ 19 একটি অক্টাল সংখ্যা নয়, কারণ এতে ৯ অঙ্কটি রয়েছে যা অক্টাল পদ্ধতির বাইরে।

অন্যান্য সংখ্যাগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

• খঃ 77: এই সংখ্যাটিতে শুধুমাত্র ৭ অঙ্কটি রয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।
• গঃ 15: এই সংখ্যাটিতে ১ এবং ৫ অঙ্ক দুটিই রয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।
• ঘঃ 101: এই সংখ্যাটিতে ১ এবং ০ অঙ্ক দুটিই রয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির অন্তর্ভুক্ত।

ব্যাখ্যাঃ $52_{(16)}$ এর বাইনারী রূপ বের করার জন্য, আমরা প্রথমে হেক্সাডেসিমাল (Hexadecimal) এর প্রতিটি অঙ্ককে ৪-বিট বাইনারিতে রূপান্তর করব।

হেক্সাডেসিমাল অঙ্ক এবং তাদের ৪-বিট বাইনারী সমতুল্য নিচে দেওয়া হলো:

• $0_{(16)} = 0000_{(2)}$
  
• $1_{(16)} = 0001_{(2)}$
  
• $2_{(16)} = 0010_{(2)}$
  
• $3_{(16)} = 0011_{(2)}$
  
• $4_{(16)} = 0100_{(2)}$
  
• $5_{(16)} = 0101_{(2)}$
  
• $6_{(16)} = 0110_{(2)}$
  
• $7_{(16)} = 0111_{(2)}$
  
• $8_{(16)} = 1000_{(2)}$
  
• $9_{(16)} = 1001_{(2)}$
  
• $A_{(16)} = 1010_{(2)}$
  
• $B_{(16)} = 1011_{(2)}$
  
• $C_{(16)} = 1100_{(2)}$
  
• $D_{(16)} = 1101_{(2)}$
  
• $E_{(16)} = 1110_{(2)}$
  
• $F_{(16)} = 1111_{(2)}$
  

এখন, হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা $52_{(16)}$ এর প্রতিটি অঙ্ককে বাইনারিতে রূপান্তর করি:

• $5_{(16)} = 0101_{(2)}$
  
• $2_{(16)} = 0010_{(2)}$
  

এরপর, এই বাইনারী মানগুলোকে একসাথে লিখি:

$52_{(16)} = 0101 \quad 0010_{(2)}$

সুতরাং, $52_{(16)}$ এর বাইনারী রূপ হলো $\boxed{01010010_{(2)}}$।

ব্যাখ্যাঃ ১ এর পরিপূরক (1's complement) পেতে হলে বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি ০ কে ১ দ্বারা এবং প্রতিটি ১ কে ০ দ্বারা পরিবর্তন করতে হয়।

তাহলে, $10101111$ এর $1$'s complement হবে:

$01010000$

ব্যাখ্যাঃ

এক word সাধারণত 1 বাইটের (byte) হতে পারে। তবে word এর বেশি দৈর্ঘ্যেরও (2, 3, 4 ........ byte–এর) হতে পারে। আবার 1 byte = 8 bit । সুতরাং একটি word সর্বনিম্ন 8 বিটের (bit) হতে পারে। প্রশ্নে উল্লিখিত 16 বিটের wordও হতে পারে। 2 বা 4 বিটের কোনো word হয় না।

ব্যাখ্যাঃ বাইনারি যোগফলটি নিম্নরূপ:

1011₂
+ 0101₂
-------
10000₂

ব্যাখ্যা:

• ডান দিক থেকে প্রথম কলাম (সর্বনিম্ন গুরুত্বপূর্ণ বিট): $1 + 1 = 10_2$ (বাইনারিতে ১০ মানে দশমিকে ২)। ০ বসবে, ১ হাতে থাকবে।
  
• দ্বিতীয় কলাম: হাতে থাকা $1 + 1 + 0 = 10_2$। ০ বসবে, ১ হাতে থাকবে।
  
• তৃতীয় কলাম: হাতে থাকা $1 + 0 + 1 = 10_2$। ০ বসবে, ১ হাতে থাকবে।
  
• চতুর্থ কলাম: হাতে থাকা $1 + 1 + 0 = 10_2$। $10$ বসবে।
  

সুতরাং, $(1011)_2 + (0101)_2 = (10000)_2$।

ব্যাখ্যাঃ A, B, C, D... এইগুলো সবই হলো বুলিয়ান ভেরিয়েবল, যাদের মান কেবল $0$ বা $1$ হতে পারে। $\overline{A}$ হলো $A$-এর পরিপূরক (complement), অর্থাৎ $A$ যদি $0$ হয়, তাহলে $\overline{A}$ হবে $1$ এবং $A$ যদি $1$ হয়, তাহলে $\overline{A}$ হবে $0$।

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়ম অনুযায়ী, নিচের কোনটি সঠিক?

কঃ $A+\overline{A}=1$

যদি $A=0$ হয়, তাহলে $0+\overline{0} = 0+1 = 1$
যদি $A=1$ হয়, তাহলে $1+\overline{1} = 1+0 = 1$
এই উক্তিটি সঠিক।

খঃ $A+A=1$
যদি $A=0$ হয়, তাহলে $0+0=0$ (যা $1$ নয়)
যদি $A=1$ হয়, তাহলে $1+1=1$ (বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় $1+1=1$)
কিন্তু, $A+A$ সবসময় $1$ হবে না। এই উক্তিটি সঠিক নয়।

গঃ $A+A=2A$
বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় $2A$ বলে কিছু নেই, কারণ মান কেবল $0$ বা $1$ হতে পারে। এই উক্তিটি সঠিক নয়।

ঘঃ উপরের কোনোটিই নয়

সুতরাং, সঠিক উক্তিটি হলো কঃ $A+\overline{A}=1$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশি: $$a-[a-\{a-(a-\overline{a-1})\}]$$

প্রথমে, সর্বভ্যন্তরস্থ বন্ধনী থেকে শুরু করি:
1. $(a-\overline{a-1})$
$\overline{a-1}$ মানে $(a-1)$।
সুতরাং, $a-(a-1) = a-a+1 = 1$

এবার এই মানটি বসিয়ে পাই:
$$a-[a-\{a-1\}]$$

2. $\{a-1\}$
এই অংশটি ইতিমধ্যেই সরলীকৃত।

এবার এই মানটি বসিয়ে পাই:
$$a-[a-1]$$

3. $[a-1]$
এই অংশটিও সরলীকৃত।

এবার সম্পূর্ণ রাশিতে বসিয়ে পাই:
$$a-1$$

সুতরাং, রাশিটির সরলীকৃত মান হলো $a-1$।