ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $b$.

প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a$

প্রশ্নানুসারে, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, $a = 4b$

প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{b^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$

বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = $\frac{\text{প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}}{\text{দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য}} = \frac{a\sqrt{2}}{b\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$

আমরা জানি, $a = 4b$, সুতরাং $\frac{a}{b} = \frac{4b}{b} = 4$

অতএব, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত হবে $4:1$.

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য = \( l \) একক এবং প্রস্থ = \( w \) একক।
তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, \( A_1 = l \times w \)।

দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে:
নতুন দৈর্ঘ্য, \( l_{\text{নতুন}} = l + 0.05l = 1.05l \)।
প্রস্থ অপরিবর্তিত থাকায় (\( w \)), নতুন ক্ষেত্রফল, \( A_2 = 1.05l \times w = 1.05(l \times w) = 1.05A_1 \)।

ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি:
\( \Delta A = A_2 - A_1 = 1.05A_1 - A_1 = 0.05A_1 \)।

শতকরা বৃদ্ধি:
\[
\text{শতকরা বৃদ্ধি} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.05A_1}{A_1} \right) \times 100\% = 5\%
\]

উত্তর:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(5\%\) বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_1 = 18$ সেমি
প্রথম আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_1 = 10$ সেমি

প্রথম আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_1 = L_1 \times W_1$
$A_1 = 18 \times 10$
$A_1 = 180$ বর্গ সেমি

দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, $L_2 = 25$ সেমি
প্রশ্ন অনুযায়ী, ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
সুতরাং, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_2 = A_1 = 180$ বর্গ সেমি

ধরি, দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, $W_2$ সেমি।
আমরা জানি, $A_2 = L_2 \times W_2$
$180 = 25 \times W_2$
$W_2 = \frac{180}{25}$
$W_2 = 7.2$ সেমি

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $7.2$ সেমি হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো = $a\sqrt{2}$ একক।

প্রশ্নে দেওয়া আছে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4\sqrt{2}$ একক।

তাহলে,
$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$a = 4$ একক।

এখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)$^২$ = $a^2$

ক্ষেত্রফল = $(4)^2$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল = $16$ বর্গ একক।

সুতরাং, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো ১৬ বর্গ একক।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ক মিটার এবং প্রস্থ খ মিটার।

প্রথম শর্তানুযায়ী,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ক × খ = ১৯২ বর্গমিটার ... (১)

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
(ক - ৪) × (খ + ৪) = ১৯২ বর্গমিটার
বা, কখ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
সমীকরণ (১) থেকে কখ এর মান বসিয়ে পাই,
১৯২ + ৪ক - ৪খ - ১৬ = ১৯২
বা, ৪ক - ৪খ = ১৬
বা, ৪(ক - খ) = ১৬
বা, ক - খ = $\frac{১৬}{৪}$
$\therefore$ ক - খ = ৪
বা, ক = খ + ৪ ... (২)

এখন, সমীকরণ (১) এ ক এর মান বসিয়ে পাই,
(খ + ৪) × খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ = ১৯২
বা, খ² + ৪খ - ১৯২ = ০
বা, খ² + ১৬খ - ১২খ - ১৯২ = ০
বা, খ(খ + ১৬) - ১২(খ + ১৬) = ০
বা, (খ + ১৬)(খ - ১২) = ০

যেহেতু প্রস্থের মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই খ = ১২।
প্রস্থ (খ) = ১২ মিটার

সমীকরণ (২) এ খ এর মান বসিয়ে পাই,
দৈর্ঘ্য (ক) = ১২ + ৪ = ১৬ মিটার।

এখন, আয়তাকার কক্ষটির পরিসীমা নির্ণয় করি:
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১৬ + ১২)
= ২ × ২৮
= ৫৬ মিটার।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা আয়তাকার কক্ষের পরিসীমার সমান।
সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের পরিসীমা = ৫৬ মিটার।
বর্গাকার কক্ষের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{পরিসীমা}{৪} = \frac{৫৬}{৪}$ = ১৪ মিটার।

বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)²
= (১৪)²
= ১৪ × ১৪
= ১৯৬ বর্গমিটার।

সুতরাং, বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল হবে ১৯৬ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যাঃ একটি পঞ্চভুজের পাঁচটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $540^\circ$ (পাঁচশো চল্লিশ ডিগ্রি), যা ৬ সমকোণের সমান।

