ব্যাখ্যাঃ আমরা x² – 7x + 12 ≤ 0 অমৌলিক অসাম্য সমাধান করব।

1. বহুপদী অভাজ্য করা
আমরা x² – 7x + 12-কে ভগ্নাংশে বিভক্ত করি: \[ x² – 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \] 2. অসাম্য রূপান্তর \[ (x - 3)(x - 4) ≤ 0 \] 3. মূলবিন্দু নির্ণয়
মূলবিন্দু: x = 3, x = 4
এটি সংখ্যারেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:
1. x < 3 (নেতিবাচক)
2. 3 ≤ x ≤ 4 (ধনাত্মক বা শূন্য)
3. x > 4 (নেতিবাচক)

যেহেতু অসাম্যটি ≤ 0, তাই ধনাত্মক অংশ বাদ দিয়ে শূন্যসহ (3,4)-এর মধ্যে মান নেওয়া হবে।

4. সমাধান সেট \[ x \in [3,4] \]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতা:
\[
| 3x + 2 | < 7
\]

১ম ধাপ: অমূখ্য মানের সংজ্ঞা প্রয়োগ

যদি \( |A| < B \) হয়, তবে আমরা লিখতে পারি:
\[
-B < A < B
\]

সুতরাং, এখানে প্রয়োগ করলে:
\[
-7 < 3x + 2 < 7
\]

২য় ধাপ: \( x \) নির্ণয় করা

প্রথমে \( -7 \) এবং \( 7 \) থেকে \( 2 \) বিয়োগ করি:
\[
-7 - 2 < 3x < 7 - 2
\]

\[
-9 < 3x < 5
\]

\[
\frac{-9}{3} < x < \frac{5}{3}
\]

\[
-3 < x < \frac{5}{3}
\]

উত্তর: \( -3 < x < \frac{5}{3} \)

ব্যাখ্যাঃ \[
x^2 - 3x - 10 > 0
\]
\[
x^2 - 5x + 2x - 10 > 0
\]
\[
x(x - 5) + 2(x - 5) > 0
\]
\[
(x - 5)(x + 2) > 0
\]
দুটি রাশি গুণফল ধনাত্মক হলে রাশি দুটিকে অবশ্যই ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক হতে হবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, দুটিই ধনাত্মক হলে:
\[
x - 5 > 0 \quad \text{এবং} \quad x + 2 > 0
\]
\[
x > 5 \quad \text{এবং} \quad x > -2
\]
\[
⇒ x > 5 \quad [\text{কমন অংশ নিয়ে}]
\]
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
\[
x - 5 < 0 \quad \text{এবং} \quad x + 2 < 0
\]
\[
x < 5 \quad \text{এবং} \quad x < -2
\]
\[
⇒ x < -2 \quad [\text{কমন অংশ নিয়ে}]
\]
\[
⇒ \text{নির্ণীত সমাধান:} \quad x > 5 \quad \text{অথবা} \quad x < -2
\]
\[
⇒ \text{সমাধান:} \quad (-\infty, -2) ∪ (5, +\infty)
\]

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে \( x \) এর পরিসীমা নির্ণয়:
\[
| x - 2 | < 3
\]
এটি \( x \) এর জন্য নিম্নলিখিত অসাম্য প্রকাশ করে:
\[
-3 < x - 2 < 3
\]
\[
-3 + 2 < x < 3 + 2
\]
\[
-1 < x < 5
\]
\[
-1 \times 3 < 3x < 5 \times 3
\]
\[
-3 < 3x < 15
\]
\[
-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
\]
\[
2 < 3x + 5 < 20
\]
\( m \) ও \( n \) নির্ণয়:
\[
m = 2, \quad n = 20
\]

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
$2x^2 + 5x + 3 < 0$

প্রথমে, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদক নির্ণয় করি:
$2x^2 + 3x + 2x + 3 < 0$
$x(2x+3) + 1(2x+3) < 0$
$(x+1)(2x+3) < 0$

অসমতাটি সত্য হবে যদি $(x+1)$ এবং $(2x+3)$ এর মান পরস্পর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক)।

যেহেতু আমরা $(x+1)(2x+3) < 0$ এর সমাধান খুঁজছি, তাই আমাদের এমন পরিসর দরকার যেখানে $(x+1)(2x+3)$ এর চিহ্ন ঋণাত্মক।

সারণী অনুযায়ী, এটি ঘটে যখন $-\frac{3}{2} < x < -1$।

সুতরাং, নির্ণেয় অসমতাটি হলো: $-\frac{3}{2} < x < -1$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $|1-2x| < 1$

পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $|a| < b$ হয়, তাহলে $-b < a < b$ হয়।

