ব্যাখ্যাঃ

ধরি, ঘরটির প্রস্থ x মিটার।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য ৩x মিটার।

ঘরটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩x × x = ৩x² বর্গমিটার।

প্রতি বর্গমিটার কার্পেট ঢাকতে খরচ ৯.৫০ টাকা।
সুতরাং, ৩x² বর্গমিটার কার্পেট ঢাকতে খরচ ৯.৫০ × ৩x² টাকা।

প্রশ্নমতে, ৯.৫০ × ৩x² = ১৮২৪
বা, ২৮.৫x² = ১৮২৪
বা, x² = ১৮২৪/২৮.৫ = ৬৪
বা, x = √৬৪ = ৮

সুতরাং, ঘরটির প্রস্থ ৮ মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য ৩ × ৮ = ২৪ মিটার।

অতএব, ঘরটির দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ঘন্টার কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘুরে।

তাহলে, ৫ টা পর্যন্ত ঘরের কাঁটার ঘূর্ণন: \[ 5 \times 30^\circ = 150^\circ \] এখন, ১০ মিনিটের জন্য অতিরিক্ত ঘূর্ণন হিসাব করি।
যেহেতু ১ ঘণ্টায় \(30^\circ\) ঘোরে, তাই ১০ মিনিটে: \[ \frac{30^\circ}{60} \times 10 = 5^\circ \] তাহলে, মোট ঘূর্ণন: \[ 150^\circ + 5^\circ = 155^\circ \] সুতরাং, ৫ টা ১০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটাটি ১৫৫ ডিগ্রি ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ ত্রিভুজ গঠনের নিয়ম হলো: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। যদি এই শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

আমরা প্রতিটি বিকল্প যাচাই করি:

* কঃ ২, ৪, ৫
* ২ + ৪ = ৬ > ৫ (সঠিক)
* ২ + ৫ = ৭ > ৪ (সঠিক)
* ৪ + ৫ = ৯ > ২ (সঠিক)
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

* খঃ ৪, ৫, ৬
* ৪ + ৫ = ৯ > ৬ (সঠিক)
* ৪ + ৬ = ১০ > ৫ (সঠিক)
* ৫ + ৬ = ১১ > ৪ (সঠিক)
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

* গঃ ২, ৪, ৭
* ২ + ৪ = ৬, যা ৭ এর চেয়ে ছোট নয় ($6 \ngtr 7$) (ভুল)
* এখানেই শর্ত ভঙ্গ হয়েছে।
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

* ঘঃ ৩, ৪, ৬
* ৩ + ৪ = ৭ > ৬ (সঠিক)
* ৩ + ৬ = ৯ > ৪ (সঠিক)
* ৪ + ৬ = ১০ > ৩ (সঠিক)
* এই বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

সুতরাং, ২, ৪, ৭ বাহুগুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার।

প্রশ্নানুযায়ী:
ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার কম।
সুতরাং, ভূমির দৈর্ঘ্য = $(x - 1)$ মিটার।

অতিভূজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার বেশি।
সুতরাং, অতিভূজের দৈর্ঘ্য = $(x + 1)$ মিটার।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(লম্ব)$^২$ + (ভূমি)$^২$ = (অতিভুজ)$^২$

মান বসিয়ে পাই:
$x^২ + (x - 1)^২ = (x + 1)^২$

বাম পক্ষ:
$x^২ + (x^২ - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^২)$
$x^২ + x^২ - 2x + 1$
$2x^২ - 2x + 1$

ডান পক্ষ:
$(x^২ + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^২)$
$x^২ + 2x + 1$

এখন সমীকরণটি সমাধান করি:
$2x^২ - 2x + 1 = x^২ + 2x + 1$

$2x^২ - x^২ - 2x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^২ - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

এখানে দুটি সমাধান সম্ভব:
১. $x = 0$
২. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

দৈর্ঘ্য কখনও শূন্য হতে পারে না, তাই $x = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, $x = 4$ মিটার।

লম্বের দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার।
ভূমির দৈর্ঘ্য = $x - 1 = 4 - 1 = 3$ মিটার।
অতিভূজের দৈর্ঘ্য = $x + 1 = 4 + 1 = 5$ মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য হলো ৫ মিটার।

উত্তর: ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩।

মনে করি, কোণ তিনটি হলো $x$, $2x$ এবং $3x$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
সুতরাং, $x + 2x + 3x = 180^\circ$
$6x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{6}$
$x = 30^\circ$

এখন, কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করি:
প্রথম কোণ = $x = 30^\circ$
দ্বিতীয় কোণ = $2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$
তৃতীয় কোণ = $3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ $90^\circ$, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

উত্তর: ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যাঃ একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘোরে।

১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
অর্থাৎ, ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে ১২ বার।

তাহলে, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{১২}{৬০}$ বার = $\frac{১}{৫}$ বার।

আমরা জানি, চাকা ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।

সুতরাং, ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে:
$= (\frac{১}{৫} \times ৫)$ বার
$= ১$ বার

এখন, ১ বার ঘুরলে $360^\circ$ ঘোরে।

উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে $360^\circ$ ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তাকার বাগানের বর্তমান দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
বর্তমান প্রস্থ = ১০০ মিটার

বর্তমান ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = ১৫০ মিটার $\times$ ১০০ মিটার = ১৫০০০ বর্গমিটার।

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি:
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন দৈর্ঘ্য হবে = ১৫০ + (১৫০ এর ২০%)
= ১৫০ + $(\frac{২০}{১০০} \times ১৫০)$
= ১৫০ + $(২ \times ১৫)$
= ১৫০ + ৩০
= ১৮০ মিটার

প্রস্থ বৃদ্ধি:
প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন প্রস্থ হবে = ১০০ + (১০০ এর ১০%)
= ১০০ + $(\frac{১০}{১০০} \times ১০০)$
= ১০০ + ১০
= ১১০ মিটার

নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল = নতুন দৈর্ঘ্য $\times$ নতুন প্রস্থ = ১৮০ মিটার $\times$ ১১০ মিটার
= ১৯৬০০ বর্গমিটার

উত্তর: নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল ১৯৬০০ বর্গমিটার হবে।

ব্যাখ্যাঃ ৪০ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ হলো ৫০ ডিগ্রী।

কারণ, দুটি কোণের সমষ্টি $৯০^\circ$ হলে তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
$৯০^\circ - ৪০^\circ = ৫০^\circ$

ব্যাখ্যাঃ যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫, ও ৩ হয়, তাহলে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। কারণ, এই বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসরণ করে ($3^২ + 4^২ = 9 + 16 = 25 = 5^২$)।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{১}{২} \times ভূমি \times উচ্চতা$।
এখানে, ভূমি ও উচ্চতা হলো সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি, অর্থাৎ ৩ ও ৪।

ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times ৩ \times ৪$
= $\frac{১}{২} \times ১২$
= ৬ বর্গ একক

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গ একক।