কারণ,
১ সমকোণ = $90^\circ$
$540 \div 90 = ৬$

ব্যাখ্যাঃ একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো $\frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

এখানে, কর্ণদ্বয় হলো $d_1 = 4$ সেমি এবং $d_2 = 6$ সেমি।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$
$= \frac{1}{2} \times 4 \times 6$
$= \frac{1}{2} \times 24$
$= 12$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যাঃ
১. রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= $\frac{১}{২}$ × ৮ × ৯
= ৪ × ৯
= ৩৬ বর্গ সে.মি.

২. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
প্রশ্ন অনুযায়ী, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৩৬}$ = ৬ সে.মি.

৩. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৬
= ২৪ সে.মি.

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $x$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ।
$1250 = (2x) \times x$
$1250 = 2x^2$
$x^2 = \frac{1250}{2}$
$x^2 = 625$
$x = \sqrt{625}$
$x = 25$ মিটার।

সুতরাং, প্রস্থ হলো ২৫ মিটার।
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $2x = 2 \times 25 = 50$ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, দেওয়া বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ৮ ফুট। আমরা কর্ণ বের করে, কর্ণের ওপর অঙ্কিত নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবো। --- ### ধাপ ১: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ নির্ণয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করার জন্য পাইথাগোরাস সূত্র প্রয়োগ করি: \[ \text{কর্ণ} = \sqrt{\text{বাহু}^2 + \text{বাহু}^2} \] \[ = \sqrt{8^2 + 8^2} \] \[ = \sqrt{64 + 64} \] \[ = \sqrt{128} \] \[ = 8\sqrt{2} \text{ ফুট} \] --- ### ধাপ ২: কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হয়, (বাহুর দৈর্ঘ্য)²। এখানে, নতুন বর্গক্ষেত্রের বাহু হচ্ছে কর্ণ 8√2 ফুট। \[ \text{নতুন ক্ষেত্রফল} = (8\sqrt{2})^2 \] \[ = 64 \times 2 \] \[ = 128 \text{ বর্গফুট} \] --- ### উত্তর: নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে ১২৮ বর্গফুট। ✅

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বিস্তার \( x \) মিটার এবং দৈর্ঘ্য \( 2x \) মিটার। ঘরের ক্ষেত্রফল: \[ x \times 2x = 2x^2 \] আমাদের জানা আছে, ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার: \[ 2x^2 = 512 \] এখন, \( x^2 \) বের করতে পারি: \[ x^2 = \frac{512}{2} = 256 \] এখন \( x \) এর মান নির্ণয় করতে পারি: \[ x = \sqrt{256} = 16 \] তাহলে, বিস্তার \( x = 16 \) মিটার এবং দৈর্ঘ্য \( 2x = 32 \) মিটার। পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র: \[ 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{বিস্তার}) \] পরিসীমা হবে: \[ 2 \times (32 + 16) = 2 \times 48 = 96 \text{ মিটার} \] তাহলে ঘরের পরিসীমা হল 96 মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ \(x\) মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য হবে \(3x\) মিটার। ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = 3x \times x = 3x^2 \] প্রদত্ত ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার: \[ 3x^2 = 300 \] \[ x^2 = \frac{300}{3} = 100 \] \[ x = \sqrt{100} = 10 \text{ মিটার} \] দৈর্ঘ্য: \[ 3x = 3 \times 10 = 30 \text{ মিটার} \] পরিসীমা: \[ \text{পরিসীমা} = 2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 2(30 + 10) = 2 \times 40 = 80 \text{ মিটার} \] উত্তর: \[ \boxed{80 \text{ মিটার}} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, একটি সরল রেখার দৈর্ঘ্য \( l \) এবং ঐ সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল \( l^2 \)।

এখন, ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে \( \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)।
\[ \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{l^2}{4} \] অতএব, প্রথম বর্গটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গটির ক্ষেত্রফলের কত গুণ তা বের করতে হলে: \[ \frac{l^2}{\frac{l^2}{4}} = \frac{l^2 \times 4}{l^2} = 4 \] অর্থাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন চতুর্ভুজের চার কোণের পরিমাণ যথাক্রমে \( 1x \), \( 2x \), \( 2x \), এবং \( 3x \)।