এখানে $a = (1-2x)$ এবং $b = 1$।
তাহলে, আমরা লিখতে পারি:
$-1 < 1-2x < 1$

এখন এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে বিভক্ত করে সমাধান করব:

প্রথম অংশ: $-1 < 1-2x$
$-1 - 1 < -2x$
$-2 < -2x$

উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2}{-2} > \frac{-2x}{-2}$
$1 > x$
বা, $x < 1$

দ্বিতীয় অংশ: $1-2x < 1$
$-2x < 1 - 1$
$-2x < 0$

উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
$\frac{-2x}{-2} > \frac{0}{-2}$
$x > 0$

এখন উভয় অংশের সমাধানকে একত্রিত করি:
$x > 0$ এবং $x < 1$

সুতরাং, সমাধানটি হলো $0 < x < 1$।

ব্যাখ্যাঃ দেওয়া আছে অসমতাটি: $|2x - 3| \le 1$

পরম মানের (absolute value) সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|a| \le b$ হলে, এর অর্থ হলো $-b \le a \le b$।

এখানে $a = 2x - 3$ এবং $b = 1$।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$-1 \le 2x - 3 \le 1$

এখন এই অসমতাটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করতে পারি অথবা একসাথেই সমাধান করতে পারি।

একসাথেই সমাধান করি:
প্রথমে অসমতার তিনটি অংশেই $3$ যোগ করি:
$-1 + 3 \le 2x - 3 + 3 \le 1 + 3$
$2 \le 2x \le 4$

এখন, অসমতার তিনটি অংশকেই $2$ দিয়ে ভাগ করি:
$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$
$1 \le x \le 2$

অতএব, বাস্তব সংখ্যায় $∣ 2x − 3 ∣ ≤ 1$ অসমতাটির সমাধান হলো $1 \le x \le 2$।

এটি একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) $[1, 2]$ হিসেবেও লেখা যায়।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $x^2 - 5x + 6 < 0$

প্রথমে, আমরা $x^2 - 5x + 6 = 0$ সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করব।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 3) = 0$

সুতরাং, সমীকরণটির মূলগুলি হলো $x = 2$ এবং $x = 3$।

এখন আমরা একটি সংখ্যা রেখায় এই মূলগুলি স্থাপন করব এবং দেখব কোন অঞ্চলে $x^2 - 5x + 6$ এর মান ঋণাত্মক হয়। মূলগুলি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে:

1. $x < 2$
   
2. $2 < x < 3$
   
3. $x > 3$
   

প্রতিটি অঞ্চলে একটি করে মান বসিয়ে অসমতাটি পরীক্ষা করি:

* অঞ্চল 1: $x < 2$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=1$ নিই)
$1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$
যেহেতু $2 > 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।

* অঞ্চল 2: $2 < x < 3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=2.5$ নিই)
$(2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$
যেহেতু $-0.25 < 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য।

* অঞ্চল 3: $x > 3$ (উদাহরণস্বরূপ, $x=4$ নিই)
$4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2$
যেহেতু $2 > 0$, তাই এই অঞ্চলে অসমতাটি সত্য নয়।

সুতরাং, অসমতা $x^2 - 5x + 6 < 0$ এর জন্য সঠিক শর্ত হলো $2 < x < 3$।

ব্যাখ্যাঃ পরম মান (absolute value) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|A| < B$ আকারের অসমতার অর্থ হলো $-B < A < B$।

এখানে, $A = x-3$ এবং $B = 5$।

অতএব, আমরা লিখতে পারি:
$$-5 < x-3 < 5$$

এখন, অসমতার প্রতিটি অংশের সাথে $3$ যোগ করি যাতে $x$ কে আলাদা করা যায়:
$$-5 + 3 < x-3 + 3 < 5 + 3$$
$$-2 < x < 8$$

সুতরাং, $x$ এর মান $-2$ থেকে $8$ এর মধ্যে হবে।

ব্যাখ্যাঃ

"মেহেতু z < 0; সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
দেওয়া আছে,
x > y সুতরাং, xz < yz [ ঋণাত্মককে z দ্বারা গুণ করুন]
z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে z দ্বারা ঋণাত্মককে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < চিহ্ন হয়েছে।"

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু \(x < 4\), এর মান হতে পারে \(4\)-এর চেয়ে ছোট যে-কোনো সংখ্যা। নিচের অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

১. কঃ 0:
\(0\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি সঠিক।

২. খঃ 3:
\(3\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, সুতরাং এটি সঠিক।

৩. ঘঃ -4:
\(-4\) হলো \(4\)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটিও সঠিক।

৪. গঃ সবগুলোই:
যেহেতু \(0\), \(3\), এবং \(-4\) সবকটিই \(x < 4\)-এর শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে:

গঃ সবগুলোই।