ব্যাখ্যাঃ সরলরেখার সমীকরণ হলো সেই সমীকরণ যা লেখচিত্রে একটি সরলরেখা তৈরি করে। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো $$ax + by + c = 0$$, যেখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b উভয়ই শূন্য নয়।

এখন, বিকল্পগুলো পরীক্ষা করা যাক:

কঃ $$\frac{x}{y}=\frac{y}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y^2 = 2x$$। এটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

খঃ $$x^2 + y = 1$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$y = 1 - x^2$$। এটি একটি অধিবৃত্তের (hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$2x = y$$অথবা$$2x - y = 0$$। এটি $$ax + by + c = 0$$আকারের, যেখানে$$a = 2$$, $$b = -1$$এবং$$c = 0$$। সুতরাং, এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।

ঘঃ $$x=\frac{1}{y}$$এই সমীকরণটিকে লেখা যায়$$xy = 1$$অথবা$$y = \frac{1}{x}$$। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্তের (rectangular hyperbola) সমীকরণ, সরলরেখার নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো গঃ $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা $m$.

আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m}$$.

প্রশ্নানুসারে, প্রতিটি কোণের পরিমাণ $১৬৮^\circ$.

সুতরাং, $$\frac{(m-2) \times 180^\circ}{m} = 168^\circ$$

উভয় পক্ষকে $m$ দিয়ে গুণ করে পাই,
$$(m-2) \times 180 = 168m$$

$$180m - 360 = 168m$$

$$180m - 168m = 360$$

$$12m = 360$$

$$m = \frac{360}{12}$$

$$m = 30$$

সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা ৩০টি।
উত্তর: ৩০

ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের মধ্যে পিথাগোরাসের সম্পর্ক বিদ্যমান।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $L$ মিটার এবং প্রস্থ $W$ মিটার।
দেওয়া আছে:
প্রস্থ ($W$) = 10 মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য ($D$) = 15 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: $L^2 + W^2 = D^2$

মানগুলো বসিয়ে পাই:
$L^2 + 10^2 = 15^2$
$L^2 + 100 = 225$
$L^2 = 225 - 100$
$L^2 = 125$
$L = \sqrt{125}$
$L = \sqrt{25 \times 5}$
$L = 5\sqrt{5}$ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = $L \times W$
ক্ষেত্রফল = $5\sqrt{5} \times 10$
ক্ষেত্রফল = $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো $50\sqrt{5}$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যাঃ

দুটি সমান্তরাল রেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করে না (০টি বিন্দুতে ছেদ করে)।

সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞাই হলো যে তারা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না বা স্পর্শ করে না।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সরল রেখার দৈর্ঘ্য \( L \)।

এখন, এই রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: \[ L^2 \]

যদি রেখার এক চতুর্থাংশ অর্থাৎ \( \frac{L}{4} \) এর ওপর বর্গ অঙ্কিত হয়, তবে সেই বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: \[ \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16} \]

তাহলে, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার এক চতুর্থাংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের: \[ \frac{L^2}{\frac{L^2}{16}} = 16 \]
অর্থাৎ, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গের ক্ষেত্রফলের ১৬ গুণ।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রটির মূল দৈর্ঘ্য \( L \) এবং প্রস্থ \( W \)।

মুল ক্ষেত্রফল হলো: \[ A_1 = L \times W \] দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য হবে: \[ L' = L \times (১ + ০.২০) = ১.২০L \] প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে নতুন প্রস্থ হবে: \[ W' = W \times (১ - ০.১০) = ০.৯০W \] নতুন ক্ষেত্রফল হবে: \[ A_2 = L' \times W' = ১.২০L \times ০.৯০W = ১.০৮LW \] এখন, ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন নির্ণয় করি: \[ \Delta A = A_2 - A_1 = ১.০৮LW - LW = ০.০৮LW \] ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের শতকরা হার: \[ \text{Percentage Change} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times ১০০ \] \[ = \left( \frac{০.০৮LW}{LW} \right) \times ১০০ \] \[ = ০.০৮ \times ১০০ \] \[ = ৮ \% \] অতএব, ক্ষেত্রফলের শতকরা ৮% বৃদ্ধি হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\((x-y, 3) = (0, x+2y)\)

এখন দুই পৃষ্ঠার সমান উপাদান তুলনা করে সমাধান করি।
১. প্রথম উপাদান থেকে পাই: \[ x - y = 0 \] তাহলে, \[ x = y \] ২. দ্বিতীয় উপাদান থেকে পাই: \[ 3 = x + 2y \] \(x = y\) হলে, সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \(y\) বসাই: \[ 3 = y + 2y \] \[ 3 = 3y \] \[ y = 1 \] ৩. \(y = 1\) হলে, \(x = y\) থেকে: \[ x = 1 \] চূড়ান্ত উত্তর: \((x, y) = (1, 1)\)