একটি চতুর্ভুজের সব কোণের যোগফল ৩৬০°।

অতএব, \[ 1x + 2x + 2x + 3x = 360° \] \[ 8x = 360° \] \[ x = \frac{360°}{8} = 45° \] বৃহত্তম কোণটি হলো \( 3x \): \[ 3x = 3 \times 45° = 135° \] অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

ব্যাখ্যাঃ একটি সামান্তরিক সমান সমান দু'টি ত্রিভুজের সমান।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}\) × ভূমি × উচ্চতা

অতএব,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 2 ×\(\frac{1}{2}\) × ভূমি × উচ্চতা = ভূমি × উচ্চতা

ব্যাখ্যাঃ

চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার কোনো কোণই সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয় বাঁকা চতুর্ভুজ বা রম্বাস।

যদি এর সকল বাহু সমান এবং কোনো কোণ সমকোণ না হয়, তবে এটি একটি রম্বাস।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা \( n \)।

সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \[ \text{অন্তঃকোণ} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \] এখানে, অন্তঃকোণের পরিমাণ \( 135^\circ \)। \[ 135 = \frac{(n-2) \times 180}{n} \] এখন, \( n \) এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 135n = 180n - 360 \] \[ 180n - 135n = 360 \] \[ 45n = 360 \] \[ n = \frac{360}{45} \] \[ n = 8 \] অতএব, সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ৮।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ক্ষেত্রটির বিস্তার \( w \) মিটার এবং দৈর্ঘ্য \( l = ৩w \) মিটার।

দৈর্ঘ্য \( l \) দেওয়া আছে \( ৪৮ \) মিটার, সুতরাং: \[ l = ৩w = ৪৮ \] \[ w = \frac{৪৮}{৩} \] \[ w = ১৬ \] মিটার

এখন, ক্ষেত্রটির পরিসীমা \( P \) নির্ণয় করা যাক: \[ P = ২(l + w) \] \[ P = ২(৪৮ + ১৬) \] \[ P = ২ \times ৬৪ \] \[ P = ১২৮ \] মিটার

অতএব, ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১২৮ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, দুটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটির বাহু ২০ ফুট। নিচের চিত্রটি কল্পনা করুন:

A ------ B ------ C ------ D ------ E ------ F

প্রত্যেকটি বর্গক্ষেত্রের বাহু দৈর্ঘ্য ২০ ফুট।

BC = ৬ ফুট এবং CF = ৫ ফুট।

আমাদের DE বের করতে হবে।

DE = পুরো বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য - (BC + CF) \[ DE = ২০ - (৬ + ৫) = ২০ - ১১ = ৯ \text{ ফুট} \] অতএব, DE এর মান হল ৯ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য \(l\) এবং প্রস্থ \(b\)।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,
\[ b = \frac{2}{3}l \] এবং পরিসীমা \(P = 40\)।

পরিসীমার সূত্র হলো: \[ P = 2(l + b) \] এখন মানগুলো বসাই: \[ 40 = 2\left(l + \frac{2}{3}l\right) \] \[ 40 = 2\left(\frac{3l + 2l}{3}\right) \] \[ 40 = 2 \cdot \frac{5l}{3} \] \[ 40 = \frac{10l}{3} \] \[ l = \frac{40 \cdot 3}{10} = 12 \] এখন, প্রস্থ বের করি: \[ b = \frac{2}{3}l = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \] অতএব, ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = l \cdot b = 12 \cdot 8 = 96 \, \text{মিটার}^2 \] ঘরটির ক্ষেত্রফল \(96 \, \text{মিটার}^2\)।

ব্যাখ্যাঃ

\[AB||CD\] \[এবং AC=BD\] \[এবং ∠A=90°\]

ব্যাখ্যাঃ
ধরি, ঘরটির প্রস্থ হলো $x$ মিটার।
তাহলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য হবে $(x+৪)$ মিটার।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $২ \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$।
প্রশ্নমতে,
$২ \times (x+৪+x) = ৩২$
$২ \times (২x+৪) = ৩২$
$২x+৪ = \frac{৩২}{২}$
$২x+৪ = ১৬$
$২x = ১৬-৪$
$২x = ১২$
$x = ৬$

সুতরাং, প্রস্থ = ৬ মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য = $(৬+৪) = ১০$ মিটার।