ক. ৯ ফুট
খ. ৮ ফুট
গ. ৫ ফুট
ঘ. ৪ ফুট
উত্তরঃ ৫ ফুট
ব্যাখ্যাঃ ধরি, ডকের উচ্চতা $h$ ফুট।
যখন নৌকাটি ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা, ডক এবং পানির স্তর একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি হলো ডক থেকে নৌকার দূরত্ব, যা ১২ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব হলো ডকের উচ্চতা, যা $h$ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হলো দড়ির দৈর্ঘ্য।
প্রশ্নানুসারে, এই অবস্থায় দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা। সুতরাং, দড়ির দৈর্ঘ্য হবে $(2h + 3)$ ফুট।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
$$(\text{ভূমি})^2 + (\text{লম্ব})^2 = (\text{অতিভুজ})^2$$
এখানে ভূমি = ১২ ফুট, লম্ব = $h$ ফুট এবং অতিভুজ = $(2h + 3)$ ফুট।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$12^2 + h^2 = (2h + 3)^2$$$$144 + h^2 = (2h)^2 + 2 \cdot (2h) \cdot 3 + 3^2$$$$144 + h^2 = 4h^2 + 12h + 9$$
$$0 = 4h^2 - h^2 + 12h + 9 - 144$$
$$0 = 3h^2 + 12h - 135$$
$$0 = h^2 + 4h - 45$$
$$h^2 + 9h - 5h - 45 = 0$$$$h(h + 9) - 5(h + 9) = 0$$$$(h + 9)(h - 5) = 0$$
সুতরাং, $h + 9 = 0$ অথবা $h - 5 = 0$.
যদি $h + 9 = 0$, তাহলে $h = -9$. যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
যদি $h - 5 = 0$, তাহলে $h = 5$.
সুতরাং, ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।
উত্তর: ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।
যখন নৌকাটি ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা, ডক এবং পানির স্তর একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি হলো ডক থেকে নৌকার দূরত্ব, যা ১২ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব হলো ডকের উচ্চতা, যা $h$ ফুট।
⇒ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হলো দড়ির দৈর্ঘ্য।
প্রশ্নানুসারে, এই অবস্থায় দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা। সুতরাং, দড়ির দৈর্ঘ্য হবে $(2h + 3)$ ফুট।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
$$(\text{ভূমি})^2 + (\text{লম্ব})^2 = (\text{অতিভুজ})^2$$
এখানে ভূমি = ১২ ফুট, লম্ব = $h$ ফুট এবং অতিভুজ = $(2h + 3)$ ফুট।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$12^2 + h^2 = (2h + 3)^2$$$$144 + h^2 = (2h)^2 + 2 \cdot (2h) \cdot 3 + 3^2$$$$144 + h^2 = 4h^2 + 12h + 9$$
$$0 = 4h^2 - h^2 + 12h + 9 - 144$$
$$0 = 3h^2 + 12h - 135$$
$$0 = h^2 + 4h - 45$$
$$h^2 + 9h - 5h - 45 = 0$$$$h(h + 9) - 5(h + 9) = 0$$$$(h + 9)(h - 5) = 0$$
সুতরাং, $h + 9 = 0$ অথবা $h - 5 = 0$.
যদি $h + 9 = 0$, তাহলে $h = -9$. যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
যদি $h - 5 = 0$, তাহলে $h = 5$.
সুতরাং, ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।
উত্তর: ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।
প্রশ্নঃ লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৪৮ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ১০ ঘণ্টা
খ. ৫ ঘণ্টা
গ. ৬ ঘণ্টা
ঘ. ৮ ঘণ্টা
উত্তরঃ ৬ ঘণ্টা
ব্যাখ্যাঃ
নদীপথে লঞ্চের বেগ ১৮ কিমি/ঘন্টা এবং স্রোতের বেগ ৬ কিমি/ঘন্টা। অতএব, অনুকূলে বেগ = ১৮ + ৬ = ২৪ কিমি/ঘন্টা এবং প্রতিকূলে বেগ = ১৮ - ৬ = ১২ কিমি/ঘন্টা এখন, ৪৮ কিমি পথ যেতে অনুকূলে সময় লাগবে = ৪৮/২৪ = ২ ঘন্টা এবং, ৪৮ কিমি পথ ফিরে আসতে প্রতিকূলে সময় লাগবে = ৪৮/১২ = ৪ ঘন্টা সুতরাং, মোট সময় লাগবে = ২ + ৪ = ৬ ঘন্টা। অতএব, নদীপথে ৪৮ কিমি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে লঞ্চটির ৬ ঘন্টা সময় লাগবে।
প্রশ্নঃ নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫ কিমি। নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?
[ বিসিএস ১২তম ]
ক. ৯ ঘণ্টা
খ. ১২ ঘণ্টা
গ. ১০ ঘণ্টা
ঘ. ১৮ ঘণ্টা
উত্তরঃ ১২ ঘণ্টা
ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা নৌকা ও স্রোতের বেগ ব্যবহার করব।
ধাপ ১: নৌকা ও স্রোতের বেগ
- নৌকার বেগ (স্থির জলে) = ১০ কিমি/ঘণ্টা
- স্রোতের বেগ = ৫ কিমি/ঘণ্টা
ধাপ ২: স্রোতের দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: \[ ১০ + ৫ = ১৫ \text{ কিমি/ঘণ্টা} \] ধাপ ৩: স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: \[ ১০ - ৫ = ৫ \text{ কিমি/ঘণ্টা} \] ধাপ ৪: সময় গণনা
দূরত্ব = ৪৫ কিমি
স্রোতের দিকে যেতে সময় লাগে: \[ \frac{৪৫}{১৫} = ৩ \text{ ঘণ্টা} \] স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসতে সময় লাগে: \[ \frac{৪৫}{৫} = ৯ \text{ ঘণ্টা} \] ধাপ ৫: মোট সময়
মোট সময় = স্রোতের দিকে যাওয়ার সময় + স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসার সময় \[ ৩ + ৯ = ১২ \text{ ঘণ্টা} \] ফলাফল নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে ১২ ঘণ্টা সময় লাগবে।
ধাপ ১: নৌকা ও স্রোতের বেগ
- নৌকার বেগ (স্থির জলে) = ১০ কিমি/ঘণ্টা
- স্রোতের বেগ = ৫ কিমি/ঘণ্টা
ধাপ ২: স্রোতের দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: \[ ১০ + ৫ = ১৫ \text{ কিমি/ঘণ্টা} \] ধাপ ৩: স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার বেগ
স্রোতের বিপরীত দিকে নৌকার কার্যকরী বেগ: \[ ১০ - ৫ = ৫ \text{ কিমি/ঘণ্টা} \] ধাপ ৪: সময় গণনা
দূরত্ব = ৪৫ কিমি
স্রোতের দিকে যেতে সময় লাগে: \[ \frac{৪৫}{১৫} = ৩ \text{ ঘণ্টা} \] স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসতে সময় লাগে: \[ \frac{৪৫}{৫} = ৯ \text{ ঘণ্টা} \] ধাপ ৫: মোট সময়
মোট সময় = স্রোতের দিকে যাওয়ার সময় + স্রোতের বিপরীত দিকে ফিরে আসার সময় \[ ৩ + ৯ = ১২ \text{ ঘণ্টা} \] ফলাফল নদী পথে ৪৫ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে ১২ ঘণ্টা সময় লাগবে।